周來宏竇景欣 張居乾 聞邦椿

（東北大學機械工程與自動化學院，沈陽 110819）

基于改進直線渦元誘導速度模型的旋翼自由尾跡計算方法?

周來宏?竇景欣 張居乾 聞邦椿

（東北大學機械工程與自動化學院，沈陽 110819）

通過設置渦核模型的角度條件，使渦核模型在極限狀態(tài)下仍保持收斂，進而改進了利用Biot-Savart定律計算直線渦元對空間任意一點誘導速度的模型；槳葉氣動模型采用Weissinger-L升力面理論模擬；自由尾跡的求解采用PIPC松弛迭代算法結合具有二階精度的CB2D時間步進算法.利用上述模型和算法對某型號旋翼的尾跡進行數(shù)值計算，結果顯示:利用改進渦核模型計算的槳尖渦徑向位移收縮更加明顯，這與實際情況更加接近；利用改進渦核模型得到的自由尾跡結果與實驗數(shù)據吻合的更好.上述結論可以證明，新建立的旋翼自由尾跡模型提高了原有模型的準確性.

無人機， 旋翼， 槳尖渦， 直線渦元， 誘導速度， 自由尾跡

引言

旋翼式無人機如四旋翼無人機、傾轉旋翼無人機、無人直升機等，已成為旋翼航空器領域的研究熱點，而旋翼尾跡對這類航空器旋翼的流場、載荷、噪聲及振動水平等，會產生十分重要的影響.尾跡卷起形成的強烈集中且自由畸變槳尖渦，會反作用于旋翼，改變槳葉迎角，使槳盤平面產生強烈的下洗流和復雜的誘導速度場，進而影響旋翼的氣動特性.因此，研究旋翼尾跡，對提高旋翼式無人機的飛行品質和穩(wěn)定性，以及給飛行控制提供置信度更高的計算模型，都有相當重要的意義.

目前，旋翼尾跡的研究方法主要有動態(tài)入流理論、自由尾跡方法和計算流體力學（CFD）方法.動態(tài)入流理論如Pitt-Peters動態(tài)入流模型［1，2］、Peters-He有限狀態(tài)尾跡模型［3，4］，雖然計入了旋翼的動態(tài)特性，但對尾跡畸變的處理過于簡單，因此模型的準確性和通用性受到質疑；CFD方法［5，6］近些年取得了長足的進步，但其計算量大，計算資源要求高，目前還處于發(fā)展階段；自由尾跡方法［7］是現(xiàn)階段最適合用于分析旋翼尾跡的方法，它用Lagrange法描述流場，用渦元和控制節(jié)點離散尾渦，并允許尾渦以當?shù)貧饬魉俣茸杂蛇\動，這樣可以自動捕捉尾跡畸變，進而得出更真實的槳盤誘導入流分布和空間任意一點的尾跡誘導速度，是一種速度較快，精度較高的分析方法.

用自由尾跡方法求解旋翼尾跡時，要計算直線渦元對控制節(jié)點的誘導速度，通常采用Biot-Savart定律計算，渦核模型采用 Scully［8］、Vatistas［9］等模型計算.但對于目標節(jié)點不在以直線渦元為軸的圓柱體內，且距離直線渦元相對較近的情況，用上述渦核模型計算出的誘導速度存在較大誤差，進而影響旋翼尾跡的求解準確性.

為了解決上述問題，探索了一種改進的直線渦元誘導速度計算模型，即給渦核模型設置了角度條件.當目標節(jié)點與直線渦元夾角滿足條件時，會以節(jié)點到渦元中點的距離取代節(jié)點到直線的垂直距離，這樣使渦核模型在極限狀態(tài)下仍保持收斂，使計算模型更加符合Biot-Savart定律的物理意義.論文最后用算例驗證了該模型，與原有的渦核模型相比，基于改進直線渦元誘導速度模型，計算得到的旋翼自由尾跡更加接近實驗數(shù)據.

1 計算方法

1.1 槳葉氣動模型

采用Weissinger-L升力面理論模擬旋翼槳葉，它是一種簡化升力面模型.如圖1所示，槳葉沿展向分為若干段，每一小段中附著渦位于槳葉1／4弦線處，且附著渦環(huán)量為常數(shù).每小段的控制點位于3／4弦線中點處.附著渦環(huán)量沿槳葉展向和弦向變化形成尾隨渦系和脫體渦系.尾隨渦強度為相鄰兩展向微段附著環(huán)量之差；脫體渦強度為相鄰方位角上兩微段附著環(huán)量之差.尾隨渦和脫體渦組成旋翼尾跡的近尾跡.

圖1 槳葉附著渦系及尾跡模型Fig.1 Model of blade bound votex and wake

遠尾跡主要由近尾跡渦片外側快速卷起形成的槳尖渦組成．槳尖渦由單根渦絲表示，將其離散為有限段直渦絲，并由節(jié)點連接．單根渦絲的控制方程表達式為:

式中ψ和ζ分別為槳葉方位角和尾跡壽命角，Ω為旋翼轉速，r（ψ，ζ）為槳尖渦空間位置向量，V∞為旋翼軸向來流速度，Vind為附著渦、近尾跡及遠尾跡對空間點r（ψ，ζ）的誘導速度，由Biot-Savart定律確定．

1.2 渦核半徑確定方法

在利用Biot-Savart定律計算誘導速度時，渦核半徑rc是一個非常重要的參數(shù)，考慮渦的耗散效應，計算中常用兩種方法:一種是渦核半徑固定，渦強度按指數(shù)率衰減；另一種是渦強度固定，渦核半徑隨時間增長．考慮到渦粘性的影響，采用了Bhagwat等人對Lamb-Oseen渦模型進行修正后的渦核半徑公式:

式中，r0為初始渦核半徑，αL＝1．25643為 Lamb-Oseen常數(shù)，ν為層流運動粘性系數(shù)，δ為渦粘性參數(shù)，δ可以寫成渦雷諾數(shù)相關的表達式:

1.3 求解方法

用數(shù)值方法求解控制方程（1）時，需先對方程進行離散［10］，采用五點中央差分法離散方程，如圖2 所示，以（l+1／2，k+1／2）點的一階差分項來近似控制方程中的偏微分項:

圖2 五點中央差分法示意圖Fig.2 Discretized computational domain for finite difference scheme

文章采用收斂性較好的PIPC算法，即偽隱性預估修正迭代算法求解尾跡的周期穩(wěn)態(tài)解，并將其作為初值，采用具有2階精度的顯式時間步進算法CB2D算法，計算最終的旋翼尾跡結果．

2 改進的直線渦元誘導速度模型

在求解旋翼尾跡時，需利用Biot-Savart定律計算各段直線渦元對遠尾跡節(jié)點的誘導速度．計算公式為:

為證明簡便，取n＝1，即采用Scully渦核模型分析，其它渦核模型可以得到相似的結果．如圖3所示，節(jié)點P到直線渦元AB的垂直距離h表示為:

其中rm為P到AB中點的距離，當b＝1時，h＝rm，考慮極限:

圖3 直線渦元誘導速度示意圖Fig.3 Induced velocity of straight vortex line segment

即當h?rm時，渦核模型不收斂，在這種情況下仍采用式（6）計算誘導速度會產生很大的誤差，為解決這一問題，對式（6）做如下修正:

式中，r1、r2分別為P點到 A、B兩點的距離．按式（10）取 b＝1時的極限，結果與式（8）相同；當 b→0（取 β1、β2趨近于 0，β1、β2趨近于 π 時情況類似）時，取極限:

因此，b→0時渦核模型收斂，即采用式（10）計算得到的誘導速度，無論附著渦、近尾跡、遠尾跡的直線渦元與目標節(jié)點的位置關系如何，都可以得到較高的計算精度．

3 算例分析

算例旋翼采用兩片槳葉，選用NACA2415翼型，旋翼參數(shù)為:槳葉半徑40.64cm；弦長4.25cm；槳尖馬赫數(shù)0.26；拉力系數(shù)0.005；轉速2010r／min，計算7圈自由尾跡.

圖4為用兩種渦核模型計算的槳尖渦沿z軸的誘導速度比較，由圖可以看出，使用原始渦核模型計算的誘導速度振幅較大，這會使尾跡的計算結果也產生較大的波動.圖5為采用兩種渦核模型計算的槳尖渦徑向位移隨壽命角變化的比較，兩種方法的結果可以近似看做一種振幅和峰值衰減的振動，這與相關的實驗結果一致，但改進模型的衰減更加明顯，即尾跡收縮更顯著，這與實際情況更加接近.

圖4 槳尖渦z軸誘導速度比較Fig.4 Comparison of the rotor tip vortex induced velocity in z-axis

圖5 槳尖渦徑向位移比較Fig.5 Comparison of radial displacement of the rotor tip vortex

圖6（a）、（b）兩種渦核模型得到的尾跡分別與實驗結果對比，其中（a）為原始模型，（b）為改進后模型，實驗數(shù)據來自文獻［11］.結果顯示，采用改進渦核模型的尾跡與實驗值吻合得更好；原始渦核模型由于一味采用垂直距離h，使尾跡在x軸負半圈產生了一定的累積誤差.

圖6 懸停狀態(tài)下自由尾跡計算與試驗結果對比Fig.6 Comparison of computational and experimental results of hovering free wake

4 結論

將Weissinger-L升力面理論，Lamb-Oseen渦模型，PIPC和CB2D算法綜合運用到旋翼懸停自由尾跡計算中，取得良好的效果.對Biot-Savart定律中的渦核模型做了改進，使尾跡節(jié)點誘導速度得到了修正，計算得到的槳尖渦徑向位移收縮更加明顯，與實際尾跡形狀更加接近.利用兩種渦核模型得到的自由尾跡分別與實驗結果對比可以看出，用改進后的渦核模型計算的自由尾跡與實驗結果吻合得更好，證明新建立的理論模型是有效的.

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2 David A P，He C J.A closed-form unsteady aerodynamic theory for lifting rotors in hover and forward flight.In:AHS 43rd Annual Forum Proceeding， Louis Missouri，1987:840～854

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6 黃燦，趙永輝.基于CFD系統(tǒng)辨識的氣彈分析及GPU并行算法初探.動力學與控制學報，2015，13（2）:86～91（Huang C，Zhao Y H.Identification of CFD-based aeroealstic analysis and GPU parallel computing.Journal of Dynamics＆ Control， 2015，13（2）:86～ 91 （in Chinese））

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10 李春華，徐國華.懸停和前飛狀態(tài)傾轉旋翼機的旋翼自由尾跡計算方法.空氣動力學學報，2005，23（2）:152～156（Li C H，Xu G H.The rotor free-wake analytical method for tiltrotor aircraft in hover and forward flight.Acta Aerodynamica Sinica， 2005，23（2）:152～156 （in Chinese））

11 Bhagwat M J.Mathematical modelling of the transient dynamics of helicopter rotor wakes using a time-accurate free-vortex methods［Ph.D Thesis］.Maryland:College Park， University of Maryland， 2001

CALCULATION METHOD OF ROTOR FREE WAKE BASED ON AN IMPROVED INDUCED VELOCITY MODEL OF STRAIGHT VORTEX LINE SEGMENT?

Zhou Laihong?Dou Jingxin Zhang Juqian Wen Bangchun
（School of Mechanical Engineering ＆ Automation， Northeastern University， Shenyang 110819， China）

The vortex core model can keep the convergence in the limit state by setting the model angle conditions so as to improve the model of straight vortex line segment induced velocity calculated by the Biot-Savart law at every point.The model of the blade is simulated by Weissinger-L lifting-surface theory，while PIPC algorithm and CB2D algorithm are used to solve the rotor free-wake.The models and algorithms above are then combined to numerically calculate the wake of certain rotor.The results show that the radial displacement of tip vortex calculated by the improved vortex core model contracts remarkably.This is closer to the actual situation than previous model.In addition，the result of free-wake calculated by the improved vortex core model agrees with the experimental data perfectly.Therefore，the improved free-wake model of rotor is more accurate than the original one.

UAV， rotor， tip vortex， straight vortex line segment， induced velocity， free-wake

18 March 2016，revised 5 December 2016.

10.6052／1672-6553-2017-062

2016-03-18收到第1稿，2016-12-05收到修改稿.

?國家自然科學基金（51375080）、中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金（N150306002）

?通訊作者 E-mail:lai_h＠126.com

?The project supported by the National Natural Science Foundation of China（51375080） and the Fundamental Research Funds for the Central Universities（N150306002）

?Corresponding author E-mail:lai_h＠126.com