王建龍， 袁德成， 王功明

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

一種PID參數(shù)閉環(huán)整定的新方法研究

王建龍， 袁德成， 王功明

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

對(duì)于被控對(duì)象模型未知的控制系統(tǒng)，利用閉環(huán)階躍響應(yīng)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行PID控制器的參數(shù)調(diào)節(jié)，此方法僅需用PD控制器對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行一次閉環(huán)階躍響應(yīng)即可根據(jù)關(guān)系式得出PID控制器的比例系數(shù)、積分時(shí)間常數(shù)，以及微分時(shí)間常數(shù).從閉環(huán)階躍響應(yīng)中獲取超調(diào)量與峰值時(shí)間兩個(gè)性能指標(biāo)，以及控制器增益、控制器微分時(shí)間常數(shù)，經(jīng)過(guò)一系列模型為二階時(shí)滯加純滯后的被控對(duì)象試驗(yàn)測(cè)試可得：所求PID控制器參數(shù)中的比例系數(shù)、積分時(shí)間以及微分時(shí)間分別與響應(yīng)中的控制器增益、控制器微分時(shí)間常數(shù)、超調(diào)量，以及峰值時(shí)間成一定的函數(shù)關(guān)系.新整定方法與SIMC法(令τc=θ)相比，不僅使得到的系統(tǒng)魯棒性更高，而且在控制系統(tǒng)的響應(yīng)性能上也更優(yōu)越.

PID控制器； 閉環(huán)響應(yīng)； SIMC； 二階時(shí)滯加純滯后模型

經(jīng)典的PID控制器參數(shù)整定方法大多是建立在開環(huán)過(guò)程模型的基礎(chǔ)上，以IMC(內(nèi)?？刂品?[1]等一系列直接合成類[2]整定方法為例，其優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)設(shè)定值變化響應(yīng)能獲得良好的響應(yīng)性能；但對(duì)時(shí)間延遲常數(shù)較大的滯后過(guò)程(包括積分過(guò)程)負(fù)載擾動(dòng)響應(yīng)的控制效果欠佳.經(jīng)典的開環(huán)整定方法還有Skogestad提出的SIMC法[3]，通過(guò)降低積分時(shí)間參數(shù)來(lái)增加積分控制對(duì)大延遲被控系統(tǒng)的作用強(qiáng)度，以提高對(duì)負(fù)載擾動(dòng)的抑制作用.雖然此類開環(huán)整定方法在工業(yè)生產(chǎn)中獲得了較廣的應(yīng)用，但在獲得被控對(duì)象的開環(huán)過(guò)程模型過(guò)程中存在一定的弊端，例如在利用開環(huán)試驗(yàn)獲取過(guò)程模型的數(shù)據(jù)參數(shù)時(shí)，耗時(shí)較大且對(duì)被控對(duì)象造成擾動(dòng)甚至使對(duì)象失控，而且在某些情況下不容許進(jìn)行開環(huán)測(cè)試，用閉環(huán)測(cè)試會(huì)更有效.最早的PID參數(shù)整定方法——Z-N法[4]也用閉環(huán)響應(yīng)法，即用純比例控制作用使被控系統(tǒng)達(dá)到等幅振蕩狀態(tài)，獲得臨界增益和振蕩頻率值，然后按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算PID控制器的3個(gè)參數(shù).但Z-N法的一個(gè)缺點(diǎn)是需要系統(tǒng)出現(xiàn)臨界振蕩即達(dá)到不穩(wěn)定的邊緣；另一個(gè)缺點(diǎn)是低于二階的過(guò)程用純比例控制，可能觀察不到等幅振蕩現(xiàn)象，而且測(cè)試得到的兩個(gè)參數(shù)(臨界增益和振蕩頻率值)用于計(jì)算PID的3個(gè)參數(shù)也不方便.

本文研究了一種新的PID控制閉環(huán)參數(shù)整定方法，對(duì)PD控制器與被控對(duì)象組成的閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)定值階躍響應(yīng)，利用響應(yīng)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行控制器參數(shù)整定.新方法操作簡(jiǎn)便，讓受控對(duì)象在閉環(huán)條件下得到控制只需進(jìn)行較少的試驗(yàn)次數(shù)即可，在進(jìn)行整定試驗(yàn)時(shí)無(wú)需讓受控系統(tǒng)到達(dá)不穩(wěn)定的邊緣.

1 SIMC與夏姆斯設(shè)定值法

1.1 SIMC整定法

二階時(shí)滯加純滯后模型(STPD):

(1)

式中，k為過(guò)程增益；T1為主時(shí)間常數(shù)；θ為等效的純滯后時(shí)間；T2為次時(shí)間常數(shù)(數(shù)值較T1小，但T2>θ).對(duì)于被控對(duì)象為二階模型的PID控制器，SIMC的整定公式[3]為：

(2)

Ti=min{T1,4(Tc+θ)}

(3)

Td=T2

(4)

基于快速和平穩(wěn)的控制要求，令可調(diào)參數(shù)τc等于期望閉環(huán)響應(yīng)時(shí)間θ，讓控制系統(tǒng)的響應(yīng)性能和魯棒性達(dá)到一個(gè)平衡狀態(tài).

SIMC調(diào)節(jié)方法的第一步需要把受控對(duì)象的模型降價(jià)到一階時(shí)滯加純滯后模型(FTPD)或二階時(shí)滯加純滯后模型(STPD)，第二步再利用得到的模型參數(shù)進(jìn)行PID參數(shù)整定.第一步的模型降階所用方法有：(1) 開環(huán)階躍響應(yīng)測(cè)試法；(2) 閉環(huán)階躍響應(yīng)測(cè)試法[5]；(3) 利用辨識(shí)方法得到系統(tǒng)的精確模型后再用減半原則降階.雖然法(2)可以利用閉環(huán)響應(yīng)測(cè)試法得到受控對(duì)象模型，但此方法仍需進(jìn)行兩步操作，另外在獲取過(guò)程模型時(shí)可能會(huì)用到近似法，使得到的模型數(shù)據(jù)有所失真.

1.2 夏姆斯設(shè)定值法

為減少整定過(guò)程所需步驟，Shamsuzzoha[6]提出在純比例控制下利用設(shè)定值階躍變化的閉環(huán)響應(yīng)數(shù)據(jù)直接進(jìn)行PI控制器的參數(shù)整定，此法是在SIMC方法的基礎(chǔ)上，對(duì)一系列一階時(shí)滯加純滯后對(duì)象進(jìn)行實(shí)驗(yàn)得出的.它可以在被控對(duì)象模型未知的情況下，利用閉環(huán)響應(yīng)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行PI控制器的參數(shù)整定.

現(xiàn)在用二階對(duì)象模型替代一階對(duì)象模型，用PD控制器替代P控制器，取一系列從時(shí)滯過(guò)程到延遲(積分)過(guò)程的二階被控模型，并對(duì)響應(yīng)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析.PD控制器有增進(jìn)調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定度的優(yōu)點(diǎn)，并可調(diào)小比例度，從而加快調(diào)節(jié)過(guò)程，減少動(dòng)態(tài)偏差和靜差.比例微分控制器相比較于純比例控制器雖然微分作用不直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但它增加了系統(tǒng)的阻尼，因此可以允許采用比較大的增益K值，這將間接地改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度[7].對(duì)于有較大慣性或滯后的被控對(duì)象，比例微分(PD)控制器能改善系統(tǒng)在調(diào)節(jié)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)特性.

2 參數(shù)整定式的獲得

2.1 閉環(huán)實(shí)驗(yàn)

利用被控對(duì)象為二階時(shí)滯加純滯后的系統(tǒng)進(jìn)行閉環(huán)實(shí)驗(yàn)，并根據(jù)所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行PID控制器參數(shù)整定，閉環(huán)實(shí)驗(yàn)選取設(shè)定值階躍響應(yīng).

實(shí)驗(yàn)步驟如下：

(1)在PD控制器下做設(shè)定值階躍變化的閉環(huán)響應(yīng)，保持受控系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀，如圖1所示.

圖1 PD控制下閉環(huán)階躍設(shè)定響應(yīng)

(2) 記錄以下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：Kc0為實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)振蕩時(shí)對(duì)應(yīng)的控制器增益；Td0為實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)振蕩時(shí)對(duì)應(yīng)的控制器微分時(shí)間常數(shù)；tp為設(shè)定值階躍變化后閉環(huán)響應(yīng)出現(xiàn)的第一個(gè)峰值的時(shí)間；Δys為設(shè)定值階躍變化的大小；Δyp為設(shè)定值階躍變化后閉環(huán)響應(yīng)出現(xiàn)第一個(gè)峰值時(shí)對(duì)應(yīng)的輸出變化值；Δy∞為設(shè)定值階躍變化后閉環(huán)響應(yīng)最終的穩(wěn)態(tài)值；y0為響應(yīng)的初始值.并計(jì)算超調(diào)量：

(5)

Δy∞的值需要響應(yīng)穩(wěn)定之后才能獲得，但當(dāng)超調(diào)量的取值相對(duì)較大時(shí)，響應(yīng)需要經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)，在此種情況下，可以在響應(yīng)達(dá)到第一個(gè)負(fù)峰值時(shí)終止響應(yīng)并記錄此時(shí)的峰值Δyu，并由以下公式計(jì)算Δy∞的值：

Δy∞=0.45(Δyp+Δyu)+0.1y0

(6)

(3) 不斷調(diào)整比例系數(shù)和微分時(shí)間常數(shù)，得到所需的不同超調(diào)量和峰值時(shí)間的閉環(huán)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

通常，可以利用設(shè)定值階躍變化的閉環(huán)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)得到受控對(duì)象的模型參數(shù)值[7]，然后再用SIMC整定方法的第二步得到控制器參數(shù).下面所推導(dǎo)的是利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)直接計(jì)算控制器參數(shù)的新整定方法，得到一個(gè)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)和SIMC整定公式(2)、(3)、(4)之間的關(guān)系式，即參數(shù)整定式.

2.2Kc的整定式

2.2.1 獲取響應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)

(1) 首先固定PD控制器的微分時(shí)間常數(shù)Td0，通過(guò)調(diào)整控制器的比例參數(shù)值Kc0讓閉環(huán)響應(yīng)產(chǎn)生確定的超調(diào)量值，即得到超調(diào)量分別為0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6的6組閉環(huán)響應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù).

(2) 改變PD控制器Td0的大小，并再次調(diào)整比例參數(shù)值，得到6組確定超調(diào)量大小的閉環(huán)響應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù).

(3) 對(duì)于每一個(gè)模型共改變5次Td0的取值，即分別令Td0=0.10、0.25、0.35、0.50、0.60，因此，共得到6×5組設(shè)定值階躍閉環(huán)響應(yīng)數(shù)據(jù).

為了使15個(gè)模型的響應(yīng)試驗(yàn)都能獲得0.1～0.6的超調(diào)量，在這30組試驗(yàn)中，Td0的取值范圍為0.1～0.6，因此從因子分析(factor analysis)的角度，Td0的取值需要包含最小值、最大值以及中間值，分別為0.10、0.35、0.60.

記錄15個(gè)模型共6×5×15組響應(yīng)中比例增益Kc0的取值.

2.2.2 數(shù)據(jù)擬合分析

對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，對(duì)于確定的超調(diào)量σ與微分時(shí)間常數(shù)Td0，Kc與Kc0成線性比例關(guān)系：

(7)

而且比值A(chǔ)的大小取決于σ與Td0，與模型參數(shù)量T1/θ的取值無(wú)關(guān).以Td0=0.1為例，在不同超調(diào)量σ下，對(duì)相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖2所示.

圖2 不同超調(diào)量下Kc與Kc0的數(shù)據(jù)擬合(Td0=0.1)

當(dāng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量確定，而微分時(shí)間常數(shù)Td0改變時(shí)，A的數(shù)值也相應(yīng)改變.對(duì)相應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，以超調(diào)量σ=0.3和σ=0.4為例，擬合分析結(jié)果如圖3、圖4所示.

圖3 σ為0.3時(shí)Td0對(duì)A的影響

圖4 σ為0.4時(shí)Td0對(duì)A的影響

綜上所述，比值A(chǔ)是由微分時(shí)間常數(shù)和超調(diào)量共同決定的.通過(guò)數(shù)據(jù)擬合后得到比值A(chǔ)與微分時(shí)間常數(shù)Td0成以下函數(shù)關(guān)系：

(8)

數(shù)據(jù)擬合如圖5所示.其中a、b、c的取值與超調(diào)量σ成以下函數(shù)關(guān)系：

a=2.933σ2-2.975σ+1.062

b=-3.59σ2+3.811σ-1.502

(9)

c=1.47σ2-1.592σ+1.144

圖5 比值A(chǔ)與Td0的擬合關(guān)系

數(shù)據(jù)擬合如圖6所示.

綜上所述，Kc的整定式如(7)、(8)、(9)式所示.

圖6 系數(shù)a、b、c與σ的擬合關(guān)系

2.3Td的整定式

(1) 首先設(shè)定控制器的比例參數(shù)值Kc0為確定值，通過(guò)調(diào)整控制器的微分時(shí)間參數(shù)值Td0讓每組閉環(huán)響應(yīng)產(chǎn)生確定的峰值時(shí)間，即得到tp分別為2.5、2.6、2.7、2.8、2.9、3.0的6組閉環(huán)響應(yīng)試驗(yàn).

(2) 改變PD控制器Kc0的大小，并再次調(diào)整微分時(shí)間常數(shù)參數(shù)值Td0，得到6組確定峰值時(shí)間的閉環(huán)響應(yīng)試驗(yàn).

(3)對(duì)于每一個(gè)模型共改變3次Kc0的取值，令Kc0分別為1.00、1.25、1.50，總共得到6×3組設(shè)定值階躍變化閉環(huán)響應(yīng).為了使11個(gè)模型的響應(yīng)試驗(yàn)都能獲得數(shù)值為2.5～3.0的峰值時(shí)間，在這18組試驗(yàn)中Kc0的取值范圍為1.00～1.50，因此，從因子分析(factor analysis)的角度，Kc0的取值需要包含最小值、最大值以及中間值，分別為1.00、1.25、1.50.

記錄11個(gè)模型共11×6×3組響應(yīng)中微分時(shí)間常數(shù)Td0、比例參數(shù)Kc0以及峰值時(shí)間tp.對(duì)198組試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析擬合之后發(fā)現(xiàn)，對(duì)于確定的比例參數(shù)Kc0以及峰值時(shí)間tp，Td與Td0成線性比例關(guān)系：

(10)

比值B的大小取決于Kc0與tp，但與模型參數(shù)量T1/T2的取值無(wú)關(guān)，B與Kc0、tp的關(guān)系式為：

(11)

2.4Ti的整定式

從式(3)可以看出：在不同的有效時(shí)間延遲θ取值情況下，積分時(shí)間參數(shù)的整定分為兩種情況，根據(jù)Shamsuzzoha在文獻(xiàn)[6]中所做的推導(dǎo)，得出：

(12)

Ti2=8θ

(13)

選取4個(gè)具有代表性的二階時(shí)滯過(guò)程模型，與PD控制器組成閉環(huán)系統(tǒng)并進(jìn)行設(shè)定值單位階躍響應(yīng)試驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理(結(jié)果如同圖7所示)，利用有效時(shí)間延遲θ與峰值時(shí)間tp的比值跟超調(diào)量之間的關(guān)系式，最終確定θ的取值.

圖7 θ與tp的比值和超調(diào)量之間的關(guān)系

(1)對(duì)于具有較大時(shí)間延遲參數(shù)(T1/θ<8)的被控過(guò)程，θ與tp的比值介于0.16(T1/θ=8、超調(diào)量=0.1時(shí))至0.49(T1/θ=0.1、超調(diào)量=0.6時(shí))之間，在超調(diào)量的中間值0.3處，比值的變化為0.21～0.48.為了能得到較大的積分時(shí)間參數(shù)，可以保守地選擇θ=0.49tp.因此，當(dāng)具有較大的有效時(shí)間延遲常數(shù)時(shí)，積分時(shí)間參數(shù)的整定式為：

(14)

(2)對(duì)于具有較小時(shí)間延遲參數(shù)(T1/θ>8)的被控過(guò)程，θ與tp的比值介于0.14(T1/θ=100、超調(diào)量=0.1時(shí))至0.26(T1/θ=0.8、超調(diào)量=0.6時(shí))之間，選擇平均值θ=0.2tp，而且在超調(diào)量中間值0.3處，比值的變化為0.19～0.21.因此，當(dāng)具有較小的有效時(shí)間延遲常數(shù)θ時(shí)，積分時(shí)間參數(shù)的整定式為：

Ti2=1.6tp

(15)

3 仿真與對(duì)比分析

選取4個(gè)過(guò)程模型，分別用新整定法和SIMC法進(jìn)行PID控制器參數(shù)整定，計(jì)算控制器與被控對(duì)象組成閉環(huán)系統(tǒng)的最大靈敏度Ms，并將其作為衡量控制系統(tǒng)魯棒性的指標(biāo).Ms的計(jì)算公式為：

(16)

由于Ms等于在奈奎斯特曲線中從環(huán)路傳遞函數(shù)到臨界點(diǎn)(-1，0)的最短距離值，因此，Ms值越小則說(shuō)明控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量值越大，即魯棒性越高.對(duì)比結(jié)果如表1所示.

以表1中第一個(gè)過(guò)程模型為例，以新整定方法和SIMC法所得結(jié)果構(gòu)成的PID控制器與被控對(duì)象組成閉環(huán)系統(tǒng)，在t=0 s時(shí)進(jìn)行單位階躍響應(yīng)，并在t=40 s時(shí)加入單位階躍作為負(fù)載擾動(dòng)，對(duì)比仿真結(jié)果如圖8所示.

通過(guò)計(jì)算輸出量的絕對(duì)誤差積分(IAE)和輸出量的總變分(TV)來(lái)衡量系統(tǒng)響應(yīng)的輸出和輸入控制性能，絕對(duì)誤差積分和總變分的計(jì)算公式分別為：

(17)

(18)

其中，在利用(18)式計(jì)算之前需要將輸入信號(hào)離散化為數(shù)組的形式，即[u1,u2,u3,…,ui…].還應(yīng)該注意的是，總變分(TV)也可表示為：

(19)

即輸入量微分的絕對(duì)值的積分值，因此總變分值可以很好地衡量信號(hào)的平滑度.并計(jì)算相應(yīng)的超調(diào)量和峰值，如表2所示.如同最大靈敏度一樣，絕對(duì)誤差積分(IAE)和輸出量的總變分(TV)兩者的數(shù)值越小，表示控制器的性能越優(yōu)越；但對(duì)于一個(gè)已經(jīng)達(dá)到平衡狀態(tài)的控制器而言，為獲得更小的絕對(duì)誤差積分(IAE)，只能增加總變分(TV)和最大靈敏度(Ms)值，反之亦然.

圖8 響應(yīng)結(jié)果的仿真對(duì)比

表1 新整定方法與SIMC(令τc=θ)的對(duì)比

表2 響應(yīng)性能指標(biāo)的數(shù)據(jù)對(duì)比

從表1和表2的對(duì)比結(jié)果可以看出：由新整定方法計(jì)算得出的最大靈敏度值、輸出量總變分(TV)值普遍比SIMC所得對(duì)應(yīng)數(shù)值要小，說(shuō)明由新整定方法計(jì)算得出的控制系統(tǒng)魯棒性更高、系統(tǒng)控制性能更優(yōu)越.而在與一階模型的“夏姆斯設(shè)定值法”對(duì)比中發(fā)現(xiàn)，新整定方法所得控制系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)的抑制能力更強(qiáng).

4 結(jié) 論

設(shè)計(jì)了一種新的PID控制器參數(shù)閉環(huán)整定方法，對(duì)于被控對(duì)象模型未知的控制過(guò)程，將被控對(duì)象與PD控制器組成閉環(huán)系統(tǒng)并進(jìn)行一次設(shè)定值階躍響應(yīng)，利用響應(yīng)所得數(shù)據(jù)，即可根據(jù)關(guān)系式得出PID控制器的3個(gè)參數(shù)值.比例系數(shù)的參數(shù)整定式為：

Kc=AKc0/F

a=2.933σ2-2.975σ+1.062

b=-3.59σ2+3.811σ-1.502

c=1.47σ2-1.592σ+1.144

微分時(shí)間常數(shù)Td的參數(shù)整定式：

積分時(shí)間常數(shù)Ti的參數(shù)整定式為：

其中，F(xiàn)=1時(shí)，可得到較好的魯棒性和適當(dāng)?shù)捻憫?yīng)速度，兩者處于一個(gè)平衡狀態(tài)(對(duì)應(yīng)于SIMC法中令閉環(huán)時(shí)間常數(shù)等于有效時(shí)間延遲)；如果想提高系統(tǒng)的魯棒性，可適當(dāng)增加F的取值，也可以通過(guò)減小F的取值來(lái)提高響應(yīng)速度，但系統(tǒng)的魯棒性會(huì)降低.與其它經(jīng)典PID控制器參數(shù)整定方法相比，該閉環(huán)整定方法操作簡(jiǎn)單，且在控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)和魯棒性方面也能取得理想效果.

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A New Closed-loop Approach for PID Tuning

WANG Jian-long， YUAN De-cheng， WANG Gong-min

(Shenyang University of Chemical Technology， Shenyang 110142， China)

A simple and new method is proposed for the PID controller tuning for an unidentified system by using closed-loop responses.The proposed method requires only one step test in the closed-loop system in which the process is controlled by the PD controller.A series of data is obtained from closed-loop step response，contain the overshoot，the corresponding time to reach the peak，controller′s proportional gain and the controller′s derivative time.Based on a range of second-order with delay test processes，two simple analytical correlations can be derived for the proportional gain，integral time and derivative time as equations set respectively.The proposed method is compared with the SIMC tuning rule，and not only gives good robustness，but also possess fine performance.

PID controller; closed-loop response; SIMC; second-order with delay model

2014-11-04

王建龍(1988-)，男，山東濰坊人，碩士研究生在讀，主要從事復(fù)雜工業(yè)工程的建模與控制研究.

袁德成(1960-)，男，內(nèi)蒙古阿拉善人，教授，博士，主要從事化工過(guò)程建模、控制與優(yōu)化的研究.

2095-2198(2017)01-0083-08

10.3969/j.issn.2095-2198.2017.01.015

TP13

A