華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 盧穎妍

求根公式的再理解及其教育價(jià)值

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 盧穎妍

1.引言

求根公式的發(fā)展經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)的歲月,現(xiàn)在求根公式作為初中教材的求解一元二次方程的有力手段.但是在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中,很多老師對(duì)于求根公式的教學(xué)往往只停留在對(duì)公式的表面理解,要求學(xué)生死板記憶公式,懂得應(yīng)用公式求解一元二次方程即可,讓很多學(xué)生對(duì)求根公式產(chǎn)生一種難記難懂的感覺,使得更多人認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一些枯燥無(wú)味的公式.為盡量改變這些片面的觀念,本文將從求根公式的推導(dǎo)、幾何解釋、自身特征幾個(gè)方面讓更多人重新認(rèn)識(shí)求根公式,發(fā)現(xiàn)求根公式的美,真正體會(huì)求根公式的教育價(jià)值.

2.求根公式的推導(dǎo)過(guò)程

對(duì)于人教版初中教材[1]上的求根公式的推導(dǎo)主要運(yùn)用了配方法以及降次思想.設(shè)計(jì)意圖是由于學(xué)生前面剛剛學(xué)完配方法,容易想到將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,利用配方法轉(zhuǎn)化為可直接開方的形式,問題難在推導(dǎo)過(guò)程中對(duì)式子b2-4ac涉及了分類討論的思想.教材中的推導(dǎo)過(guò)程如下(方法1)：

(3)b2-4ac＜0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

以上是初中教材中的求根公式的推導(dǎo)過(guò)程,現(xiàn)在如果已經(jīng)知道了一元二次方程的求根公式為我們可以從公式本身出發(fā),對(duì)一元二次方程和它的求解逆向思考,由有

兩邊平方,

這里每一步都是平淡的,但是,當(dāng)我們把上述每一步驟倒過(guò)來(lái)書寫時(shí),我們就“發(fā)現(xiàn)”了一元二次方程的一個(gè)新解法[2](方法2)：

與課本中的解法相比,這個(gè)解法有兩個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)：

第一,解法2左右兩邊同乘以4a比解法1中兩邊除以a之后的配方法更簡(jiǎn)易了,消除了的誤解.解法1中容易讓學(xué)生產(chǎn)生誤解

小結(jié)：從求根公式的兩種不同的推論過(guò)程可以看出它各自具有一定的教育價(jià)值：

(1)在思想方法上,教材上的解法(解法1)運(yùn)用了配方法,其基本思想是降次,通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為可以直接開方的形式,推導(dǎo)過(guò)程中涉及分類討論的思想以及方程的思想,同時(shí)整體思路是轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的配方法求解,這同時(shí)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.

3.求根公式的幾何解釋

在初中的課本中,我們從來(lái)沒有接觸過(guò)求根公式的幾何解釋,甚至很少人知道求根公式竟然也可以向完全平方公式和平方差公式一樣用幾何圖形解釋.在初中,我們知道完全平方公式的幾何解釋如下：

圖1

圖2

從圖1中我們可以容易知道：(a±b)2=a2±2ab+b2.從圖2中我們可以容易知道：(a-b)2=a2-2ab+b2我們也知道平方差公式也可以用下面的幾何圖形解釋：

圖3

圖4

從圖3中我們可知道陰影部分面積為：a2-b2.從圖4中我們可知道陰影部分面積為：(a+b)·(a-b).顯然兩者是相等的,所以平方差公式a2-b2=(a+b)·(a-b)成立.

其實(shí)有了幾何解釋,中學(xué)生對(duì)于完全平方公式與平方差公式就會(huì)有一個(gè)更深刻的理解,就會(huì)使得公式的理解不僅僅停留在字母的言語(yǔ)信息的記憶,更重要的是公式的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì).這不禁會(huì)引起我們思考：求根公式是否也可以用幾何圖形表示呢?當(dāng)然答案是肯定的.

下面用幾何圖形解釋求根公式[3]：

如圖5所示,正方形ABCD是由四個(gè)面積為s的全等矩形和一個(gè)面積為t2的小正方形所圍成的.其中四個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為x,y,小正方形邊長(zhǎng)為x-y.

圖5

小結(jié)：一元二次方程的求根公式也可以用幾何圖形解釋了,通過(guò)幾何解釋我們可以看出求根公式的又一教育價(jià)值：通過(guò)求根公式這樣一個(gè)例子更有力地反駁了那些對(duì)數(shù)學(xué)有偏見的人的觀點(diǎn),數(shù)學(xué)不是一些枯燥無(wú)味的公式,求根公式也是可以用美麗簡(jiǎn)潔的圖形來(lái)解釋的,從幾何解釋中,我們看到了數(shù)與形之間的完美結(jié)合,體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的思想方法.讓學(xué)生不僅從懂得求根公式的表面的言語(yǔ)信息,還能從幾何的角度深入理解求根公式.

4.求根公式的自身特征

深入理解求根公式可以讓更多人對(duì)求根公式刮目相看,從此喜歡求根公式.對(duì)于求根公式的再理解,除了推導(dǎo)過(guò)程、幾何解釋之外,求根公式自身蘊(yùn)含了很多數(shù)學(xué)之美,包含了多重地教育價(jià)值：

(1)從未知數(shù)與系數(shù)的角度看,求根公式告訴我們,二次方程的實(shí)根由其三個(gè)系數(shù)完全確定,至于未知數(shù)用什么字母(x,y,z,t,s,···)表示沒有關(guān)系,同樣,未知數(shù)所代表地實(shí)際意義(時(shí)間、路程、速度、邊長(zhǎng)等)也是沒有關(guān)系的.這是一個(gè)“萬(wàn)能公式”,它向我們展示了數(shù)學(xué)的抽象性、一般性和簡(jiǎn)潔美.

(2)從運(yùn)算地角度看,公式包括了初中階段學(xué)過(guò)的全部六種代數(shù)運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方、開方.其中除法要求分母不為零,這是滿足的;開平方要求被開方數(shù)非負(fù)卻并非總能滿足,因此有的方程有實(shí)數(shù)根,有的方程沒有實(shí)數(shù)根.能夠包含六種代數(shù)運(yùn)算體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧美.

(3)從方程的觀點(diǎn)來(lái)看,當(dāng)公式中三個(gè)量為常數(shù)時(shí),則它是關(guān)于第四個(gè)量的方程,比如當(dāng)a,b,c為確定的數(shù)值時(shí),它便是關(guān)于自變量x的方程,當(dāng)a,b,c,x中不只有一個(gè)變量時(shí),若視其中一個(gè)字母為變量時(shí),其余為常數(shù),則它是關(guān)于這個(gè)變量的一元方程;若視其中兩個(gè)字母為變量,其余為常數(shù),則它是關(guān)于這兩個(gè)變量的二元方程.

(4)從解題的順序看,求根公式將抽象的解題思想(降次地思想-通過(guò)配方、開方來(lái)實(shí)現(xiàn))轉(zhuǎn)化為具體的解題操作,思想不再是空洞的,操作也不再是盲目的了,求根公式中各級(jí)運(yùn)算地順序決定了一元二次方程用公式法求根地解題順序：

(5)從整體上看,公式本身回答了解二次方程的全部三個(gè)問題：

5.對(duì)求根公式的幾點(diǎn)教學(xué)建議

絕大多數(shù)初中教師對(duì)于求根公式的教學(xué)僅僅停留在公式的表面理解、死板地記憶與機(jī)械式地運(yùn)用,根本沒有多花一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生多了解一點(diǎn)求根公式的魅力,所以導(dǎo)致很多學(xué)生不喜歡求根公式,難以理解與記憶公式.因此,本文就這現(xiàn)象對(duì)求根公式的教學(xué)提出了以下幾點(diǎn)建議：

[1]章建躍.義務(wù)教育教科書(數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè))[M].北京：人民教育出社,2013.

[2]劉玉波.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)及教育價(jià)值[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2013(03)：30-31.

[3]盧子文.平方帶縱與古算詩(shī)題的一元二次方程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2010(02).

[4]羅增儒.數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟[M].河南：河南科學(xué)技術(shù)出版社,1997.

[5]夏星.數(shù)學(xué)公式教學(xué)的幾點(diǎn)建議及其示例[J].課堂教學(xué)研究,2008(06).