劉娟

數(shù)學(xué)廣角不是某個(gè)特定知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，而是為了開(kāi)闊學(xué)生視野，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思考方法的內(nèi)容。因此，數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)應(yīng)該多從思考方法上做文章，突出思考方法的訓(xùn)練。

案例1：找次品。

很多老師注重從物品個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)開(kāi)始，將物品平均分成3份，經(jīng)過(guò)一系列的過(guò)程，得到找出次品所需要的最小次數(shù)。而對(duì)物品個(gè)數(shù)不是3的倍數(shù)的，則一帶而過(guò)。這樣教學(xué)存在的問(wèn)題主要是急于得到結(jié)論，學(xué)生沒(méi)有思考平均分成3份是怎么來(lái)的，為什么分成3份時(shí)需要的次數(shù)是最少的。要解決這些問(wèn)題，教師應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)思考方法過(guò)程的教學(xué)，讓學(xué)生在過(guò)程中體驗(yàn)方法。本文提供兩種教學(xué)思路供老師們參考。

思路1：從物品數(shù)是2開(kāi)始試驗(yàn)（次品輕一點(diǎn)），直至找到規(guī)律。

1.當(dāng)物品數(shù)是2時(shí)，顯然1次就可找到次品。

2.當(dāng)物品數(shù)是3時(shí)，天平每邊放1個(gè)，剩下1個(gè)。若天平平衡，剩下的那個(gè)是次品；若不平衡，輕的那個(gè)也一看就能找出。因此，總共需要1次可以找出次品。

3.當(dāng)物品數(shù)是4時(shí)，有2種找出次品的方法。

第一種方法是天平每邊放2個(gè)，輕的一邊中必有一個(gè)是次品。這樣就轉(zhuǎn)化為第1種情況。總共需要2次找到次品。

第二種方法是每次天平每邊放1個(gè)，顯然2次可以找到次品。

因此，當(dāng)物品數(shù)是4時(shí)，找到次品最少需要2次。

4.當(dāng)物品數(shù)是5時(shí)，有2種找出次品的方法。

第一種方法是天平每邊每次放1個(gè)，2次可找出次品。

第二種方法是天平每邊每次放2個(gè)，也是2次可找出次品。

因此，當(dāng)物品數(shù)是5時(shí)，找到次品最少需要2次。

5.當(dāng)物品數(shù)是6時(shí)，有3種找出次品的方法。

第一種方法是天平每邊每次放1個(gè)，3次可以找出次品。

第二種方法是天平每邊每次放2個(gè)，2次可以找出次品。

第三種方法是天平每邊每次放3個(gè)，2次可以找出次品。

因此，當(dāng)物品數(shù)是6時(shí)，找到次品最少需要2次。

……

這樣繼續(xù)試驗(yàn)下去，學(xué)生會(huì)提出問(wèn)題：老師，如果物品數(shù)是100個(gè)、1000個(gè)，怎么辦呀？還這樣試驗(yàn)嗎？學(xué)生提出這樣的問(wèn)題，正是我們教學(xué)所需要的！思路1的設(shè)計(jì)就是基于學(xué)生對(duì)前面提出的問(wèn)題的思考，以便學(xué)生親歷解決問(wèn)題的過(guò)程。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了試驗(yàn)、觀(guān)察、歸納、驗(yàn)證等思維環(huán)節(jié)，從而得到真正的思維訓(xùn)練。

思路2：1000個(gè)物品中有一個(gè)輕一點(diǎn)的次品，最少要用幾次找出這個(gè)次品？

這個(gè)思路，對(duì)學(xué)生思維水平層次比較高的班級(jí)適用。學(xué)生看到1000這么大的數(shù)，必然會(huì)引起驚異，1000個(gè)怎么找呀？一個(gè)一個(gè)地找，要找多少次呀？肯定不行！需要另外想辦法。由此引發(fā)學(xué)生的思考，亦即思維從此被引發(fā)。如何想辦法？退！退到最簡(jiǎn)單的情形———2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)……這樣就回到思路1，從中找出規(guī)律。這個(gè)規(guī)律就是從很多的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)天平一邊放的個(gè)數(shù)與剩下的個(gè)數(shù)相差越小時(shí)，所找出次品的次數(shù)就越少。要得到這個(gè)結(jié)論，必須要有足夠的試驗(yàn)次數(shù)，仔細(xì)分析每次天平一邊所放個(gè)數(shù)與剩下個(gè)數(shù)之間的關(guān)系后，才能發(fā)現(xiàn)。

案例2：烙餅。

據(jù)說(shuō)有些老師上烙餅這一課時(shí)，帶著鍋?zhàn)舆M(jìn)課堂，現(xiàn)場(chǎng)演示烙餅給學(xué)生看。也有老師按照餅的個(gè)數(shù)，分偶數(shù)張與奇數(shù)張進(jìn)行討論，還編出了兒歌要學(xué)生記憶?？芍^辦法想盡，就是沒(méi)想到如何教給學(xué)生思考問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)課的最大特征就是數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，也就是說(shuō)，教給學(xué)生思考問(wèn)題的方法。

我們來(lái)分析如何使烙餅所用時(shí)間最少的辦法。只有鍋里每次都有2張餅，才能使所用總時(shí)間最少。當(dāng)餅是偶數(shù)張時(shí)，容易解決，即每次烙2張，正反面烙就行了。如果是奇數(shù)張餅，似乎不好辦了，學(xué)生的困難也在這里。我們換個(gè)角度思考，前面是從餅的張數(shù)上考慮，如果從餅的面數(shù)上考慮，那么，不管是偶數(shù)張餅還是奇數(shù)張餅，總面數(shù)都是偶數(shù)。例如，6張餅有12個(gè)面，5張餅有10個(gè)面。每次都是烙2個(gè)面，顯然，6張餅烙6次，5張餅烙5次。這樣就統(tǒng)一到面數(shù)上了，學(xué)生就非常容易理解了，也不要分偶數(shù)張與奇數(shù)張討論了。這就是數(shù)學(xué)思維在起作用，而不是單純靠操作來(lái)解決。

從上面兩個(gè)案例可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，關(guān)鍵在于老師要設(shè)計(jì)能夠引起學(xué)生思考的問(wèn)題，并且問(wèn)題要便于學(xué)生思考。問(wèn)題太容易，沒(méi)有思考的價(jià)值；問(wèn)題太難，學(xué)生思考不了，也沒(méi)有思考的價(jià)值。特別是數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)，更應(yīng)該從問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生思考，注重在過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生思考的方法。

（作者單位：雙峰縣永豐鎮(zhèn)城南學(xué)校）