余瑤 文浩陳提

（南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016）

中心剛體-柔性梁應(yīng)變反饋多目標(biāo)優(yōu)化控制?

余瑤 文浩?陳提

（南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016）

本文針對(duì)柔性結(jié)構(gòu)在軌組裝任務(wù)背景，將自動(dòng)飛船和待運(yùn)送部件分別簡化為中心剛體和柔性梁附件，研究自由漂浮中心剛體-柔性梁系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)與控制問題.首先基于小變形和低轉(zhuǎn)速假設(shè)，將梁用假設(shè)模態(tài)法離散，采用Lagrange方程導(dǎo)出系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程.繼而設(shè)計(jì)一種帶有應(yīng)變反饋的PD控制律用于完成中心剛體的狀態(tài)鎮(zhèn)定以及柔性梁振動(dòng)抑制.此外，本文還使用遺傳算法對(duì)控制器中的參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化.最后，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性.

中心剛體-柔性梁， 剛?cè)狁詈希?遺傳算法， 多目標(biāo)優(yōu)化， 應(yīng)變反饋

引言

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，航天器逐漸大型化、輕質(zhì)化.由于受到航天運(yùn)載器單次運(yùn)載能力的限制，如何構(gòu)建這些大型航天結(jié)構(gòu)是當(dāng)前學(xué)術(shù)界和工程界關(guān)注的熱點(diǎn).在軌組裝技術(shù)是一種非常具有吸引力的大型航天器建造方法［1］.Peggy等展示了如何通過自由飛行的空間機(jī)器人完成柔性空間結(jié)構(gòu)的運(yùn)輸、裝配以及振動(dòng)控制［2］.Chen等針對(duì)多個(gè)中心剛體-柔性梁構(gòu)成的一組欠驅(qū)動(dòng)拉格朗日系統(tǒng)，將輸出一致控制器和避撞控制器結(jié)合設(shè)計(jì)了組裝過程復(fù)合控制律［3］.

柔性空間結(jié)構(gòu)在軌組裝首先需通過自動(dòng)飛船或空間機(jī)器人將柔性部件運(yùn)送至待組裝地點(diǎn).在此過程中，剛體的運(yùn)動(dòng)會(huì)引起柔性附件的振動(dòng)，同時(shí)柔性附件的振動(dòng)也會(huì)影響剛體的運(yùn)動(dòng)，兩者相互耦合.剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制是學(xué)術(shù)界和工程界廣泛關(guān)注的重要問題［4］.例如，Tso等采用 Lagrange方程和假設(shè)模態(tài)法建立了柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，并利用撓度反饋對(duì)柔性機(jī)械臂的振動(dòng)進(jìn)行了控制［5］.Cai等使用Hamilton原理建立了中心剛體-柔性梁系統(tǒng)的一次近似耦合模型，并研究了系統(tǒng)在不同阻尼情況下的動(dòng)力學(xué)特性［6］.Bakhti和Idrissi考慮柔性梁小變形情況下的中心剛體-柔性梁系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，提出了一種基于模型的多變量預(yù)測控制器，結(jié)合卡爾曼濾波器實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)反饋振動(dòng)控制［7］.Feliu等提出了一種針對(duì)單個(gè)柔性臂的應(yīng)變反饋無源控制器設(shè)計(jì)方法，研究了大負(fù)載變化情況下柔性梁末端的精確定位問題［8］.Wu等建立了帶柔性附件航天器的三維動(dòng)力學(xué)模型，為航天器在障礙物環(huán)境中的位置和大角度操縱提出了避障控制方案［9］.

值得注意的是，剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)控制的任務(wù)目標(biāo)往往不是單一的.為了優(yōu)化多個(gè)甚至相互沖突的量，多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)目前已被廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和調(diào)節(jié)問題中.相對(duì)于傳統(tǒng)的單目標(biāo)優(yōu)化問題，多目標(biāo)問題的解是由許多滿足條件的解組成的解集，稱之為Pareto集，相應(yīng)的由目標(biāo)函數(shù)值組成的集稱之為 Pareto前沿［10］.遺傳算法、蟻群優(yōu)化、免疫算法等方法已經(jīng)成功應(yīng)用于反饋控制系統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)［11］.例如，Chen等針對(duì)旋轉(zhuǎn)柔性梁的跟蹤問題設(shè)計(jì)了PID控制器，并采用胞映射法對(duì)超調(diào)量和峰值時(shí)間等控制變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)［12］.Zhang等用將蟻群優(yōu)化算法用于衛(wèi)星控制資源的調(diào)度問題［13］.Yue等基于遺傳算法研究了冗余機(jī)械臂的振動(dòng)抑制和點(diǎn)對(duì)點(diǎn)最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題［14］.Loudini等設(shè)計(jì)了標(biāo)準(zhǔn)的PD模糊邏輯控制器用于精確控制單個(gè)柔性桿的末端位置，并用遺傳算法優(yōu)化了控制器參數(shù)［15］.

現(xiàn)有的中心剛體-柔性梁系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制研究通常假設(shè)剛體中心位置固定，大都不考慮中心剛體平動(dòng)情況下的動(dòng)力學(xué)特性.本文針對(duì)柔性結(jié)構(gòu)在軌組裝任務(wù)背景，研究由自動(dòng)飛船或空間機(jī)器人將柔性部件運(yùn)送至待組裝地點(diǎn)過程中的位置平動(dòng)、姿態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)及柔性振動(dòng)的綜合控制問題.為此，本文將自動(dòng)飛船和待運(yùn)送部件分別簡化為中心剛體和柔性梁附件，建立了自由漂浮的中心剛體-柔性梁系統(tǒng)模型.基于小變形和低轉(zhuǎn)速假設(shè)，將梁用假設(shè)模態(tài)法離散，采用Lagrange方程導(dǎo)出了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程.繼而設(shè)計(jì)了一種帶有應(yīng)變反饋的PD控制器，以實(shí)現(xiàn)剛體狀態(tài)鎮(zhèn)定和柔性梁振動(dòng)抑制，并對(duì)控制器中的參數(shù)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化.最后，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性.

1 動(dòng)力學(xué)模型

本文將自動(dòng)飛船和待運(yùn)送部件分別簡化為圓形中心剛體和柔性梁附件，通過Lagrange方程導(dǎo)出此自由漂浮的中心剛體-柔性梁系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.為便于計(jì)算和分析，采用浮動(dòng)坐標(biāo)系法描述梁的柔性運(yùn)動(dòng)，并通過假設(shè)模態(tài)法將柔性梁進(jìn)行離散.如果剛體的轉(zhuǎn)速低，并且梁的變形很小，那么用浮動(dòng)坐標(biāo)系建立的系統(tǒng)模型能夠足夠精確地描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)且便于控制器的設(shè)計(jì)［16，17］.

圖1 空間自由漂浮的中心剛體-柔性梁示意圖Fig.1 Dynamic model of a free-floating hub-beam system

考慮如圖1所示在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的中心剛體-柔性梁系統(tǒng)，其中柔性梁一端固連在中心剛體上．圖中O0X0Y0為慣性坐標(biāo)系，O表示剛體的中心，o0是柔性梁和剛體的連接點(diǎn)，o0x0y0表示固結(jié)在未變形梁上的浮動(dòng)坐標(biāo)系．為了便于柔性梁的振動(dòng)抑制，在距離柔性梁固定端x＝δ處粘貼有應(yīng)變計(jì)，其中δ是一個(gè)小量．

剛體中心O點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)向量表示為 ro＝［X，Y］T，其中 X，Y 分別是剛體中心在 X0，Y0方向上的坐標(biāo)．此外，θ表示剛體的轉(zhuǎn)角，R表示剛體半徑，w表示梁上任意一點(diǎn)P處的撓度．因此P點(diǎn)的位置矢量rP在慣性坐標(biāo)系O0X0Y0下可以表示為［3］:

其中?表示從浮動(dòng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系的方向余弦矩陣，具體形式如下:

其中 qi（t）和 φi（x）分別表示懸臂梁的第 i階模態(tài)坐標(biāo)和第i階振型函數(shù)．不失一般性，僅選取第一階模態(tài)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)．在下文中用q和φ表示第一模態(tài)坐標(biāo)和相應(yīng)振型函數(shù)．

系統(tǒng)動(dòng)能表示為:

式中mR表示剛體的質(zhì)量，JR表示剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ρ表示柔性梁的線密度．采用Euler梁建模假設(shè)，將系統(tǒng)的勢(shì)能表示為:

其中E表示材料的彈性模量，I表示柔性梁截面慣性矩．不計(jì)系統(tǒng)內(nèi)阻尼，選取q＝［X Y θ q］T為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)向量，采用拉格朗日方程導(dǎo)出如下系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程:

式中M為4×4維慣性矩陣，G＝?V／?q為彈性力向量，τ＝［τ1，τ2，τ3，τ4］T為系統(tǒng)的外部控制輸入．此外，選取C使得˙M-2C為反對(duì)稱矩陣．M、C和G的具體表達(dá)式見附錄．

2 控制律設(shè)計(jì)

為便于物理實(shí)現(xiàn)，假設(shè)控制輸入僅作用于剛體自由度，模態(tài)自由度控制力τ4恒為零．本文采用帶有應(yīng)變反饋的PD控制器使系統(tǒng)姿態(tài)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)，并通過中心剛體與柔性梁間的動(dòng)力學(xué)耦合來實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制．距離柔性梁的固定端距離δ處的表面應(yīng)變?yōu)?

其中，ε是梁在x＝δ處的應(yīng)變，h是梁的厚度，注意到對(duì)于固定邊界條件有φ′（0）＝0，結(jié)合:

彎曲變形和x＝δ處偏轉(zhuǎn)角α之間的關(guān)系為:

由于梁彎曲為小變形，所以α非常小，δ處應(yīng)變可以表示為［12］:

柔性梁的相對(duì)轉(zhuǎn)角α和模態(tài)q之間的關(guān)系為:

設(shè)計(jì)如下形式的控制器:

其中 θd為期望達(dá)到的姿態(tài)角，k1，k2，k3，k4是相應(yīng)的控制增益．此外，針對(duì)系統(tǒng)平動(dòng)運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)如下形式的PD控制器:

其中p＝［X，Y］T表示剛體當(dāng)前的坐標(biāo)位置，pd＝［Xd，Yd］T表示剛體中心預(yù)期達(dá)到的位置，Kp和Kd均是正定矩陣．

3 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

一般地，多目標(biāo)優(yōu)化問題表述為由n個(gè)待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)組成的集合，單個(gè)目標(biāo)函數(shù)具有m個(gè)相同的決策變量，用數(shù)學(xué)形式表示為:

式中， β＝［β1，β2，…，βm］T表示決策向量，包含了m 個(gè)決策變量，fi（β）（1≤i≤n）表示目標(biāo)函數(shù)．決策變量的取值空間可表示為:

其中e和h分別為不等式和等式約束數(shù)，gi和hj分別表示等式約束和不等式約束．

由于每一個(gè)目標(biāo)代表了不同的性能指標(biāo)，單一的決策向量不可能將全部目標(biāo)函數(shù)同時(shí)最優(yōu)化，因此通常用支配的關(guān)系來定義多目標(biāo)問題的最優(yōu)解．幾個(gè)相關(guān)定義如下文所示［18］:

定義1 假設(shè)向量V，W∈?m，V和W是兩個(gè)決策向量，對(duì)任意的一個(gè)目標(biāo)函數(shù)fi（1≤i≤n）都滿足 fi（V）≤fi（W），且至少有一個(gè) i滿足 fi（V）＜fi（W），那么稱之為V支配W；

定義2 V是多目標(biāo)問題的一個(gè)可行解，V∈Z，如果在Z中不存在能夠支配x的另一個(gè)可行解V?，那么稱可行解V是多目標(biāo)問題的一個(gè)Pareto最優(yōu)解；

定義3 所有Pareto最優(yōu)解構(gòu)成的集合稱之為Pareto集．

多目標(biāo)優(yōu)化的目的就是找到Pareto集，并根據(jù)需要選擇其中的最優(yōu)解加以應(yīng)用．

由于柔性梁橫向振動(dòng)主要與中心剛體轉(zhuǎn)動(dòng)耦合，因此僅對(duì)旋轉(zhuǎn)自由度控制律增益進(jìn)行優(yōu)化，將式 （12）中的增益向量 k＝［k1，k2，k3，k4］作為多目標(biāo)優(yōu)化的決策向量．超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間是單位階躍響應(yīng)的重要?jiǎng)討B(tài)性能指標(biāo)，用超調(diào)量評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度，調(diào)節(jié)時(shí)間反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度．控制律設(shè)計(jì)的目標(biāo)是:使中心剛體的位置和姿態(tài)達(dá)到預(yù)期目標(biāo)位置，并盡可能地減少控制超調(diào)量σ和調(diào)節(jié)時(shí)間Ts．因此，該多目標(biāo)優(yōu)化問題具有4個(gè)設(shè)計(jì)輸入?yún)?shù)和2個(gè)目標(biāo)函數(shù)，即．具體遺傳算法執(zhí)行流程如圖2所示［4］．

圖2 遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖Fig.2 Flow chart of optimization design by genetic algorithm

4 算例仿真

以下通過仿真算例對(duì)所述方法進(jìn)行考核驗(yàn)證．取柔性梁的線密度為 ρ＝0．216kg／m，長度為 L＝2m，彈性模量為 E＝70GPa，截面慣性矩為 I＝2．67×10-11m4，中心剛體質(zhì)量為mR＝5kg，剛體半徑為R＝0．1m，應(yīng)變計(jì)粘貼位置是 δ＝0．02m．

初始時(shí)刻柔性梁未產(chǎn)生變形．預(yù)期達(dá)到的控制目標(biāo)是將剛體質(zhì)心位置和轉(zhuǎn)動(dòng)分別控制到［1，1．5］T和1，其中長度和角度單位分別為米和弧度．為了實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制目標(biāo)，柔性梁的相對(duì)轉(zhuǎn)角α期望值為 0．選取 Kp＝diag（1，1）和 Kd＝diag（2，2）作為剛體質(zhì)心位置控制部分的增益．多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，姿態(tài)及應(yīng)變反饋控制增益取值空間設(shè)計(jì)為:控制目標(biāo)設(shè)計(jì)為:

｛σ，Ts｝≤｛10%，10s｝

采用MATLAB遺傳算法工具箱的gamultiobj函數(shù)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化計(jì)算．最優(yōu)前端體系數(shù)取為0．6，種群大小設(shè)置成1000，最大進(jìn)化代數(shù)為200，停止代數(shù)為200，得到4維空間的最優(yōu)解集．圖3和圖4是優(yōu)化增益k的子空間圖．

圖3 Pareto 集的三維子空間（k1，k2，k3）Fig.3 3D sub-space （k1，k2，k3） of the Pareto set

圖4 Pareto 集的三維子空間（k2，k3，k4）Fig.4 3D sub-space （k2，k3，k4） of the Pareto set

優(yōu)化得到的結(jié)果均能滿足設(shè)計(jì)的控制目標(biāo)，即｛σ，Ts｝≤｛10%，10s｝．以下分別對(duì)超調(diào)量 σ 最小和調(diào)節(jié)時(shí)間Ts最短情形為例進(jìn)行分析，選擇優(yōu)化結(jié)果中對(duì)應(yīng)的控制增益進(jìn)行仿真．圖5和圖6給出了轉(zhuǎn)角超調(diào)量σ最小情形（算例1）的仿真結(jié)果，對(duì)應(yīng)于 k＝［2．2353，4．8386，5．0000，4．4035］時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)．圖6是剛體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡，剛體質(zhì)心在t＝50s時(shí)能夠達(dá)到預(yù)期的位置，圖6為剛體的轉(zhuǎn)角θ以及柔性梁相對(duì)轉(zhuǎn)角α的時(shí)間歷程．從圖6可以看出，此時(shí)跟蹤θd產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角超調(diào)量σ是最小的，幾乎為零．

圖5 剛體中心位置（算例1）Fig.5 Centroid position of the rigid hub （Case 1）

圖6 剛體轉(zhuǎn)角θ和柔性梁相對(duì)轉(zhuǎn)角α（算例1）Fig.6 Rotation angle θof the hub and relative rotation angle α of the flexible beam

圖7和圖8給出了調(diào)節(jié)時(shí)間Ts最小情形（算例 2）的仿真結(jié)果，即 k＝［2．1068，3．6829，2．1278，4．9120］時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)．對(duì)比圖5和圖7可見，剛體到達(dá)預(yù)期位置的時(shí)間幾乎不變．在這組增益的作用下，如圖8所示，跟蹤θd產(chǎn)生的超調(diào)量σ＝2%，然而這種情況下，跟蹤θd所需的調(diào)節(jié)時(shí)間較少．仿真結(jié)果表明，同一個(gè)控制增益不能夠同時(shí)優(yōu)化所有的目標(biāo)函數(shù)．

圖7 剛體中心位置（算例2）Fig.7 Centroid position of the rigid hub （Case 2）

圖8 剛體轉(zhuǎn)角θ和柔性梁相對(duì)轉(zhuǎn)角α（算例2）Fig.8 Rotation angle θ of the hub and relative rotation angle α of the flexible beam （Case 2）

5 結(jié)論

本文考慮柔性構(gòu)件的在軌運(yùn)送應(yīng)用需求，將自動(dòng)飛船和待運(yùn)送部件分別簡化為圓形中心剛體和柔性梁附件，研究了中心剛體-柔性梁系統(tǒng)的平動(dòng)、姿態(tài)及振動(dòng)控制問題.為使控制器能夠滿足特定的性能目標(biāo)，利用遺傳算法求解了帶應(yīng)變反饋的PD控制器的多目標(biāo)優(yōu)化問題.在給定的設(shè)計(jì)空間中，得到了滿足相應(yīng)目標(biāo)最優(yōu)的控制增益.仿真結(jié)果表明，在給定的設(shè)計(jì)空間中，存在多個(gè)不同的優(yōu)化增益，不同的增益能達(dá)到不同的控制目標(biāo).

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附錄

MULTI-OBJECTIVE OPTIMAL CONTROL OF A FLEXIBLE HUB-BEAM WITH STRAIN FEEDBACK?

Yu Yao Wen Hao?Chen Ti
（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）

For the application of automatically assembling flexible space structures，this paper studies the dynamic characteristic and control design of a free-floating hub-beam system，where the rigid hub and flexible beam are the simplified models of a spacecraft and a flexible element，respectively.Based on the assumption of small deformation and low motion speed，the beam is discretized through the assumed mode method.The dynamic formulation of the system is derived by using the Lagrange equation.A PD control law with strain feedback is then designed for simultaneously tracking the desired attitude angle and suppressing the vibration of the flexible beam.Moreover，the multi-objective genetic algorithm is applied to perform the multi-objective optimization for the controller parameters.Finally，the effectiveness of the controller is verified by numerical examples.

flexible hub-beam， rigid-flexible coupling， genetic algorithm， multi-objective optimization，strain feedback

22 July 2016，revised 20 December 2016.

10.6052／1672-6553-2017-012

2016-07-22收到第1稿，2016-12-20收到修改稿.

?國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11372130，11290153）和高等學(xué)校全國優(yōu)秀博士論文作者專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（201233）

?通訊作者 E-mail:wenhao＠nuaa.edu.cn

?The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11372130，11290153） and the Foundation for the Author of National Excellent Doctoral Dissertation of China （201233）

? Corresponding author E-mail:wenhao＠nuaa.edu.cn