蔡孟春

摘 要：部分高中學(xué)生在平常學(xué)習(xí)中比較困難，停留在死套一些公式，沒有深層的理解，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，而且解題過程中思維單一，掌握了一種解題方法以后，忽略其他解題方法，思維固化，不能靈活適應(yīng)不同的問題情境等等。通過挖掘結(jié)構(gòu)化教學(xué)文獻(xiàn)綜述，經(jīng)過整合后提出一套教學(xué)模式：教學(xué)對象的結(jié)構(gòu)化；教學(xué)過程的結(jié)構(gòu)化；教學(xué)成果的結(jié)構(gòu)化，并圍繞此模式進(jìn)行詳述。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；結(jié)構(gòu)化教學(xué)；習(xí)題教學(xué)

筆者通過對高中教學(xué)的實(shí)踐和反思發(fā)現(xiàn)：部分學(xué)生在平常學(xué)習(xí)中比較困難，停留在死套一些公式，沒有深層的理解，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。而且，部分學(xué)生解題過程中思維單一，掌握了一種解題方法以后，忽略其他解題方法，思維固化，不能靈活適應(yīng)不同的問題情境等等。以上問題促使我思考如何去突破這一難點(diǎn)。通過閱讀和查詢，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的思維教學(xué)可以很好地解決這個(gè)問題。

一、結(jié)構(gòu)化的內(nèi)涵

結(jié)構(gòu)的含義是：（1）（名）各個(gè)組成部分的搭配和排列；（2）（動(dòng)）組織和安排。在本文中，結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維是指一種從框架到細(xì)節(jié)的數(shù)學(xué)思維方式，對于數(shù)學(xué)問題的構(gòu)成要素進(jìn)行合理的分類，并對其重點(diǎn)環(huán)節(jié)進(jìn)行分析。

二、結(jié)構(gòu)化思維的教學(xué)模式

通過相關(guān)理論的提煉，筆者初步提出了在不等式教學(xué)中結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思維的一個(gè)教學(xué)模式，如圖1所示。以下將圍繞這個(gè)圖加以闡述。

1.不等式教學(xué)中思維對象的結(jié)構(gòu)化

數(shù)學(xué)知識本身是有結(jié)構(gòu)的，如數(shù)學(xué)概念圖等，所以我首先梳理了有關(guān)不等式的考點(diǎn)結(jié)構(gòu)以及不等式知識結(jié)構(gòu)圖，并且分析它們之間的邏輯關(guān)系。

2.不等式教學(xué)中思維過程的結(jié)構(gòu)化

在教學(xué)中學(xué)生思維過程中，主要把握3個(gè)方面：（1）思維起點(diǎn)，讓學(xué)生進(jìn)行特征識別與提取。（2）思維方向，啟發(fā)學(xué)生多維度思考問題。（3）思維過程，讓學(xué)生進(jìn)行多層理解，聚焦核心解題步驟。以下將圍繞筆者對于以下例題的教學(xué)過程加以說明：

例：若正實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b=1，求：■+■有最小值。

（1）思維起點(diǎn)——特征識別

從數(shù)學(xué)課程角度看，要讓問題特征凸顯。已知條件的特征：

①若正實(shí)數(shù)a，b；②a+b=1，可以通過多媒體課件凸出強(qiáng)調(diào)顯示，特別是條件②，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注核心條件特征②。

從學(xué)生的角度看，引導(dǎo)學(xué)生聚焦問題核心條件。一方面，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注條件①與條件②的關(guān)系，條件①與條件②的交集表示什么，其幾何意義有什么關(guān)系等，引導(dǎo)學(xué)生聚焦核心條件②a+b=1。另一方面，引導(dǎo)學(xué)生聚集求解對象③■+■，引導(dǎo)學(xué)生思考對象③與條件②的關(guān)系是什么，進(jìn)行初步解題方向的嘗試。

（2）思維方向——多向啟發(fā)

數(shù)學(xué)思維關(guān)鍵在于選擇思維的方向：幾何還是代數(shù)，特殊還是一般，轉(zhuǎn)化或是猜想等等。在思考方向上，主要可以從以下兩個(gè)方向引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。

首先，從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行聯(lián)想。本題中可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已經(jīng)解決的類似的問題，如：若正實(shí)數(shù)a，b，a+b=1，求：ab的最大值，可以選擇兩種思路：思路一：消元降次；思路二：直接應(yīng)用均值不等式等。

其次，發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生自我探究，預(yù)設(shè)可能有的思維方向。思路一：消元降次的方向上，可以嘗試消去a或者b，化成一個(gè)函數(shù)最值問題。思路二：直接對■+■，利用均值不等式嘗試求解。思路三：進(jìn)行構(gòu)造與轉(zhuǎn)化所求結(jié)果：（■+■）·1=（■+■）·（a+b），進(jìn)而求解。

（3）思維過程——多層理解

在每一個(gè)確定的思維方向下，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考，其次，發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生自我探究，嘗試解答。在此環(huán)節(jié)注意引導(dǎo)學(xué)生從全局考慮，聚焦解決問題的關(guān)鍵步驟，主要關(guān)注解決問題的幾個(gè)核心步驟，如以下主要核心問題，不用強(qiáng)調(diào)太多的運(yùn)算

過程。

思維過程一：在消元降次的方向上，可以將a+b=1轉(zhuǎn)化為b=1-a，進(jìn)而 ■+■=■+■=■，觀察其是一個(gè)關(guān)于a的二次函數(shù)，且a>0，進(jìn)而使問題得到解決。

思維過程二：直接利用均值不等式：■+■≥2■=■，利用基本不等式，ab最大值已經(jīng)解決，進(jìn)而

求解。

思維過程三：構(gòu)造與轉(zhuǎn)化所求結(jié)果：（■+■）·1=（■+■）·（a+b）=

1+1+■+■，再利用基本不等式，得到：■+■≥2■=2，進(jìn)而得到■+■的取值范圍。

3.不等式教學(xué)中思維成果的結(jié)構(gòu)化

在本環(huán)節(jié)，讓學(xué)生嘗試畫出核心數(shù)學(xué)問題解題過程中數(shù)學(xué)思維過程的圖示，形成思維成果。首先，引導(dǎo)學(xué)生確定思維方向，這是最主要的。其次，讓學(xué)生畫出主要的核心步驟。再次，歸納每一步驟之間所用的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)縱向與橫向知識都有一個(gè)系統(tǒng)的理解，形成一個(gè)數(shù)學(xué)思維網(wǎng)絡(luò)。在此過程中，老師可以提問，進(jìn)行補(bǔ)充和完善，并且相互討論，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)圖示（見圖2）。

4.教后反思

在不等式的結(jié)構(gòu)化思維教學(xué)中，從教學(xué)內(nèi)容上力求建立完整的不等式的知識結(jié)構(gòu)體系，讓學(xué)生不只是學(xué)到單“點(diǎn)”形式的知識點(diǎn)，而是知識網(wǎng)絡(luò)，建立一個(gè)完整的知識結(jié)構(gòu)，同時(shí)，學(xué)會由結(jié)構(gòu)特征尋找解決問題的方法，體會其中的數(shù)學(xué)思想方法。在教學(xué)中，學(xué)生基本能夠掌握比較完整的不等式的知識結(jié)構(gòu)，同時(shí)，能比較靈活地掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。

在不等式的教學(xué)中，注重教師的積極引導(dǎo)，學(xué)生主動(dòng)地自我思維，這是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的關(guān)鍵。教師不僅是傳授，更是引導(dǎo)一種數(shù)學(xué)思維的方式，使學(xué)生學(xué)會結(jié)構(gòu)化的思維問題，從多維度審視問題，從多層次深度理解問題。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維生成是核心，讓學(xué)生先嘗試跟著問題驅(qū)動(dòng)思考，再發(fā)揮自己的思維主動(dòng)性，積極去發(fā)揮和創(chuàng)造。

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編輯 張珍珍