王賀元尹 霞

（遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，錦州 121001）

新超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及自適應(yīng)控制與同步?

王賀元?尹 霞

（遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，錦州 121001）

分析了一個(gè)新混沌系統(tǒng)的超混沌動(dòng)力學(xué)行為，給出了這個(gè)未知參數(shù)的超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制和同步問題的數(shù)值模擬結(jié)果.運(yùn)用相圖、分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜和龐加萊截面圖，返回映射和功率譜等揭示了系統(tǒng)混沌行為的普適特征，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，采用自適應(yīng)控制方法將系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)控制到一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn).此外，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律以實(shí)現(xiàn)超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)同步，仿真結(jié)果表明所提出的方法的有效性.

超混沌系統(tǒng)， 混沌控制， 同步， Lyapunov穩(wěn)定性

引言

混沌系統(tǒng)是復(fù)雜的、類似于噪聲的難以預(yù)測的非線性確定性系統(tǒng)，對(duì)初始條件及其參數(shù)變化的高度敏感性是它的一個(gè)顯著特征，混沌廣泛存在于物理、化學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)，以及社會(huì)科學(xué)等各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域［1］.然而，除了特殊應(yīng)用需要混沌的效果外，在眾多工程技術(shù)領(lǐng)域中需要改變混沌，因此，穩(wěn)定混沌系統(tǒng)到周期軌道或平衡點(diǎn)的控制問題被普遍接受.

混沌同步是使兩個(gè)混沌系統(tǒng)以同步的方式振動(dòng)，兩個(gè)混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為當(dāng)初始條件接近時(shí)最終達(dá)到相同，第二個(gè)系統(tǒng)被第一個(gè)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng).許多結(jié)果已經(jīng)展示了如何在一定條件下實(shí)現(xiàn)混沌同步［2，3］.同步混沌系統(tǒng)也有效地保證了創(chuàng)建安全的通信系統(tǒng)［4-6］.混沌系統(tǒng)的控制與同步在物理系統(tǒng)、激光、等離子、電路、化學(xué)反應(yīng)器、生態(tài)系統(tǒng)、生物系統(tǒng)都有潛在應(yīng)用，例如心肺相互作用、對(duì)帕金森病人的大腦活動(dòng)、太陽活動(dòng)以及安全通信等方面均顯示出混沌控制與同步的應(yīng)用潛力.由于這些潛在的應(yīng)用價(jià)值，在過去的幾十年中科學(xué)家們一直致力于混沌控制與同步方面的研究，因此，混沌控制與同步的各種有效方法被陸續(xù)提出［1-11］.超混沌系統(tǒng)大多是非嚴(yán)格反饋并不像只有一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)的混沌系統(tǒng)，超混沌系統(tǒng)具有多個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，這意味著，超混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在多個(gè)方向擴(kuò)展，從而形成比混沌系統(tǒng)更復(fù)雜的行為和豐富的動(dòng)態(tài).因此，超混沌系統(tǒng)的控制與同步被認(rèn)為比混沌系統(tǒng)的控制與同步有更廣泛的應(yīng)用.基于此，研究人員一直致力于實(shí)現(xiàn)超混沌控制與同步的目標(biāo)［12-27］.超混沌的控制與同步提出了更多的挑戰(zhàn)，因?yàn)樗麄儽然煦缦到y(tǒng)有更高的維度，表現(xiàn)出更復(fù)雜的動(dòng)態(tài)，混沌控制與同步中的有些方法已擴(kuò)展到超混沌的控制與同步領(lǐng)域，包括線性和非線性反饋控制與同步［13，14，18，19，24，25］，自適應(yīng)控制與同步［16，27］， backstepping 技術(shù)［12，17］，滯后控制與同步［20，21］，主動(dòng)控制［22］，脈沖同步［23］，滑模同步［26］，及皮科拉-卡羅爾法［27］.盡管固有的自適應(yīng)控制技術(shù)，如前面所討論的眾多優(yōu)點(diǎn)，在超混沌的控制與同步中的應(yīng)用還沒有得到充分的研究，大多數(shù)混沌控制方法仍無法實(shí)現(xiàn)超混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定和混沌跟蹤［17］.

本文中我們主要研究了一個(gè)不同于超混沌劉系統(tǒng)［28］的新超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為和數(shù)值模擬以及控制與同步問題，我們工作的動(dòng)機(jī)是探討這個(gè)新超混沌系統(tǒng)和超混沌劉系統(tǒng)的異同.這個(gè)新超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為和數(shù)值模擬以及控制和同步問題還沒有系統(tǒng)的研究過，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)控制理論穩(wěn)定超混沌系統(tǒng)到不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)超混沌系統(tǒng)之間的同步.論文安排如下.在第二部分，我們描述了此超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，給出了數(shù)值模擬結(jié)果.第三節(jié)我們研究新超混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性，第四節(jié)我們討論超混沌系統(tǒng)的同步，第五節(jié)我們提供數(shù)值模擬結(jié)果，最后一節(jié)是結(jié)論.

1 新超混沌的動(dòng)力學(xué)行為及其數(shù)值模擬

考慮如下超混沌劉系統(tǒng)［28］

其中 l，m，n，p，q和 h 為常數(shù)參數(shù)．文獻(xiàn)［28］給出了超混沌劉系統(tǒng)，討論了當(dāng) l＝10，m＝40，n＝1，p＝2．5，h＝4，q＝10．6 時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為．本文研究了當(dāng)l＝8，m＝25，n＝2，p＝4，h＝5時(shí)超混沌劉系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為和數(shù)值模擬以及自適應(yīng)控制與同步問題．對(duì)于 l＝8，m＝25，n＝2，p＝4，h＝5， 當(dāng) q＝18時(shí)系統(tǒng)（1）有超混沌行為， 在平衡點(diǎn) E0（0，0，0，0）， 系統(tǒng)（1）被線性化，對(duì)應(yīng)的Jacobian矩陣為:

從（3）中我們看出有兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，因此， 系統(tǒng)（1）是超混沌系統(tǒng)， 并且 E0（0，0，0，0）是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)．這一段，我們研究當(dāng)l＝8，m＝25，n＝2，p＝4，h＝5時(shí)超混沌系統(tǒng)（1）的基本性質(zhì)．

1.1 耗散性

1.2 混沌行為和數(shù)值模擬

當(dāng) l＝8，m＝25，n＝2，p＝4，h＝5 時(shí)，系統(tǒng)（1）蘊(yùn)含著豐富復(fù)雜的混沌動(dòng)力學(xué)行為，圖1～8展示了系統(tǒng)（1）的各種吸引子．圖9是q變化時(shí)狀態(tài)變量x的分岔圖，圖10是對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)．圖11，12顯示了不同q值下系統(tǒng)（1）龐加萊映射，圖13是返回映射，圖14是功率譜，他們均表明了系統(tǒng)（1）混沌特征．從分岔圖9我們發(fā)現(xiàn)混沌區(qū)內(nèi)有變化很寬的擬周期軌道窗口，吸引環(huán)面、擬周期軌道和極限周期在不同的q值交替出現(xiàn)，圖5，6，8給出了幾個(gè)準(zhǔn)周期狀態(tài)．

圖1 奇怪吸引子（q＝-50）Fig.1 Strange attractors（q＝-50）

圖2 奇怪吸引子（q＝-1）Fig.2 Strange attractors（q＝-1）

圖3 奇怪吸引子（q＝-0．5）Fig.3 Strange attractors（q＝-0．5）

圖4 奇怪吸引子（q＝10）Fig.4 Strange attractors（q＝10）

圖5 吸引環(huán)面（q＝35）Fig.5 Attracting torus（q＝35）

圖6 擬周期軌道（q＝55）Fig.6 Quasi-periodic orbit（q＝55）

圖7 周期軌道（q＝56．4）Fig.7 Periodic orbit（q＝56．4）

圖8 擬周期軌道（q＝105）Fig.8 Quasi-periodic orbit（q＝105）

圖9 q變化時(shí)狀態(tài)變量x的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram of x with increasing q

圖10 最大Lyapunov指數(shù)Fig.10 Maximum Lyapunov exponents

圖11 龐加萊映射（q＝-5）Fig.11 Poincare map（q＝-5）

圖12 龐加萊映射 （q＝120）Fig.12 Poincare map （q＝120）

圖13 返回映射（q＝8）Fig.13 Return map（q＝8）

圖14 功率譜（q＝8）Fig.14 Power spectrum（q＝8）

這些結(jié)果表明新超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為與超混沌劉系統(tǒng)非常不同，因此，這個(gè)超混沌系統(tǒng)的控制與同步問題尤為重要．

2 超混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定

為了控制帶有未知參數(shù)的超混沌系統(tǒng)穩(wěn)定到不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E0，讓我們假設(shè)的超混沌系統(tǒng)（1）的動(dòng)力學(xué)方程如下:

這里 l，m，n，p，q 和 h 是未知參數(shù)， u1，u2，u3是設(shè)計(jì)的控制器．

我們選擇如下的Lyapunov函數(shù):

V沿系統(tǒng)（4）的軌線關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為:

控制器 u1，u2，u3選擇如下:

顯然在系統(tǒng)（4）零解的鄰域內(nèi)V是正定的，并且V·負(fù)定的，因此，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，利用控制器（6）和參數(shù)估計(jì)校正律（7），控制系統(tǒng)（4）能漸近收斂到不穩(wěn)定平衡點(diǎn) E0（0，0，0，0）．

3 超混沌系統(tǒng)的同步

這一部分，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)控制理論，我們實(shí)現(xiàn)兩個(gè)相同具有未知參數(shù)的超混沌系統(tǒng)之間的同步．驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)分別如下:

其中 l，m，n，p，q，h 是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的未知參數(shù)， l1，m1，n1，p1，q1，h1是響應(yīng)系統(tǒng)需要估計(jì)的未知參數(shù)， u1，u2，u3和u4是設(shè)計(jì)使得兩個(gè)超混沌系統(tǒng)相互同步的控制器．

響應(yīng)系統(tǒng)（9）減驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（8）得到下列誤差系統(tǒng):

其中 e1＝x2-x1，e2＝y(tǒng)2-y1，e3＝z2-z1，e4＝w2-w1，并且h1-h．

控制目標(biāo)是找到方程（10）的控制器和參數(shù)估計(jì)校正律，使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的彼此狀態(tài)達(dá)到全局漸近同步，我們得到如下結(jié)論．

定理構(gòu)造自適應(yīng)控制器

則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（8）和響應(yīng)系統(tǒng)（9）將全局同步．

證明選擇下列Lyapunov函數(shù):

Lyapunov函數(shù)沿方程（10）的解關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為:

把（11）和（12）代入（13） 得:

類似的，由于V為正定函數(shù)，V·負(fù)定的，在控制器（11）和參數(shù)估計(jì)校正律（12）下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（8）和響應(yīng)系統(tǒng)（9）將達(dá)到全局漸近同步．

4 數(shù)值模擬

這一部分，我們采用四階龍格-庫塔方法給出了一些數(shù)值算例，以驗(yàn)證所提出方法的有效性．在數(shù)值模擬中，時(shí)間步長取0．001，參數(shù)選擇l＝8，m＝25，n＝2，p＝4，h＝5，q＝18以確保超混沌系統(tǒng)（1）存在混沌．

算例 1控制超混沌系統(tǒng)（1）到平衡點(diǎn) E0（0，0，0，0）

在圖15中我們注意到系統(tǒng)（1）的狀態(tài)變量x，y，z，w是不穩(wěn)定的，但是當(dāng)施加控制器 U＝[u1u2u3]T， 圖16顯示混沌系統(tǒng)在初始條件（x（0），y（0），z（0），w（0））＝ （2，2，2，-2）很快驅(qū)使到原點(diǎn)，而且誤差估計(jì)為

同時(shí)， 在圖 17 中我們能看到當(dāng)t→∞時(shí)控制器是有界的．

圖15 不施加控制器U系統(tǒng)（1）的狀態(tài)變量x，y，z，w的變化狀態(tài)Fig.15 State of variable x，y，z，wof the system （1）without control law U

圖16 狀態(tài)變量（x，y，z，w）的時(shí)間響應(yīng)Fig.16 Time history of the states （x，y，z，w）

圖17 控制器作用 u1（t），u2（t），u3（t） 穩(wěn)定平衡在 E0Fig.17 Stabilizing equilibrium at E0of control actions u1（t），u2（t），u3（t）

算例2參數(shù)未知的超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步

在這個(gè)例子的數(shù)值模擬中，我們考慮方程（8）和（9）給出的系統(tǒng)．驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始條件取為（x1（0），y1（0），z1（0），w1（0））＝ （-1，-1，-1，-1），（x2（0），y2（0），z2（0），w2（0））＝ （1，1，1，1）．因此初始誤差為 e1（0）＝ 2，e2（0）＝ 2，e3（0）＝ 2，e4（0）＝ 2， 不確定的參數(shù)選為（l1（0），m1（0），n1（0），p1（0），h1（0），q1（0））＝ （8，25，2，4，5，18）．圖 18～20 顯示了數(shù)值模擬結(jié)果，圖18顯示了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的時(shí)間演化，從中我們可以看出起始于不同條件的兩個(gè)超混沌系統(tǒng)是相互同步的．定義同步誤差e（t）＝，圖19顯示了其時(shí)間演化，顯然誤差信號(hào)漸近收斂于零．圖20顯示了當(dāng) t→∞ 參數(shù)時(shí)，l1（t），m1（t），n1（t），p1（t），h1（t），q1（t）的估計(jì)值．我們能看到當(dāng)t→∞ 時(shí)不確定參數(shù)的估計(jì)值收斂于 l＝8，m＝25，n＝2，p＝4，h＝5，q＝18．

圖18 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的狀態(tài)軌線Fig.18 State trajectories of state variables for drive system and response system

圖19 關(guān)于時(shí)間t的誤差e（t）Fig.19 Time history of error e（t）

圖20 關(guān)于時(shí)間t的參數(shù)估計(jì)Fig.20 Time history of parameter estimation

5 結(jié)論

本文討論了一個(gè)參數(shù)未知的新超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為和數(shù)值模擬以及自適應(yīng)控制與同步問題.基于相圖，分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜、龐加萊截面、功率譜和回歸映射，在理論上和數(shù)值上研究了該混沌系統(tǒng)參數(shù)q一定范圍內(nèi)的動(dòng)力學(xué)行為，實(shí)現(xiàn)了超混沌系統(tǒng)穩(wěn)定到不穩(wěn)定的平衡點(diǎn).此外，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)控制理論實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)相同的超混沌系統(tǒng)之間的同步.由于超混沌系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，因此，通過自適應(yīng)控制技術(shù)實(shí)現(xiàn)的超混沌系統(tǒng)同步是有實(shí)際意義的.

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DYNAMICAL BEHAVIORS OF A NEW HYPERCHAOTIC SYSTEM AND ITS ADAPTIVE CONTROL AND SYNCHRONIZATION?

Wang Heyuan?Yin Xia
（College of Sciences， Liaoning University of Technology， Jinzhou 121001， China）

This paper examines the hyperchaotic dynamical behaviors of a new chaotic system，and the numerical simulation results of the adaptive control and synchronization problems of the hyperchaotic system with unknown parameters are presented.The chaotic behaviors of the hyperchaotic system is investigated by detailed numerical simulations results， such as phase portraits， Lyapunov exponents， bifurcation diagrams， and Poincaré sections，power spectrum and return map.Base on the Lyapunov stability theory we derive the adaptive control law that the trajectory of the hyperchaotic system with unknown parameters can be globally stabilized to an unstable equilibrium point of the uncontrolled system.In addition，the adaptive control law is also applied to achieve the state synchronization of two identical hyperchaotic systems.Moreover，the simulation results eventually indicate the validity of the proposed techniques.

hyperchaotic system， chaos control， synchronization， Lyapunov stability theory

26 December 2015，revised 1 October 2016.

10.6052／1672-6553-2017-002

2015-12-26收到第1稿，2016-10-01收到修改稿.

?國家自然科學(xué)基金資助（11572146，11526105）

?通訊作者 E-mail:wangheyuan6400＠sina.com

?The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11572146， 11526105）

?Corresponding author E-mail:wangheyuan6400＠sina.com