劉 垚，李 斌

（1.山西大學動力工程系，山西太原030006；2.山西省特種設(shè)備監(jiān)督檢驗研究院，山西太原030006）

圓柱指數(shù)型復合型變幅桿的動力學分析

劉 垚1，李 斌2

（1.山西大學動力工程系，山西太原030006；2.山西省特種設(shè)備監(jiān)督檢驗研究院，山西太原030006）

超聲波加工中的變幅桿能放大振幅，并將聲能有效傳遞至工具頭。為使變幅桿工作有效、可靠，進而提高零件加工的精度和效率，變幅桿必須具有良好的動態(tài)特性。由于復合型變幅桿的截面復雜，用解析法無法進行求解計算，而有限元方法能較好地解決該問題。通過模態(tài)分析并利用ANSYS有限元軟件，對復合型變幅桿進行動力學分析，最終找出了最佳振動形態(tài)的工作頻率。

超聲波加工；變幅桿；有限元；動態(tài)特性

變幅桿有時候也稱作超聲變速桿，它是把超聲波能量聚在一起的工具。在超聲加工中，變幅桿的作用是把質(zhì)點振動位移和振動速度放大，同時與換能器進行阻抗匹配，與之產(chǎn)生共振效果。由此就能把超聲波發(fā)生器的聲能有效地傳遞到工具頭上，產(chǎn)生高頻振動作用[1-2]。

考慮到圓柱指數(shù)型復合型變幅桿的截面是從單一的圓柱面到復雜的指數(shù)型截面變化，波動方程無法進行精確求解，而利用有限元方法能準確計算出結(jié)果。有限元的原理是建立在變分計算的基礎(chǔ)上，利用計算機進行數(shù)值計算，可解決工程上的許多問題[3-4]，如在彈塑性力學和動力學上的求解計算等。因此，本文使用有限元方法精確求解出圓柱指數(shù)型復合型變幅桿的性能參數(shù)。

1 模態(tài)分析

模態(tài)分析的基本思路是將研究對象劃分為有限個單元，單元節(jié)點e的位移列向量以{x(t)}e表示，利用位移插值方式，單元e中任意一點的位移{f(t)}可用如下矩陣方程來表示[5-6]：

式中：[N]為形狀函數(shù)矩陣。

在單元e中任意一點的應(yīng)變向量為：

式中：[B]為幾何矩陣。

在單元e中任意一點的應(yīng)力為：

式中：[D]為彈性矩陣。

在單元e中任意一點的剛度矩陣為：

解決彈性體自由振動問題常用的動力基本方程為：

式中：[M]為質(zhì)量矩陣；[K]為剛度矩陣。

由于一系列簡諧振動的疊加組成了彈性體的自由振動，所以求解彈性體自由振動的固有頻率和相應(yīng)振型，需用到簡諧運動方程：

式中：{g}為振幅列向量；{x(t)}為位移；ω為固有頻率。

將式（6）代入式（5），并消去sinωt因子，可得到：

式中：ω2為廣義特征值；{g}為廣義特征向量。

求解式 （7）所得到的ω就是彈性體的固有頻率，{g}就是相應(yīng)的振型。

2 有限元分析

2.1 對變幅桿進行類型選擇，建立實體模型并劃分網(wǎng)格

選取SOLID185固體模型，定義材料的彈性模量為200 GPa、泊松比為0.3、密度為7800 kg/m3。通過ANSYS有限元分析軟件建立變幅桿的實體模型，然后進行網(wǎng)格劃分，建立的有限元模型見圖1。

圖1 變幅桿的有限元劃分

2.2 對變幅桿施加載荷并求解

在有限元軟件分析過程中，需指定分析類型為模態(tài)分析，求解計算的方法為子空間迭代法，求解的頻率范圍選定為19～21 kHz，所得結(jié)果數(shù)目取個數(shù)為5。

在求解分析過程中，對變幅桿的輸入端施加一個0.01 mm的位移約束，輸出端設(shè)置為自由端，求解出的結(jié)果寫入一個固定的文件中。

2.3 對變幅桿進行計算及分析

利用軟件后處理器將模態(tài)計算結(jié)果記錄在結(jié)構(gòu)分析文件中，記錄的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)包含變幅桿的頻率、振型和應(yīng)力，對于這些結(jié)果的準確度則取決于上述變幅桿單元網(wǎng)格的劃分。在五個不同的固有頻率下，變幅桿產(chǎn)生的縱向振動見圖2?？梢?，在不同頻率下的振動變形是不同的，在頻率為19.599 kHz時變形最小，且振動形態(tài)最佳。因此，超聲波發(fā)生器的工作頻率選為19.599 kHz，變幅桿在該頻率下可達到最大振幅。

圖2 變幅桿在不同頻率下的縱向振動

3 結(jié)束語

本文利用ANSYS有限元分析軟件求解分析圓柱指數(shù)型復合型變幅桿，通過建立變幅桿的實體模型及有限元分析，找出超聲波信號傳導至變幅桿的共振頻率數(shù)值，得出變幅桿的動力分析結(jié)果，并求解出最佳振動形態(tài)。

[1] 林書玉，張福成.大尺寸矩形斷面超聲變幅桿固有頻率的研究[J].聲學學報，1992，17（6）：451-455.

[2] 俞宏沛.非軸對稱變幅桿的設(shè)計及階梯形變幅桿圓滑過渡的研究[J].聲學與電子工程，1994（1）：9-13.

[3] LEE M，YOO Y H.Analysis of ceramic/metal armour system[J].International Journal of Impact Engineering，2001，25（9）：819-829.

[4] PEI Z J，F(xiàn)ERREIRA P M.Modeling of ductile-mode materialremovalin rotary ultrasonic machining[J]. International Journal of Machine Tools&Manufacture，1998，38：215-220.

[5] 朱伯芳.有限單元法原理與應(yīng)用[M].北京：水利電力出版社，2006.

[6] LEE T C，CHAN C W.Mechanism of the ultrasonic machining of ceramic composites[J].Journal of Materials Processing Technology，1997，7（1）：195-201.

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《電加工與模具》是我國特種加工和模具制造領(lǐng)域國內(nèi)外公開發(fā)行的專業(yè)性技術(shù)刊物，由蘇州電加工機床研究所和中國機械工程學會特種加工分會主辦。

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Dynamic Analysis of the Cylinder-index Amplitude Transformer

LIU Yao1，LI Bin2
（1.Department of Power Engineering，Shanxi University，Taiyuan 030006，China；2.Shanxi Special Equipment Supervision Inspection Institute，Taiyuan 030006，China）

The amplitude transformer of the ultrasonic machining can enlarge the amplitude and transfer the acoustic energy to the load efficiently.In order to make amplitude transformer work effective and reliable，it is necessary to have the dynamic characteristics for amplitude transformer. Because the section change of the composite amplitude transformer is complex，it is difficult to solve it by the traditional design method.The problem is usually solved by the finite element.The paper analyzes the cylinder-index amplitude transformer in dynamic performance by modal analysis and ANSYS computer program.Finally，the work frequency of the best form of vibration is gained.

ultrasonic machining；amplitude transformer；finite element；dynamic performance

TG663

A

1009－279X（2017）03－0061-02

2017-04-07

精密加工山西省重點實驗室開放課題（20160121）

劉垚，男，1981年生，副教授。