郎建林

培養(yǎng)學(xué)生的探究能力是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的一個(gè)重要理念，如何立足教材、利用課本題為學(xué)生提供探究的平臺(tái)，提高學(xué)生的探究能力？是我們?cè)诮虒W(xué)中值得探討和研究的問題，下面僅以一例說明本人的初步做法，供大家在教學(xué)中參考。

在人教A版高中必修（二）2.3.2平面與平面垂直的判定的教學(xué)中，我給學(xué)生的課堂練習(xí)題就是69頁的課本題，題目是：如圖，正方形 中，E、F分別是 、 的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使 、 、 三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，則在四面體 中必有（ ）

A. 所在平面 B. 所在平面

C. 所在平面 D. 所在平面

在學(xué)生完成課堂練習(xí)的基礎(chǔ)上，增加條件：正方形 的邊長(zhǎng)為 ，讓學(xué)生課后以小組為單位，探究4個(gè)問題，下一節(jié)課在課堂上展示探究結(jié)果。探究不設(shè)定路徑，不給出結(jié)果，讓學(xué)生自由發(fā)揮，培養(yǎng)他們的探討能力，想象能力和創(chuàng)造能力。現(xiàn)將課堂上展示的探究結(jié)果歸納如下：

探究Ⅰ：探究點(diǎn)G在平面SEF上的射影點(diǎn)O的位置，并求出OG的長(zhǎng)度？

探究結(jié)果1：連接EO、FO并延長(zhǎng)分別交SF、SE于點(diǎn)M、H，易證SG⊥平面GEF，所以SG⊥EF，SO是SG在平面SEF上的射影，因此SO⊥EF，同理FO⊥SE，故點(diǎn)O是△SEF的垂心，故 。

教師點(diǎn)評(píng)：上述結(jié)果表明、三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的垂心，注意掌握直角三角形斜邊上的高的計(jì)算方法。

探究結(jié)果2：因?yàn)镚E=GF，所以O(shè)E=OF，點(diǎn)O在線段EF的垂直平分線SD上，按探究結(jié)果1的方法求得 ，從而 ， ， ，故點(diǎn)O是SD上靠近D的一個(gè)八等分點(diǎn)， 。

教師點(diǎn)評(píng)：將點(diǎn)O的位置定位在線段的垂直平分線上，再用線段SD的等分點(diǎn)描述其準(zhǔn)確位置。

探究結(jié)果3：因?yàn)镚F⊥平面SGE，所以GF⊥SE，其射影FO⊥SE，點(diǎn)O在△FSE的高線FH上；同理點(diǎn)O也在△ESF的高線EM上；故點(diǎn)O是△SEF的垂心。OG是Rt△GFH斜邊上的高，故 。

教師點(diǎn)評(píng)：視角不同，方法與結(jié)果1類似。

探究結(jié)果4：因?yàn)椤螱SE=∠GSF，所以點(diǎn)O在∠ESF的角平分線SD上，將OG視為三棱錐G-SEF的高，由 ，求得 ， ，故點(diǎn)O到點(diǎn)S的距離為 。

教師點(diǎn)評(píng)：用體積變換法求距離及描述點(diǎn)O的位置的方法，都值得借鑒和把握。

探究結(jié)果5：易證平面GSD⊥平面SEF，點(diǎn)O在兩平面的交線SD上，在Rt△SGD中，由 得 ， ，故點(diǎn)O在SD上，且 ， 。

教師點(diǎn)評(píng)：用面面垂直的性質(zhì)判定垂足O的位置非常重要，在直角三角形中根據(jù)射影定理進(jìn)行計(jì)算值得參考。

探究Ⅱ：探究GS、GE與平面SEF所成角的一種三角函數(shù)值？

探究結(jié)果1：由探究Ⅰ中的結(jié)論知，在Rt△SOG和Rt△EOG中， ， 。

教師點(diǎn)評(píng)：直接根據(jù)線面角的定義，按一作二證三計(jì)算的步驟完成，思路清晰。

探究結(jié)果2：在Rt△SGD和Rt△EGM中， ， 。

教師點(diǎn)評(píng)：將所求角放在另一個(gè)容易計(jì)算的三角形中考查，可達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。

探究結(jié)果3：用體積變換法直接求出 ，不作而求直接得到GS、GE與平面SEF所成角 、 的正弦值分別為 ， 。

教師點(diǎn)評(píng)：用體積變換法直接求出斜線上一點(diǎn)到平面的距離，可達(dá)到不作而求的目的。

探究Ⅲ：探究二面角 和二面角G-EF-S的一種三角函數(shù)值？

探究結(jié)果1：由探究Ⅰ知，上述二面角的平面角分別為∠GHO和∠GDO， ， 。

教師點(diǎn)評(píng)：抓住垂線段GO，尋找二面角的平面角，這是作二面角平面角最重要的基本方法。

探究結(jié)果2：因?yàn)椤鱏EF和△GEF均為等腰三角形，點(diǎn)D是底邊EF的中點(diǎn)，所以二面角G-EF-S的平面角為∠GDS， 。

因?yàn)镕G⊥平面GSE，過點(diǎn)E作GH⊥SE，連接FH，易證二面角G-SE-F的平面角為∠GHF， 。

教師點(diǎn)評(píng)：抓住兩個(gè)等腰三角形，用連接特殊點(diǎn)法找到平面角，抓住垂線段FG找平面角與結(jié)果1類似。

探究結(jié)果3：設(shè)上述二面角的平面角分別為 、 ，根據(jù)公式法得到 ， 。

教師點(diǎn)評(píng)：按 計(jì)算運(yùn)算量就要大一些。變換視角，靈活運(yùn)用公式，按上述方法，顯然減少了計(jì)算量。

探究Ⅳ：探究三棱錐G-SEF的外接球和內(nèi)切球半徑？

探究結(jié)果：將三棱錐G-SEF視為長(zhǎng)方體截下的一個(gè)角，則其外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，半徑 。

設(shè)三棱錐G-SEF的內(nèi)切球球心為 ，則三棱錐可分割成以 為頂點(diǎn)，以三棱錐的四個(gè)面為底面的四個(gè)小三棱錐。這四個(gè)小三棱錐的高均為三棱錐G-SEF的內(nèi)切球半徑 ，所以 ，即

，由此得 。

教師點(diǎn)評(píng)：將三棱錐放到長(zhǎng)方體中求其外接球半徑，將三棱錐分割后用等積法求內(nèi)切球半徑，這是立體幾何中割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的思想方法，同學(xué)們要認(rèn)真體會(huì)和把握。

通過挖掘課本題的探究功能，為學(xué)生提供了探究的平臺(tái)，使學(xué)生的探究能力和解題能力得到提升，可達(dá)到激發(fā)興趣，增強(qiáng)信心，歸納思想方法，優(yōu)化思維品質(zhì)的教學(xué)目的。