李蒙 李鳳明

（北京工業(yè)大學機電學院，北京 100124）

采用MFC壓電作動器對復合材料懸臂板振動主動控制?

李蒙 李鳳明?

（北京工業(yè)大學機電學院，北京 100124）

針對復合材料層合懸臂板，在其上表面鋪設(shè)壓電纖維復合材料MFC作為作動器，同時在下表面對稱鋪設(shè)壓電薄膜（PVDF）作為傳感器，應(yīng)用速度反饋控制方法研究其主動振動控制.運用Hamilton原理和假設(shè)模態(tài)法推導含多個MFC作動器的復合材料層合板的力電耦合結(jié)構(gòu)運動方程，其中考慮了MFC作動器作為懸臂板附加質(zhì)量及剛度的影響.基于模態(tài)控制力／力矩最大化的原則，將多對MFC作動器／PVDF傳感器鋪設(shè)在層合懸臂板前幾個低階模態(tài)應(yīng)變最大的區(qū)域，通過算例得出結(jié)構(gòu)受控前后的時域和頻域響應(yīng)以及各MFC作動器所需的控制電壓曲線.討論復合材料層合板纖維鋪設(shè)角度不同情況下，作動器MFC鋪設(shè)位置及壓電纖維鋪設(shè)方向的相應(yīng)變化.

復合材料懸臂板， 壓電纖維復合材料（MFC）， 纖維鋪設(shè)角度， 模態(tài)控制

引言

隨著航空航天飛行器、高速列車等運載裝備速度的不斷提高，以及纖維增強復合材料等輕質(zhì)高強材料在機翼、機身與車身壁板等經(jīng)常處于動載荷作用下的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)中的使用，工程結(jié)構(gòu)振動及其控制問題日益突出，可能會由于振動產(chǎn)生疲勞甚至破壞.因而針對輕質(zhì)復合材料層合板殼結(jié)構(gòu)，研究其主動振動控制具有重要理論與實際應(yīng)用價值.

在過去的二十多年里，國內(nèi)外學者采用壓電陶瓷PZT作為傳感器和作動器，針對梁、板等結(jié)構(gòu)的振動主動控制問題進行了廣泛的研究，并且已相對較為成熟.然而，由于壓電陶瓷PZT在實際應(yīng)用中的局限性，比如容易出現(xiàn)脆性斷裂以及很難粘貼在曲面結(jié)構(gòu)上［1］，部分學者近些年已經(jīng)逐漸采用具有優(yōu)良韌性和驅(qū)動能力的壓電纖維復合材料比如MFC等作為壓電陶瓷PZT的潛在替代品來研究結(jié)構(gòu)的振動主動控制問題.Heung Soo Kim［2］等將MFC作動器粘貼在圓柱殼的表面，通過理論與實驗方法研究了其主動振動控制.Kovalovs A［3］等采用實驗方法，將MFC作為作動器研究了懸臂梁和圓盤的振動主動控制.Giovanni Ferrari和 Marco Amabili［4］針對四邊自由的泡沫夾芯板，采用分布式MFC作動器研究了其主動振動控制.范麗鋒［5］基于MFC壓電作動器，針對柔性梁研究了其主動振動控制問題.但總體上，相比于國外，國內(nèi)學者采用MFC等壓電纖維復合材料作為驅(qū)動器的振動主動控制研究還比較缺乏.

對于同樣具有高可靠性并能夠應(yīng)用在曲面結(jié)構(gòu)上的壓電薄膜（PVDF），由于其壓電常數(shù)遠小于PZT和MFC，單片的PVDF不能提供足夠的驅(qū)動力，因而 PVDF 通常被用作壓電傳感器［6，7］. 又由于PVDF的剛度系數(shù)遠小于懸臂板和MFC［6］，本文建模過程中忽略了其作為傳感器的附加質(zhì)量及剛度的影響，但考慮了MFC作動器對主結(jié)構(gòu)的剛度矩陣及質(zhì)量矩陣的影響.

文中針對復合材料層合懸臂板，在文獻［8-10］等的研究基礎(chǔ)上，采用MFC作為作動器，PVDF作為傳感器，應(yīng)用Hamilton原理和假設(shè)模態(tài)法推導了含多個MFC作動器的復合材料層合板的力電耦合結(jié)構(gòu)運動方程.然后基于模態(tài)控制力／力矩最大化的原則，對MFC作動器的位置進行了優(yōu)化鋪設(shè)，并得出了結(jié)構(gòu)受控前后的時域和頻域響應(yīng)以及各作動器MFC上所需的控制電壓.最后討論了復合材料層合板纖維鋪設(shè)角度不同情況下，MFC作動器鋪設(shè)位置及壓電纖維鋪設(shè)方向的相應(yīng)變化.

1 含MFC復合材料層合板的運動方程

1.1 MFC及其壓電本構(gòu)方程

壓電纖維復合材料（MFC）是由美國航空航天局（NASA）的 Langley 研究中心研制［1］，由于其高應(yīng)變驅(qū)動效率、定向驅(qū)動能力、高可靠性以及可粘貼于曲面結(jié)構(gòu)等優(yōu)良特性，MFC逐漸被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)形狀及振動控制、壓電能量采集和結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測等領(lǐng)域［11］.MFC主要由壓電纖維、電極、聚合物基體組成，包括MFC-d31和MFC-d33兩種類型［11］.其中MFC-d31的極化方向沿厚度方向并垂直于壓電纖維方向，而MFC-d33的極化方向沿壓電纖維方向，其特殊的結(jié)構(gòu)布局使得d33型的MFC能產(chǎn)生更大的驅(qū)動力［12］，本文所采用的MFC-d33結(jié)構(gòu)簡圖及其電場分布如圖 1［3］和圖 2［13］所示.

圖1 MFC結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 MFCconfiguration

圖2 MFC-d33電場分布Fig.2 Electrical field for MFC-d33

為簡化MFC-d33較為復雜的電場分布，本文假設(shè)其電場在其電極之間是均勻分布的［14］，同時將MFC-d33看作是正交各向異性材料［12］，其壓電方程為［12］:

式中{ σMFC}為MFC的應(yīng)力向量，為MFC的正應(yīng)力和切應(yīng)力分量，為MFC的正應(yīng)變和切應(yīng)變分量，C11，C12，C22和 C66為 MFC 的剛度系數(shù)，E1（ ＝VMFC（t）／hE）和 D1分別為電場強度和電位移，VMFC（t）和hE分別為外加控制電壓和電極之間的間距，e11，e12和∈11為壓電應(yīng)力常數(shù)和介電常數(shù)，［T］為與壓電纖維角度有關(guān)的轉(zhuǎn)換矩陣，具體請參見文獻［12］．

同時，在文中作為壓電傳感器的PVDF，其壓電效應(yīng)類型及壓電方程與傳統(tǒng)的PZT類似，因而不再作詳細介紹．

1.2 含MFC層合板力電耦合運動方程的建立

考慮圖3所示含多對MFC的復合材料層合懸臂板結(jié)構(gòu)，板的長、寬、厚度分別為a，b和h．設(shè)板的橫向位移為w，以板的中面作為xOy平面，構(gòu)建如圖3所示的直角坐標系．

根據(jù)Kirchhoff薄板理論，懸臂板和MFC內(nèi)任一點的面內(nèi)和橫向位移為:

板和MFC的應(yīng)變-位移關(guān)系如下:

式中｛ε｝代表板和 MFC 的應(yīng)變向量，εx，εy，γxy代表板與MFC的正應(yīng)變和切應(yīng)變分量，［κ］為彎曲曲率向量．

圖3 層合懸臂板結(jié)構(gòu)Fig.3 Cantilevered laminated plate

板的本構(gòu)方程為:

采用Hamilton原理和假設(shè)模態(tài)法建立結(jié)構(gòu)的運動方程，Hamilton原理的具體表達式如下:

其中T，U和δW分別為含MFC懸臂板的總動能、總勢能以及外力虛功．

結(jié)構(gòu)的總動能T和總勢能U表達式分別為:

外力虛功δW表示為:

其中F（t）代表垂直于懸臂板的外激勵，x0，y0是外激勵作用點的橫縱坐標．

應(yīng)用假設(shè)模態(tài)法，將位移w表示為假設(shè)模態(tài)乘以廣義坐標的形式:

其中 g（t）為廣義坐標；W（x，y）為滿足結(jié)構(gòu)幾何邊界條件的假設(shè)模態(tài)函數(shù)，m和n為模態(tài)階數(shù)．g（t）和W（x，y）的具體表達式為:

由結(jié)構(gòu)動力學可知，懸臂板模態(tài)函數(shù)Wmn（x，y）是沿x軸方向的懸臂梁型函數(shù)Xm（x）與沿y軸方向的自由梁型函數(shù)Yn（y）的乘積形式，即:

懸臂板模態(tài)函數(shù)中的Xm（x）和 Yn（y）稍復雜，具體形式請參見文獻［8］．

將各式代入Hamilton原理表達式（6）以及假設(shè)模態(tài)法（10）～（12）的表達式，最終可以得到含MFC的復合材料層合懸臂板力電耦合運動方程:

式中M，K，MMFC和KMFC分別為層合板和MFC作動器的模態(tài)質(zhì)量陣、模態(tài)剛度陣，為系統(tǒng)的力電耦合矩陣，它們均是關(guān)于模態(tài)函數(shù)Wmn（x，y）及其偏導數(shù)的表達式，VMFC為控制電壓向量．

2 主動控制下的復合材料層合板運動方程

由第i個傳感器PVDF變形產(chǎn)生的電荷量表示為:

其中Ai，Zi和分別為第i個PVDF的面積、中面縱坐標和電位移，e31，e32為PVDF的壓電常數(shù)，，為PVDF的應(yīng)變，其表達式與式（4）一致．

對上式應(yīng)用假設(shè)模態(tài)法（10）～（12）的表達式可進一步得到:

式中∈33為PVDF的介電常數(shù)，hPVDF為PVDF的厚度．

將式（16）代入式（17）可得:

其中系數(shù)矩陣BiPVDF的表達式為:

由速度反饋控制算法得到作動器控制電壓為:

式中Giv為第i對作動器／傳感器的速度反饋增益．

將（18）和（20）代入（14）中，可得到主動控制下含有主動阻尼的復合材料懸臂板運動方程:

3 懸臂板振動主動控制分析

3.1 MFC作動器優(yōu)化布置

為獲得對受控結(jié)構(gòu)的最大驅(qū)動力／力矩，壓電作動器應(yīng)當鋪設(shè)在平均應(yīng)變最大的區(qū)域，并且遠離應(yīng)變節(jié)線［15］.由結(jié)構(gòu)動力學知識可知，振動產(chǎn)生的能量主要集中在低階，因此算例中針對懸臂板的前三階模態(tài)最大應(yīng)變區(qū)域布置三對MFC作動器／PVDF傳感器.最大應(yīng)變區(qū)域可通過ANSYS模態(tài)分析得到，如圖4所示.算例中的復合材料層合板長度為0.5m，寬度為0.25m，共10層對稱鋪設(shè)，鋪設(shè)角為 [45°／-45°／45°／-45°／45°]s.

圖4 懸臂板前三階模態(tài)的應(yīng)變分布Fig.4 Strain field of the first three modes

算例中，懸臂板的第一、二階模態(tài)是彎曲模態(tài)，其對應(yīng) MFC作動器選取 d33型的 M8557-P1［16］（8557指的是85mm?57mm），第三階模態(tài)是扭轉(zhuǎn)模態(tài)，對應(yīng) MFC作動器選取 d33型的 M8557-F1［16］（F1 指的是壓電纖維鋪設(shè)角度為 45°）. 得出的MFC作動器的位置鋪設(shè)圖如圖5所示.

圖5 MFC作動器鋪設(shè)位置Fig.5 Location of MFC actuators

3.2 含MFC復合材料懸臂板的振動特性

以圖5中MFC作動器鋪設(shè)方案為例，計算含MFC的層合懸臂板固有頻率.懸臂板及MFC作動器的材料常數(shù)如表1和2所示.

表1 復合材料懸臂板的材料常數(shù)Table 1 Materialparameters of the cantilevered plate

表2 MFC的材料及壓電常數(shù)Table 2 Material andpiezoelectric parameters of MFC actuators

求解含MFC層合懸臂板運動方程（14）的特征方程，不考慮力電耦合項，可以獲得含MFC壓電作動器懸臂板的各階固有頻率，如表3所示.

表3 含MFC的復合材料懸臂板各階固有頻率Table 3 Natural frequencies of cantilevered laminated plate bonded with MFCs

同時計算了不考慮MFC影響的懸臂板各階固有頻率，其結(jié)果與有限元仿真結(jié)果良好吻合，從而可驗證本文建模方法的正確性.同時，從表3可以看出，算例中壓電作動器MFC質(zhì)量及剛度的對懸臂板的固有特性的影響并不明顯.

3.3 振動控制分析

應(yīng)用速度反饋控制算法，對算例中層合懸臂板進行主動控制分析，其中MFC作動器／PVDF傳感器的鋪設(shè)位置仍如圖5所示.

首先對懸臂板施加正弦激振力，通過求解方程（21）可得到受控前后結(jié)構(gòu)在頻域下的振動響應(yīng)，如圖6所示.

圖6 受控前后懸臂板頻域下振動響應(yīng)Fig.6 Frequency responses of controlled and uncontrolled cantilevered plate

其中，三片MFC作動器單獨作用下的控制效果如圖7所示.可以看出，前三階頻率的振動響應(yīng)在相應(yīng)模態(tài)階數(shù)MFC作動器的控制下，幅值顯著減小.同時可看出第一、第三片MFC作動器也能降低第二階頻率下響應(yīng)幅值.并且其他較高頻率下的振動響應(yīng)幅值也得到了抑制.

對于圖7（a），由于第一片MFC作動器鋪設(shè)在懸臂板固定端的中間位置，因此其對懸臂板彎曲模態(tài)即第一、二階模態(tài)下的振動具有明顯抑制效果，其對結(jié)構(gòu)振動抑制的貢獻最大，但同時可看出，第一片MFC作動器對于扭轉(zhuǎn)模態(tài)即第三階模態(tài)下的振動響應(yīng)的控制效果并不明顯.

圖7（b）中，由于第二片MFC作動器鋪設(shè)在遠離懸臂板固定端的第二階模態(tài)平均應(yīng)變最大的區(qū)域，故可看出其對第二階振動的抑制效果明顯，而對于第一、三階的影響相對較小.

由圖7（c）可看出，第三階模態(tài)即扭轉(zhuǎn)模態(tài)對應(yīng)的振動響應(yīng)得到了顯著控制，這是前兩片MFC作動器所未能實現(xiàn)的.

圖7 三片MFC作動器單獨作用下的控制效果Fig.7 Controlperformance of single MFC actuator

總之，第一、二片MFC作動器對懸臂板彎曲振動的控制效果明顯，而第三片MFC作動器對于懸臂板的扭轉(zhuǎn)振動具有控制效果.

然后對懸臂板施加脈沖激勵，可得到懸臂板受控前后結(jié)構(gòu)在時域下的振動響應(yīng)，如圖8所示，其中包括第一、三片MFC作動器單獨作用下的控制效果.

從圖8中可看出，時域內(nèi)與圖7頻域內(nèi)振動控制結(jié)果相對應(yīng)，三個MFC作動器同時作用時控制效果最為明顯，同時可看出第一片MFC作動器對算例中懸臂板結(jié)構(gòu)振動抑制的貢獻最大.

圖8 懸臂板受控前后脈沖響應(yīng)Fig.8 Time domain responses of controlled and uncontrolled cantilevered plate

同時，三片MFC作動器各自所需的控制電壓如圖9所示.可看出，其所需電壓幅值均在MFC材料所允許范圍之內(nèi).

圖9 三片MFC作動器所需控制電壓Fig.9 Control voltages of the three MFC actuators

3.4 層合板纖維鋪設(shè)角度的影響

考慮層合板纖維鋪設(shè)角度的影響，針對不同纖維鋪設(shè)角度的層合懸臂板，應(yīng)用文中研究思路，即選取三片MFC作動器分別鋪設(shè)在懸臂板前三階的平均模態(tài)應(yīng)變最大區(qū)域，分別得出其對應(yīng)的MFC作動器的鋪設(shè)位置，如圖10所示.

圖10 不同纖維鋪設(shè)角度層合板的MFC作動器位置Fig.10 Placement of MFC actuators for cantilevered plate with different fiber orientation angle

圖10中，壓電纖維鋪設(shè)角度為45°的MFC作動器仍然鋪設(shè)在懸臂板扭轉(zhuǎn)應(yīng)變最大區(qū)域，從圖中看出，不同纖維鋪設(shè)角度對應(yīng)的作動器鋪設(shè)位置變動較大，而通過文中方法可有效獲得其鋪設(shè)位置.

4 結(jié)論

應(yīng)用壓電纖維復合材料MFC作為作動器，采用理論和數(shù)值分析方法，研究了不同鋪設(shè)角度層合懸臂板的主動振動控制問題，得出了結(jié)構(gòu)受控制前后的時域和頻域響應(yīng)，以及MFC作動器所需要的控制電壓.

數(shù)值結(jié)果表明，采用壓電復合材料MFC能有效地降低層合懸臂板結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)幅度，并且MFC作動器所需控制電壓在工程允許范圍之內(nèi).同時文中針對不同纖維鋪設(shè)角度的層合懸臂板，首次給出了MFC作動器的具體鋪設(shè)位置及方案，希望對實際工程中的層合板結(jié)構(gòu)振動控制問題提供有價值的指導.

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ACTIVE VIBRATION CONTROL OF A CATILEVERED LAMINATED PLATE USING MFC ACTUATORS?

Li Meng Li Fengming?
（College of Mechanical Engineering， Beijing University of Technology， Beijing 100124， China）

The active vibration control of a cantilevered laminated plate is investigated in this paper by using velocity feedback control method，where multiple macro fiber composite（MFC） and PVDF patches are bonded on the top and bottom surfaces of the plate to act as the actuators and sensors， respectively.By using Hamilton’s principle and the assumed mode method，the dynamical model of the structural systems is developed with considering the effects of mass and stiffness of MFC actuators.In order to obtain the maximum control forces or moments，the MFC actuators and PVDF sensors are placed in the regions with high average strain of host structure.Frequency and time domain responses of the cantilevered plate are obtained.And the required control voltages of MFC actuators are also calculated.Moreover，The placements of MFC actuators are presented for cantilevered laminated plate with different fiber orientation angle.

cantilevered laminated plate， MFC actuator， fiber orientation angle， modal control

4 March 2016，revised 11 April 2016.

10.6052／1672-6553-2017-003

2016-03-04收到第1稿，2016-04-11收到修改稿.

?國家自然科學基金（11572007，11172084）

?通訊作者 E-mail:fmli＠bjut.edu.cn

?The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11572007，11172084）

? Corresponding author E-mail:fmli＠ bjut.edu.cn.