張力丹+++楊盼盼

摘要：在求解某些數(shù)學問題的時，有時需要引入換元法。本文首先對換元法進行了簡要的介紹，引入了常值換元法，局部換元法，和積換元法，三角換元法，均值換元法，比值換元法，放縮換元法，積分換元法。根據(jù)各換元法的思想，對各換元法進行了分析。分析結果表明，通過換元法可以將某些復雜的數(shù)學問題化繁為簡，化難為易，從而達到方便解題的目的。

關鍵詞：局部換元法；三角換元法；放縮換元法；換元積分法；均值換元法

1 引言

由于條件與結論中的變量關系在形式上的隱蔽，它們之間實質性的邏輯關系不易從表面形式上被發(fā)現(xiàn)，故需要從一種形態(tài)轉換到另一種形態(tài)。因此就出現(xiàn)了換元，并產生了換元法。換元法的基本思想是通過變量代換，可以化高次為低次，化分式為整式，化無理式為有理式，達到化繁為簡，化難為易的目的，從而達到解題方便的目的。目前所知道的常用的換元法有常值換元法，局部換元法，和積換元法，三角換元法，均值換元法，比值換元法，放縮換元法，以及數(shù)學積分應用中的第一換元積分法和第二換元積分法[1]。換元法在定積分，不定積分，方程，不等式，函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)等數(shù)學問題中有著廣泛的應用。當遇到代數(shù)中式子較繁瑣，解法比較復雜時，換元法就發(fā)揮了其功能，達到化難為易，化深為淺，化繁為簡的目的。這是簡化解題方案，尋求最佳解題法的有效方法。

2 常值換元法

常值換元法就是將數(shù)學題中的比較大或比較復雜的數(shù)字用簡潔的字母代替來解題，是最簡單的一種換元方法。當原數(shù)學問題中存在比較繁瑣的常值時，可以考慮使用常值換元法。利用常值換元法，可以將原數(shù)學問題中的常值數(shù)字更加突出，原表達式中常值與常值之間的規(guī)律更加明顯。

3 局部換元法

局部換元是一種換元方法，因此它的實質還是換元的思想。它和常值換元法類似，但是還存在一定的區(qū)別。它是一種最常用的換元方法，也稱整體換元法。在某些數(shù)學題中對于某個復雜的或多次出現(xiàn)的代數(shù)式當成一個整體，用一個變量來代替，這就體現(xiàn)了局部換元的思想，從而簡化問題，達到解題的要求。對于某些數(shù)學問題，當問題中存在某個復雜的代數(shù)式或多次出現(xiàn)某個代數(shù)式時，可以考慮局部換元法。利用局部換元法將不易直接求解的表達式轉換成易于求解的表達式。

4 和積換元法

當出現(xiàn)x+y，xy這種表達式的時候，可以將此種表達式作為解題的輔助元，這種解題方法是換元法中的和積換元法。當某些原數(shù)學問題中的表達式通過化簡變形之后，如果能夠轉換成x+y和xy的這種輔助元，就需要考慮用和積換元法。

5 三角換元法

三角換元法主要是利用一些常用的三角函數(shù)來實現(xiàn)換元，也是應用比較廣泛的一種換元方法[2]。當解答某些數(shù)學問題時，當需要三角函數(shù)代替某些復雜的表達式時，就需要考慮用三角換元法，利用三角換元法需要注意是原表達式的定義域必須滿足三角函數(shù)的定義域。

6 均值換元法

當表達式中出現(xiàn)類似X+Y=2K條件時，我們就可以把X，Y分別設為X=K+T，Y=K-T（K，T均為實數(shù)）來解題，這種換元法稱為均值換元法，當遇到兩個元素的和為定值時，就需要用均值換元法。當遇到兩個元素的和為定值的問題時，就需要考慮用均值換元法。

7比值換元法

當題中含有比例或經(jīng)過變換可以得出有連比的式子時，就可以設該式為輔助元，此換元法稱為比值換元法，當出現(xiàn)比例相等的式子時，就需要考慮用比值換元法。

8放縮換元法

放縮法是對題目中的表達式進行適度的放大和縮小[3]。放縮換元法，主要應用于不等式和數(shù)列求和，需要注意的一點是在放縮的過程中把握度。

9積分換元法

積分換元法分為兩類，第一類換元積分法和第二類換元積分法[4] 。第一類換元積分法是不定積分的基礎且具有很大的靈活性，為了能應用第一類換元積分法來解題，就需要靈活的運用所學的微分公式。第二類換元積分法主要用于求被積函數(shù)含有根號的不定積分，去掉根號是換元的主要思路[5]。在第二類換元積分法中有三角代換，根式代換和倒數(shù)代換來達到去根號的目的[6]。

10結束語

通過對上面各種換元積分法的分析和探究可以看出，換元法起著極其重要的作用，通過換元法可以清楚的認識到某些數(shù)學問題的本質，使得在求解這些數(shù)學問題時，可以化繁為簡，化難為易，減少計算量，提高解題速度。學會運用各種換元法，不僅可以了解決到數(shù)學的諸多分支的難題，還可以拓展學生的思維，激發(fā)學生的學習興趣。對于某些直接不易求解的數(shù)學問題時，需要仔細觀察問題結構特點，抓住問題存在的規(guī)律，深入剖析問題的隱含條件，適當?shù)膿Q元，找到最佳的解題路徑，并結合所學的知識綜合運用給予解答。當然，在寫此論文的過程中發(fā)現(xiàn)本文研究的只是常用的換元法解題的技巧，缺少對換元法解題理論的深入研究，因此在換元理論方面還需要完善。

參考文獻

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M]（第三版 上冊）.北京：高等教育出版社，2013：182-186

[2]胡秀萍.淺談三角代換在解題中的應用[J].中學數(shù)學教學，2014（02）：36-37

[3]陳慰敏.巧用換元法證明等式或不等式[J].中學數(shù)學教學，2012（03）：26-27

[4]周華春.換元法在解方程（組）中的應用[J].成都教育學院學報，2014（07）：65-66

[5]冉莉莉.換元法在數(shù)學教學中的應用[J].機械職業(yè)教育，2012（08）：25-30

[6]劉大鳴，李鵬云.例說換元法的簡化功能[J].數(shù)學教學通訊，2015（12）：89-90