馬 復(fù)

數(shù)學(xué)教育需要留白藝術(shù)

馬 復(fù)*

向?qū)W生提供什么樣的數(shù)學(xué)教育過程，這是每一個數(shù)學(xué)教育工作者時刻都要面對的問題。由于教育是一種動態(tài)的社會行為，這個問題的答案便隨著社會與教育的發(fā)展而日趨變化，比如：經(jīng)驗的教育、知識與技能的教育等等。那么，今日的學(xué)生需要經(jīng)歷什么樣的數(shù)學(xué)教育過程？

要回答這個問題，首先需要回溯教育的本源。自人類誕生之日起，便有了教育，而隨著人類文明的進(jìn)化，教育也日趨復(fù)雜、高級。本質(zhì)上，人類從事教育的基本目的是為了滿足自身的生存與發(fā)展的需要，而這樣的需要與社會文明程度息息相關(guān)，因此，當(dāng)下的社會文明，乃至未來的社會文明發(fā)展必定是影響教育的極為重要因素。單從智力活動的角度分析，原有的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育主要是數(shù)學(xué)知識、技能與能力的教育，且教育過程中涉及的課程內(nèi)容主要是17世紀(jì)以前就已被人類所認(rèn)知的數(shù)學(xué)知識與技能。而隨著承載社會文明發(fā)展的數(shù)學(xué)知識信息呈“爆炸性增長”——舊有分支的結(jié)論不斷豐富，新近產(chǎn)生的分支不斷涌現(xiàn)，今天的孩子們希望在課堂里獲得自我一生生存與發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，已不可能；更由于互聯(lián)網(wǎng)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)知識和技能變得易取易存——不分時間、不分地域，隨用隨取。因此，數(shù)學(xué)知識與技能本身已不是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中最為重要的教育內(nèi)容。那么，今天我們應(yīng)當(dāng)給學(xué)生提供什么樣的教育？在未來多變的環(huán)境中，獲取新的知識（技能）以及應(yīng)用它們解決問題的能力已被認(rèn)為是未來公民必備的重要能力。因此，要想獲得良好的生存與發(fā)展，學(xué)生必須接受一種“智慧教育”［1］。

本質(zhì)上，數(shù)學(xué)知識是一種結(jié)果——經(jīng)驗的結(jié)果或者思考的結(jié)果［1］。對知識的擁有更多地表現(xiàn)為掌握的知識數(shù)量和理解水平。因此，僅僅關(guān)注數(shù)學(xué)知識的教育，是一種結(jié)果性教育；智慧并不表現(xiàn)為對結(jié)果的擁有量，而表現(xiàn)在活動（思考與操作等）過程之中，比如：獲取信息的方法、實驗的技巧、對事物本質(zhì)的思考、解決問題的策略等［1］。因此，學(xué)生只有經(jīng)歷這些活動過程，才可能接受“智慧教育”。換言之，“智慧教育”是過程性教育。

一、內(nèi)涵釋義

在“智慧教育”過程中，具體采用什么方法才能夠有效幫助學(xué)生形成智慧？筆者以為，“留白”不失為一種可借鑒的方法。

（一） 藝術(shù)留白

留白原本是視覺藝術(shù)創(chuàng)作和文學(xué)創(chuàng)作中的一種表現(xiàn)手法，意指創(chuàng)作者借助在作品中有意預(yù)留的空白，給觀者或讀者留下想象的空間。例如，東方水墨畫名品中對觀者最有吸引力之處往往不在于充滿畫面的色彩與線條，而是那些存在于其間的“留白”，讓觀者思考這些“空白”背后的豐富內(nèi)涵正是其魅力所在［2］。這種有意為之的創(chuàng)作手法背后所折射出的創(chuàng)作理念是將觀者作為一個主動，而非被動的受體，即創(chuàng)作者希望觀者能夠?qū)ψ髌酚凶约旱乃伎?、理解，而不僅僅是被動地理解作者給出的理解。所以，留白手法帶給觀者的是思考的素材、機會。

（二）教育留白

再轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，當(dāng)下許多數(shù)學(xué)課堂里常見的現(xiàn)象是：一方面，無論是概念、法則、原理，還是方法，其含義在教學(xué)過程中大多由教師（教科書）以直接或間接的方式告知學(xué)生，而且教師無論教授概念、原理的內(nèi)涵，法則、技能的操作程序，還是問題的解決方法，心目中都預(yù)設(shè)一個標(biāo)準(zhǔn)的“答案”，并在教學(xué)過程中千方百計地誘導(dǎo)學(xué)生給出這個標(biāo)準(zhǔn)答案，而學(xué)生最重要的任務(wù)就是理解它們——越準(zhǔn)確越好；另一方面，在實際教學(xué)過程中，無論面對學(xué)習(xí)成績優(yōu)異的學(xué)生，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有障礙的學(xué)生，許多老師都秉承所謂“向課內(nèi)45分鐘要質(zhì)量”的高效教學(xué)理念，不愿意讓學(xué)生們閑著，總要用滿滿的工作量充斥其間。長此以往，作為學(xué)習(xí)主體的學(xué)生就失去了真正意義上的自我思考——既沒能思考自己對客體的真實理解是什么，也沒能思考自己是怎樣獲得這些理解的，更無法思考自己應(yīng)當(dāng)獲取哪些課程內(nèi)容。這樣的教育過程是流水線作業(yè)，學(xué)生成為失去自我、復(fù)制他人的“標(biāo)準(zhǔn)件”，本質(zhì)上屬于結(jié)果的教育。

由于“智慧教育”本質(zhì)上是過程的教育，重在讓學(xué)生經(jīng)歷過程——經(jīng)驗的過程，或者是思考的過程。因此，智慧的教育不能以確定的內(nèi)容填滿整個教育過程——無論在時間上，還是在思維的空間上；而需要給學(xué)生的學(xué)習(xí)過程預(yù)留活動的空白，這也是一種“留白藝術(shù)”。

就數(shù)學(xué)教育而言，留白意味著：在從事某個課程主題（概念、原理、方法、問題等）的教學(xué)過程中，不將相關(guān)內(nèi)容完全呈現(xiàn)給學(xué)生，有意識地留下一個“理解缺口”，讓學(xué)生通過思考去填入自己的理解性結(jié)果；在規(guī)定的教育教學(xué)時間內(nèi)，不以確定的學(xué)習(xí)內(nèi)容填滿整個教學(xué)時段，有意識地給學(xué)生留下一段屬于自己的“空閑時光”，讓學(xué)生思考屬于自己的數(shù)學(xué)，包括對課程內(nèi)容的理解、對學(xué)習(xí)過程的回顧、對后續(xù)學(xué)習(xí)的期待……

從更上位的層面看，它們與藝術(shù)和文學(xué)創(chuàng)作中的留白手法所體現(xiàn)的創(chuàng)作理念是一致的，即：視學(xué)生為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，而非被動的受體，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程主要是建構(gòu)自己對數(shù)學(xué)的理解的過程，而不僅僅是接受他人理解的過程。

在這個意義之下，筆者提倡：數(shù)學(xué)教育過程需要留白藝術(shù)！

二、立論依據(jù)

如上述，數(shù)學(xué)教育過程中的留白藝術(shù)是從教的角度來考慮數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與實施的，而影響教師設(shè)計與實施數(shù)學(xué)教育活動的主要因素包括：數(shù)學(xué)知識觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀、數(shù)學(xué)課程觀。下面將從這三個方面闡述“數(shù)學(xué)教育過程需要留白藝術(shù)”觀點的立論依據(jù)。

（一）數(shù)學(xué)知識觀

盡管留白藝術(shù)不只是服務(wù)于數(shù)學(xué)知識的教育，而更多地服務(wù)于智慧的教育，但數(shù)學(xué)知識仍然是具體教學(xué)過程中的主要載體。那么，如何認(rèn)識這一背景之下的數(shù)學(xué)知識本質(zhì)呢？一般認(rèn)為，知識是已被判定為合理的信念［3］。那么，數(shù)學(xué)知識的合理性（真理性）又是什么？從歷史上看，對此問題的回答大致可以分為兩大類：絕對主義觀與可誤主義觀。前者認(rèn)為：數(shù)學(xué)由確定并且無異議的真理所構(gòu)成，并通過演繹論證為數(shù)學(xué)知識真?zhèn)蔚呐卸ㄌ峁┝吮ＷC。后者則認(rèn)為：數(shù)學(xué)知識是可誤的且可糾正的，這樣的糾正是數(shù)學(xué)知識發(fā)展的表現(xiàn)；而且，由于哥德爾不完備定理的出現(xiàn)，“數(shù)學(xué)的真理性必須依賴一個（組）未經(jīng)證明即予接受的不可簡約的假設(shè)”的觀點逐漸成為業(yè)界共識［3］。

從數(shù)學(xué)教育的角度看，如果采用絕對主義的數(shù)學(xué)知識觀，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程必定是一個認(rèn)識、理解，最終接受的過程：接受概念定義的含義與合理性，接受操作與法則的準(zhǔn)確性，接受定理的內(nèi)涵及其證明的可靠性。而采用可誤主義的數(shù)學(xué)知識觀，則學(xué)生的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程可以是一個“探究—質(zhì)疑—釋疑—修正……”的過程。在這個過程中，學(xué)生最重要的任務(wù)就是思考——思考自己對客體（現(xiàn)象、問題、知識）的理解、認(rèn)知、觀點、理由……而不是理解他人賦予的看法等。而要使學(xué)生真正能夠擁有這樣的思考機會，留白藝術(shù)無疑是最有效的手法之一。

（二）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀

建構(gòu)主義是當(dāng)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的代表性理論，它認(rèn)為：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的主體，他們應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教育過程的主動參與者。而不同的學(xué)生由于其學(xué)習(xí)背景存在差異，思維水平與特征各不相同，對于學(xué)習(xí)內(nèi)容的偏好與關(guān)注程度也不一樣，所以，他們必然對于同樣情境中的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容擁有個性化的理解和偏好。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的個性差異、了解學(xué)生的學(xué)習(xí)背景和思維特征，進(jìn)而幫助學(xué)生建構(gòu)自己對數(shù)學(xué)的理解?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）也持有類似的觀點：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動而富有個性的過程［4］。據(jù)此，如何認(rèn)識學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中的思維特征與心理過程，無疑是影響數(shù)學(xué)教育設(shè)計與實施的最重要因素。

1. 數(shù)學(xué)思維特征

對處于相同數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境中的學(xué)生而言，或許他們的知識預(yù)備、學(xué)習(xí)經(jīng)驗、生活環(huán)境等影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的個體因素相近，但他們數(shù)學(xué)思維特征的差異仍然明顯存在，并影響著各自的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維類型大致可以分為代數(shù)思維、圖形思維以及混合式。案例1可以表現(xiàn)出它們在認(rèn)知過程中的差異。

案例1

問題：圖1是一個平行四邊形，其中，AC、BD交于O，寫出圖中所有的線段。

圖1 平行四邊形ABCD

具有典型代數(shù)思維的學(xué)生所給出的答案基本是：AB、AC、AD、AO，BC、BD、BO，CD、CO，DO。

他們采用的是典型的“字典排列”——將代表線段的所有字母按照字典排列順序，一一列出。這樣的排列呈現(xiàn)出明顯的“序”特征，與圖形自身所具有的特征沒有明顯的關(guān)聯(lián)。

而具備典型圖形思維的學(xué)生所給出的答案大多屬于如下種類：AB、BC、CD、DA，AC、BD，AO、OC，BO、OD；或者AB、BC、CD、DA，AO、OC、AC，BO、OD、BD；或者OA、OC、AC，OB、OD、BD，AB、BC、CD、DA。

這些答案明顯借助了圖形的特征：由外至內(nèi)（或由內(nèi)往外），圍繞中心點對稱標(biāo)注……

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，具備這兩類不同思維特征的學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念、原理等方面有著較為明顯的優(yōu)勢與劣勢。以函數(shù)為例：具備代數(shù)思維特征的學(xué)生面對以字母符號、代數(shù)式形式表達(dá)的函數(shù)對象、性質(zhì)時理解起來較為輕松；而具備圖形思維特征的學(xué)生則在面對以圖像方式表達(dá)的函數(shù)對象、性質(zhì)時，感受更為清晰。

為此，設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)時應(yīng)顧及不同思維特征，在引入或解釋學(xué)習(xí)對象時兼具不同的表達(dá)方式——代數(shù)或幾何，評價學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就時應(yīng)采用多種呈現(xiàn)方式——代數(shù)或幾何，以使得具備不同數(shù)學(xué)思維特征的學(xué)生都有充分表達(dá)自我數(shù)學(xué)認(rèn)知的機會。

2. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理過程——建構(gòu)自己對數(shù)學(xué)的理解

盡管任何兩個不同的學(xué)生，他們所具有的學(xué)習(xí)背景（知識預(yù)備、學(xué)習(xí)經(jīng)驗、生活環(huán)境、數(shù)學(xué)思維特征等）不盡相同，但從總體規(guī)律上看，相同年齡段的學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理過程具有一般性特征。建構(gòu)主義認(rèn)為：（在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中）每個人都在構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)，即只有在各個主體自己的意識中才存在數(shù)學(xué)。因此，學(xué)生應(yīng)當(dāng)像數(shù)學(xué)家那樣去體驗數(shù)學(xué)，在與他人交流的過程中構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)［5］。

這表明：學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中只能通過自我建構(gòu)獲得數(shù)學(xué)，而且這樣的建構(gòu)結(jié)果是一種“自我的內(nèi)在數(shù)學(xué)表征”，往往不同于外在的客觀表征——教材上呈現(xiàn)的、教師所給于的數(shù)學(xué)（形式和內(nèi)涵）都屬于外在表征［5］。所以，單純的聽講、模仿、練習(xí)和記憶不能獲得真正意義上的數(shù)學(xué)理解——自己對數(shù)學(xué)的真實理解。真實的理解存在于自我建構(gòu)過程之中，而建構(gòu)需要內(nèi)心的思考和基于思考的交流。所以，教學(xué)過程中的“留白藝術(shù)”是不可缺少的。

（三）數(shù)學(xué)課程觀

如何看待數(shù)學(xué)課程，無疑在很大程度上影響著教師如何執(zhí)行數(shù)學(xué)課程。而今日課堂里實施的數(shù)學(xué)課程，無疑應(yīng)當(dāng)以國家頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)為實施依據(jù)?！稑?biāo)準(zhǔn)》本體部分主要包括：課程目標(biāo)、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)、實施建議。

本段所涉及的對于數(shù)學(xué)課程的認(rèn)識內(nèi)容主要針對課程目標(biāo)和教學(xué)建議。

1. 課程目標(biāo)

關(guān)于課程目標(biāo)，《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：數(shù)學(xué)課程目標(biāo)由“知識技能”“數(shù)學(xué)思考”“問題解決”“情感態(tài)度”四個方面構(gòu)成［4］。這些目標(biāo)中既有結(jié)果性目標(biāo)——了解具體事實，理解對象性質(zhì)、特征等，掌握方法、結(jié)果等，運用學(xué)到的知識和方法解決問題；更有過程性目標(biāo)——經(jīng)歷具體的數(shù)學(xué)活動，感受對象，主動參與特定活動，體驗對象特征，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，嘗試探索事物內(nèi)涵與性質(zhì)，獲得對事物的理性認(rèn)識［4］。從目標(biāo)達(dá)成的角度看，四個方面目標(biāo)的實現(xiàn)是交織在一起的——你中有我，我中有你，并且以“過程性目標(biāo)達(dá)成——結(jié)果性目標(biāo)達(dá)成”的模式推進(jìn)。這就意味著在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有經(jīng)歷“操作過程”和“思考過程”的時間和空間；有構(gòu)建理解、發(fā)展能力、交流合作、提高認(rèn)識等的機會；有克服困難、糾正錯誤、感受成功的體驗。

這一切都可以借助留白藝術(shù)給學(xué)生所創(chuàng)造的教育過程漸次實現(xiàn)。

2. 教學(xué)建議

如何有效實施數(shù)學(xué)課程？《標(biāo)準(zhǔn)》給出了若干條建設(shè)性建議。其中在認(rèn)識與處理數(shù)學(xué)教學(xué)過程中學(xué)生與教師地位時，《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：①重視學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的主體地位——學(xué)生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上；②教師應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者、合作者，引導(dǎo)作用主要表現(xiàn)在：通過恰當(dāng)?shù)膯栴}，或者準(zhǔn)確、清晰、富有啟發(fā)性的講授，引導(dǎo)學(xué)生積極思考；③處理好學(xué)生主體地位和教師主導(dǎo)作用的關(guān)系——教師利用啟發(fā)性講授、創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)計問題引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流時，要能有效地啟發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體；④注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的理解和掌握——組織學(xué)生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、抽象概況；⑤感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗——數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中逐步積累［4］。

這些建議的落實無疑需要在課堂教學(xué)過程中給學(xué)生“留白”，或者說，留白藝術(shù)將有助于實現(xiàn)這樣的教學(xué)設(shè)計與實施。

三、實施要點

在具體的數(shù)學(xué)教育過程中，實施留白藝術(shù)應(yīng)注意以下三點。

（一）采用主題（單元）式整體教學(xué)設(shè)計

很多領(lǐng)域目下流行“精準(zhǔn)”——精準(zhǔn)營銷、精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)廣告、精準(zhǔn)醫(yī)療，但對于教育過程，特別是關(guān)乎學(xué)生智力、智慧發(fā)展的教育過程，留白教學(xué)藝術(shù)的一個假設(shè)卻是：學(xué)生的發(fā)展，特別是智慧的發(fā)展，是無法精準(zhǔn)預(yù)測的！教師對學(xué)生的發(fā)展路徑更是不可能精準(zhǔn)預(yù)設(shè)的！若要尋求精準(zhǔn)，唯一可能實施的就是不斷地嘗試了解學(xué)生，實現(xiàn)“漸近式精準(zhǔn)”。

所以，基于留白藝術(shù)的教學(xué)設(shè)計不會是一種精準(zhǔn)的設(shè)計，即將每一個教學(xué)活動環(huán)節(jié)（所有預(yù)備呈現(xiàn)的素材、結(jié)果、例題，每一個準(zhǔn)備講解的內(nèi)容、討論的問題，甚至具體的對話等等）都詳細(xì)設(shè)計，并將每一個活動的持續(xù)時間精確到分鐘。理想的留白藝術(shù)式的教學(xué)設(shè)計應(yīng)當(dāng)是一種“主題（單元）式整體教學(xué)設(shè)計”，其基本特征為：以一個教學(xué)主題，如一元一次方程、三角形全等、統(tǒng)計量等，作為教學(xué)設(shè)計單元，開展教學(xué)設(shè)計；而不是以某個具體的知識點、甚至課時，如解一元一次方程、三角形全等判定定理等，作為教學(xué)設(shè)計單元。其意圖是以讓學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過程為基本出發(fā)點，著眼于學(xué)生的發(fā)展。正因為讓學(xué)生經(jīng)歷了認(rèn)知數(shù)學(xué)對象的全過程，因此可以有諸多的留白之處：留白讓學(xué)生嘗試探究，留白讓學(xué)生彼此交流，留白讓學(xué)生建構(gòu)自己的理解，留白讓學(xué)生思考自己的進(jìn)一步認(rèn)知。反之，教師若著眼于細(xì)節(jié)的設(shè)計與實施，則多半在教學(xué)過程中會閾于固化的設(shè)計，而無處留白。

（二）構(gòu)建數(shù)學(xué)化活動模式

首先，既然是留白，無論是關(guān)于陳述性知識（概念、原理）的學(xué)習(xí)，還是關(guān)于程序性知識（法則、技能）的學(xué)習(xí)，教學(xué)設(shè)計都應(yīng)該預(yù)留一些空白——既包括教學(xué)空間，也包括教學(xué)時間，即不可將學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得的所有核心內(nèi)容直接呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生理解、記憶、模仿。這樣的留白教學(xué)過程就是目前廣泛為人們所認(rèn)可的“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)策略。按照其倡導(dǎo)者弗賴登塔爾的說法，這種“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”教學(xué)策略本質(zhì)上是讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程。因為“中小學(xué)數(shù)學(xué)的根源在于普通常識，數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的建立最合適的開始是人們最普通的常識。不應(yīng)該將教的數(shù)學(xué)內(nèi)容作為現(xiàn)成的產(chǎn)品強加給學(xué)生,應(yīng)當(dāng)將它作為一種學(xué)的活動（即“數(shù)學(xué)化”——引者注）來分析”［6］。這樣就可以讓學(xué)生在過程中建構(gòu)自己對數(shù)學(xué)的理解。而所謂的數(shù)學(xué)化過程，即“數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程”，包括“將同一個問題在水平方向擴展的水平數(shù)學(xué)化，也包括將某一問題垂直地加以深入的垂直數(shù)學(xué)化”［6］。

因此，從根本上看，體現(xiàn)留白藝術(shù)的教學(xué)方法一定不是講授法——無論是傳授知識還是傳授方法，即常說的“授之以魚”和“授之以漁”。

應(yīng)當(dāng)注意的是，在實施“數(shù)學(xué)化”的過程中，需要弱化教師個人對課程內(nèi)容理解結(jié)果的傳授，以及其對獲得內(nèi)容方式（過程）的偏好；取而代之的是應(yīng)當(dāng)順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知過程，特別是處理好教學(xué)過程中的生成性資源。

（三）留白于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)

留白的目的是引發(fā)學(xué)生的主動性思考，并且思考之后可以給出自己的理解（看法）。因此，對學(xué)生而言，所留之空白應(yīng)當(dāng)落于他們愿意思考、能夠思考，并且思考以后必有所得之處。這樣的留白之處正處于維果茨基所描述的學(xué)生最近發(fā)展區(qū)——介于學(xué)生憑借自己能力所能達(dá)到的水平，與經(jīng)別人協(xié)助后可能達(dá)到的水平之間的區(qū)域［5］。

在一個集體性學(xué)習(xí)情境里，不同學(xué)生的認(rèn)知水平必定存在差異，而且這種差異往往足以造成該群體內(nèi)部存在不同的最近發(fā)展區(qū)，因此，留白之處往往難以確定。此時，一個可能有效的處理方式便是以“問題串”的形式留白，使得所留之空白覆蓋全部最近發(fā)展區(qū)，滿足“全體學(xué)生都能夠得到發(fā)展”的終極教學(xué)目標(biāo)。

圖2 火柴拼圖

案例2

搭一個正方形需要四根火柴棒。

（1）按圖2所示，搭2個正方形需要 根火柴棒，搭3個正方形需要 根火柴棒？

（2）搭10個正方形需要多少根火柴棒？

（3）搭100個正方形需要多少根火柴棒？

（4）搭x個這樣的正方形需要多少根火柴棒？與同伴交流彼此的想法。

顯然，這樣的問題串所形成的留白區(qū)域覆蓋了不同的認(rèn)知水平段，滿足了不同認(rèn)知水平學(xué)生發(fā)展的需要。

［1］ 楊述春，劉曉軍. 教育與數(shù)學(xué)教育：史寧中教授教育研究錄［M］. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2006.

［2］ 王嘉琪. 藝術(shù)創(chuàng)作中“留白”的哲學(xué)意義［J］. 美與時代?城市， 2012（7）.

［3］ Ernest. 數(shù)學(xué)教育哲學(xué)［M］. 齊建華，張松枝，譯.上海：上海教育出版社，1998.

［4］ 教育部義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［5］ 高文，徐斌艷，吳剛. 建構(gòu)主義教育研究［M］. 北京：教育科學(xué)出版社，2008.

［6］ 弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］. 陳昌平，唐瑞芬等，譯. 上海：上海教育出版社，1995.

* 馬復(fù)，教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會委員，教育部中小學(xué)教材審查委員，南京師范大學(xué)教授。