數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式訓(xùn)練

馬瓊孝

一、概念的變式訓(xùn)練

數(shù)學(xué)概念的形成，尤其是對(duì)概念的內(nèi)涵和外延的理解是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。概念形成過程中的訓(xùn)練主要是呈現(xiàn)概念的外延，以突出概念的內(nèi)涵，使學(xué)生能深刻、準(zhǔn)確地理解掌握概念。如在學(xué)習(xí)平方根的概念時(shí)，可以設(shè)計(jì)這樣的變式訓(xùn)練。

例題：16的平方根是 。

此題主要是理解、掌握平方根的概念。但本節(jié)課還介紹了“正的平方根”和“負(fù)的平方根”這兩個(gè)概念，學(xué)生往往區(qū)分不開，所以進(jìn)行如下變式：

變式1：16的正的平方根是 。16的負(fù)的平方根是 。

這節(jié)課的教學(xué)時(shí)，還介紹了符號(hào)的表達(dá)式，在應(yīng)用時(shí)學(xué)生對(duì)符號(hào)式和文字表達(dá)理解不夠深刻，又進(jìn)行了變式。

變式2： 的正的平方根是 。

大多數(shù)學(xué)生得到的答案為4，這正是學(xué)生沒有理解好符號(hào)與文字表達(dá)的關(guān)系的具體體現(xiàn)。在學(xué)生出錯(cuò)的基礎(chǔ)上講解，此題要經(jīng)過兩次運(yùn)算，先算 等于4，再算4的正的平方根等于2，學(xué)生大大加深了對(duì)符號(hào)表達(dá)和概念的理解。

變式3：已知 的平方根是 ，則 = 。

再次進(jìn)行變式訓(xùn)練3學(xué)生對(duì)平方根的概念掌握更加靈活，同時(shí)也培養(yǎng)了數(shù)學(xué)的逆向思維能力。

二、公式、法則、定理等的變式訓(xùn)練

數(shù)學(xué)中的公式、法則、定理是數(shù)學(xué)知識(shí)中的重要內(nèi)容，它們是解決數(shù)學(xué)問題的重要理論基礎(chǔ)。在教學(xué)中要善于利用變式訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生掌握公式、法則、定理中的各要素之間的聯(lián)系和本質(zhì)規(guī)律，使學(xué)生能加深理解和靈活運(yùn)用。如在學(xué)習(xí)圓的切線的判定定理時(shí)，我通過下列3個(gè)判斷題強(qiáng)調(diào)了定理中的關(guān)鍵要素：過半徑外端、垂直，讓學(xué)生真正理解定理。

（1）經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線.（×）

（2）垂直于半徑的直線是圓的切線. （×）

（3）過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.（√）

又比如，對(duì)完全平方公式“ ”的新課講授時(shí)進(jìn)行如下的變式訓(xùn)練：

計(jì)算：（1） ， （2） ，

（3） ，（4） 。

這些訓(xùn)練由淺入深，實(shí)實(shí)在在的增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)完全平方公式的內(nèi)化理解，提高了對(duì)公式熟練應(yīng)用的程度。

三、題目形式的變式訓(xùn)練

（一）多題一解，培養(yǎng)學(xué)生觸一通類的數(shù)學(xué)思維能力

如在確定二次函數(shù)的解析式教學(xué)時(shí)，我設(shè)置了這樣一組變式題目：

例題：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過 、 、 三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。從例題出發(fā)，進(jìn)行了下列變式訓(xùn)練。

變式1：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過一次函數(shù) 的圖像與 軸、 軸的交點(diǎn)A、C，并且經(jīng)過點(diǎn) ，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。

變式2：已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn) 、 。且對(duì)稱軸是直線 ，求這條拋物線的解析式。

對(duì)變式1，先讓學(xué)生比較它與例題的已知條件有什么不同？再思考怎樣轉(zhuǎn)化為例題求解，然后討論怎樣求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)。對(duì)變式2，引導(dǎo)學(xué)生抓住“對(duì)稱軸是直線 ”利用對(duì)稱性，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。這組題目最終都是通過設(shè)二次函數(shù)一般式，利用三點(diǎn)法建立方程組來求解。通過這組“多題一解”變式訓(xùn)練，抓住本質(zhì)，觸一通類，收到舉一反三的效果。

（二）一題多變，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

如在平行四邊行形的判定定理3的教學(xué)時(shí)，設(shè)置了這樣一組變式題目：

例題：在平行四邊形ABCD中，E、F分別是OB、OD的中點(diǎn)，四邊形AECF是平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由。（引導(dǎo)學(xué)生分析，完成此例題）

變式1：若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點(diǎn)改為點(diǎn)E、F三等分對(duì)角線BD，其它條件不變，問上述結(jié)論成立嗎？為什么？

變式2：若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點(diǎn)改為BE=DF，其它條件不變，結(jié)論成立嗎？為什么？

變式3：若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點(diǎn)改為E、F為直線BD上兩點(diǎn)且BE=DF，結(jié)論成立嗎？為什么？

變式4：在平行四邊形ABCD中，H、G、E、F分別為線段BO、DO、AO、CO的中點(diǎn)，問四邊形EGFH是平行四邊形嗎？為什么？

變式5：在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)點(diǎn)；G、H是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)。已知AE=CF，DG=BH，上述結(jié)論仍舊成立嗎？

例題主要是利用“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”這個(gè)判定來證明四邊形AECF是平行四邊形。這組變式中E、F位置由線段上變?yōu)橹本€上，由特殊性規(guī)律變?yōu)橐话阈砸?guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生的由特殊到一般的歸納分析能力。由兩點(diǎn)變?yōu)樗狞c(diǎn)層層深入挖掘?qū)W生思維的深度、廣度，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的過程。

可見，這組變式題“變”的過程中在逐步加深，讓學(xué)生深刻理解平行四邊形的判定定理的應(yīng)用，同時(shí)極大的挖掘題目的有用性，達(dá)到精講精練，提高課堂的實(shí)效性。

四、解題方法的變式訓(xùn)練

解題方法的變式訓(xùn)練也就是“一題多解”，在教學(xué)中老師引導(dǎo)學(xué)生能從不同的角度，知識(shí)，思想方法來思考解決同一個(gè)問題，使學(xué)生從單一的思維模式中解放出來，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新，發(fā)散思維。

例題：求證：同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。（至少用三種證法）

證法1：把兩個(gè)腰連上去，得到一個(gè)等腰三角形（底角相等），上面的小三角形和大三角型相似可以證明梯形為等腰梯形。

證法2：在梯形內(nèi)側(cè)作高線，得到兩個(gè)直角三角形，通過證2個(gè)三角形全等可以證明梯形腰相等。（角角邊）

證法3：在梯形外側(cè)作高線（連成個(gè)長(zhǎng)方形），同樣可以證2個(gè)外面的三角形全等得到梯形兩腰相等。（角邊角）

通過不同角度的證法，既熟練了等腰梯形的判定方法，又開闊了學(xué)生的思路，激活了思維。這樣的例子在中學(xué)數(shù)學(xué)中到處都可以找到。希望老師們能挖掘教材，深入教材，充分利用教材，達(dá)到事半功倍的效果。

總之?dāng)?shù)學(xué)變式訓(xùn)練不是為了“變式”而變式，而是要根據(jù)教學(xué)或?qū)W習(xí)的需要，遵循認(rèn)知規(guī)律而設(shè)計(jì)，其目的是通過變式訓(xùn)練，把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，形成技能技巧，完成“應(yīng)用——理解——形成技能——培養(yǎng)能力”的認(rèn)知過程。因此，教學(xué)中數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練設(shè)計(jì)要巧，要有藝術(shù)性，要把握變式的度，要有目的性，要起到引導(dǎo)、激發(fā)學(xué)生思維活動(dòng)的作用。