滑動(dòng)回歸最小二乘算法在某電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)模型辨識(shí)中的應(yīng)用

嚴(yán) 俠，鄧 婷

(中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621900)

滑動(dòng)回歸最小二乘算法在某電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)模型辨識(shí)中的應(yīng)用

嚴(yán) 俠，鄧 婷

(中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621900)

為了能夠準(zhǔn)確地建立電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)的仿真模型，了解電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)特性，筆者在分析電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用先進(jìn)的滑動(dòng)回歸最小二乘辨識(shí)算法，有效地開展了電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)這一復(fù)雜電力學(xué)系統(tǒng)階數(shù)和時(shí)延的確認(rèn)，參數(shù)估計(jì)，并最終建立了系統(tǒng)的ARMA模型；文章最后，舉出了某型電動(dòng)臺(tái)空臺(tái)面和另一型振動(dòng)臺(tái)帶滑臺(tái)的模型辨識(shí)結(jié)果，并通過正弦掃頻試驗(yàn)給予驗(yàn)證；結(jié)果表明，該算法辨識(shí)精度高，收斂速度快，魯棒性強(qiáng)，能克服一定的噪聲，對(duì)于高階線性系統(tǒng)辨識(shí)具有良好的辨識(shí)效果。

電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)，最小二乘， ARMA模型，正弦掃頻振動(dòng)

0 引言

實(shí)驗(yàn)室開展的振動(dòng)試驗(yàn)可用于考核武器系統(tǒng)、航天航空飛行器等機(jī)電類產(chǎn)品對(duì)振動(dòng)環(huán)境的適應(yīng)性能力。通過振動(dòng)試驗(yàn)可以充分掌握或了解產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)特性，并且評(píng)價(jià)其在振動(dòng)環(huán)境下的功能可靠性，為產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、改進(jìn)提供參數(shù)和依據(jù)。電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)作為振動(dòng)試驗(yàn)的主體關(guān)鍵設(shè)備，以其控制頻帶寬、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)得到了廣泛的應(yīng)用。開展電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)模型分析與辨識(shí)研究，一方面能夠?qū)﹄妱?dòng)振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和工作原理有更進(jìn)一步的了解，有助于準(zhǔn)確掌握其特性與性能。同時(shí)，通過建立逼真的電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)仿真模型，還能為開展振動(dòng)試驗(yàn)控制技術(shù)研究和振動(dòng)試驗(yàn)仿真技術(shù)研究提供控制和研究對(duì)象。

系統(tǒng)辨識(shí)工作早在19世紀(jì)70年代開始，有許多經(jīng)典的參數(shù)辨識(shí)方法已經(jīng)成功地應(yīng)用在許多辨識(shí)問題上，這些方法包括最小二乘(LG)，廣義最小二乘(GLS)，增廣最小二乘(ELS)，輔助變量法(IV)等〔Ljung and S?derstr?m，1983[1]；1987；S?derstr?m and Stoica,1989[2];Johansson,1993[3]等〕。但在系統(tǒng)遭受有色或相關(guān)噪聲時(shí)，(LG)將產(chǎn)生有偏估計(jì)，對(duì)于廣義最小二乘，增廣最小二乘，輔助變量法以及多階的最小二乘法〔MSLS〕〔Hsia,1975[4]〕等，都必須了解一定的噪聲信息，這將給實(shí)際工業(yè)辨識(shí)問題帶來困難。

本文引入了滑動(dòng)回歸最小二乘辨識(shí)算法(Shyh-hong Hwang and Min-Lang Lin,2002〔5〕)。該算法主要利用了一個(gè)時(shí)間加權(quán)的數(shù)字濾波器對(duì)測(cè)得的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行前期處理，以削弱系統(tǒng)噪聲對(duì)辨識(shí)的影響。算法收斂速度快，魯棒性強(qiáng)，在模型階數(shù)失配以及采樣周期和時(shí)間延遲選取不是很合理的情況下，仍能得到接近真實(shí)模型的奈奎斯特曲線,可用于系統(tǒng)的模型階數(shù)和延遲的確定，高階系統(tǒng)的降階和線性化處理；同時(shí)，在系統(tǒng)遭受有色噪聲時(shí)參數(shù)辨識(shí)也能接近無偏估計(jì)。對(duì)電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)而言，電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)與它的前級(jí)功率放大器組成了一個(gè)具有非線性和時(shí)變因素的復(fù)雜電力學(xué)系統(tǒng)。同時(shí)，設(shè)備運(yùn)行中不可避免地遭受50Hz工頻干擾為主的各種電磁電路干擾。因此，利用滑動(dòng)回歸最小二乘算法，對(duì)該振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)進(jìn)行降階和線性化處理，建立離散ARMA模型是可行的。

1 電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)的模型分析

圖1 電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)三維結(jié)構(gòu)示意圖

電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)三維結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)主要由動(dòng)圈(運(yùn)動(dòng)部件)、動(dòng)圈導(dǎo)向裝置、臺(tái)體、空氣彈簧以及安裝底座組成。電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)是根據(jù)電磁感應(yīng)原理，由臺(tái)體勵(lì)磁提供在工作磁隙中的較強(qiáng)磁場(chǎng)，通過給動(dòng)圈電樞通上交變的電壓及電流而產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，通常采用靜壓軸承為動(dòng)圈振動(dòng)導(dǎo)向，空氣彈簧用于與地基隔振。電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)是一個(gè)很復(fù)雜的機(jī)電系統(tǒng)，要精確的建立其數(shù)學(xué)模型是十分困難的，忽略其非線性和時(shí)變的因素。電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)的數(shù)學(xué)模型[6]主要由動(dòng)力學(xué)和電學(xué)模型組成。

電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示，首先，電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)通常使用空氣彈簧(剛度為KB)，來保證振動(dòng)臺(tái)體進(jìn)行垂向振動(dòng)，同時(shí)將振動(dòng)臺(tái)體(質(zhì)量為MB)的振動(dòng)與建筑物地面隔離。其次，動(dòng)圈(電樞組件MT+Mc)和臺(tái)體(MB)之間也采用柔性連接方式(比如U形彈簧)，對(duì)應(yīng)彈簧(KS)和阻尼(CS)，最后，將電樞和臺(tái)面之間看作是彈性體，在模型中把動(dòng)圈(Mc)和臺(tái)面(MT)當(dāng)作是用彈簧(KC)和阻尼(Cc)連接起來的兩個(gè)分離質(zhì)量，當(dāng)安裝有試驗(yàn)對(duì)象(MD)時(shí)，還會(huì)增加彈簧系統(tǒng)質(zhì)量。

圖2 振動(dòng)臺(tái)的力學(xué)模型

振動(dòng)臺(tái)的電學(xué)模型如圖3所示，這里必須考慮電樞的電阻和電感。線圈電阻R定義為一個(gè)在振動(dòng)臺(tái)輸入端子處(測(cè)量)表現(xiàn)出的最小阻抗。這個(gè)電阻隨著溫度有所增加，隨著頻率有輕微增加(由于集膚效應(yīng))。線圈的電感與鐵磁極件強(qiáng)烈耦合，振動(dòng)臺(tái)振動(dòng)時(shí)引入反生電動(dòng)勢(shì)eback。整個(gè)電學(xué)回路，由振動(dòng)臺(tái)的前級(jí)(功率放大器)提供外部電壓e和電流i來驅(qū)動(dòng)電學(xué)回路。

圖3 電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)的電學(xué)模型

振動(dòng)臺(tái)的力學(xué)部件和電學(xué)部件是互相耦合的，機(jī)械系統(tǒng)被與電流成比例的力激勵(lì)，而電路被與機(jī)械速度成比例的內(nèi)部電壓(反電動(dòng)勢(shì))所激勵(lì)。根據(jù)以上關(guān)系整個(gè)系統(tǒng)的微分方程組表示為：

(1)

系統(tǒng)工作中，由于阻抗受溫度和頻率而變化。同時(shí)，振動(dòng)臺(tái)的前級(jí)功率放大器作為其驅(qū)動(dòng)也與電動(dòng)臺(tái)的電學(xué)模型偶合在一起的，組成了一個(gè)復(fù)雜的帶有非線性和時(shí)變因素的高階系統(tǒng)。在電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)建模過程中，首先忽略阻抗慢變問題，根據(jù)式(1)的方程關(guān)系，要準(zhǔn)確獲得其模型，需要獲得質(zhì)量、剛度及阻尼的多個(gè)參數(shù)，實(shí)際建模過程中是很難做到的。因此，要準(zhǔn)確地建立電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)模型，采用系統(tǒng)辨識(shí)的方法將更加有效。

這里，假定功率放大器是線性定常系統(tǒng)，電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)可以看成是一個(gè)高階線性模型，其ARMA模型如下。

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)

(2)

這里，

(3)

其中，d表示系統(tǒng)延遲，n表示系統(tǒng)階數(shù)，這里n=m。

2 滑動(dòng)回歸最小二乘辨識(shí)算法

該算法是由黃世宏等人提出的，該算法魯棒性強(qiáng)，在有色或相關(guān)噪聲情況下仍能取得滿意的估計(jì)結(jié)果，同時(shí)在針對(duì)大噪聲情況下和模型失配情況下，仍能得到接近真實(shí)模型的奈奎斯特曲線，獲得良好的辨識(shí)效果。

2.1 時(shí)間加權(quán)數(shù)字濾波器

為了減少有色噪聲帶來的辨識(shí)偏差，引入一個(gè)時(shí)間加權(quán)的數(shù)字濾波器，在[ta,tb]時(shí)間區(qū)間上處理輸入，輸出數(shù)據(jù)u(k),y(k)。[ta,tb]時(shí)間區(qū)間上的時(shí)間權(quán)函數(shù)為，

(4)

這里p為權(quán)函數(shù)階數(shù)。對(duì)采集數(shù)據(jù)f(k)在[ta,tb]區(qū)間上，令，

r=0,1,2,…

(5)

則有，

(6)

注意到，當(dāng)r≤p時(shí)

w(ta+i)=0i=0,1,2,…,r-1

w(tb+j)=0j=1,2,…,r

由(6)式可得下式成立，

(7)

應(yīng)用該濾波器，當(dāng)p≥n，系統(tǒng)的ARMA模型轉(zhuǎn)化為，

(8)

這里回歸向量ψ和參數(shù)向量θ表達(dá)如下，

(9)

θ=[a1,…,an,b1,…,bn]T，

(10)

(11)

2.2 滑動(dòng)回歸最小二乘參數(shù)估計(jì)法(MRLS)

注意到，式(8)是任意選擇時(shí)間間隔[ta,tb]，p≥n。

ta=m-h,tb=m,p=n

式(8)轉(zhuǎn)化成，

ξ(m)=φ(m)Tθ

(12)

系統(tǒng)離線辨識(shí)，要求，h≥n+2，這里m表示當(dāng)前時(shí)刻，

(13)

這里，

μ(m)=1/[1+φ(m)TP(m-1)φ(m)],

P(m)=[I-μ(m)P(m-1)φ(m)φ(m)T]×P(m-1)

2.3 系統(tǒng)的階數(shù)和時(shí)間延遲的辨識(shí)

根據(jù)誤差均方求和函數(shù)，建立標(biāo)準(zhǔn)。

(14)

3 振動(dòng)臺(tái)模型辨識(shí)實(shí)例分析

以辨識(shí)某型電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)空臺(tái)面和另一型電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)帶滑臺(tái)的模型為例。辨識(shí)中，利用振動(dòng)控制器產(chǎn)生在給定辨識(shí)頻帶范圍內(nèi)(5～3 000 Hz和5～2 000 Hz)的隨機(jī)譜，進(jìn)行(0.08 g2/Hz)(g是加速度單位，1 g=9.8 m/s2)量值上的隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)。同時(shí)，采集振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)的輸入，輸出數(shù)據(jù)，取采樣頻率為10 kHz，整個(gè)系統(tǒng)的信噪比在3%左右。此外，再進(jìn)行相同頻帶范圍內(nèi)的正弦掃頻振動(dòng)試驗(yàn)，來求取其振動(dòng)臺(tái)模型的幅頻特性，并將其與辨識(shí)結(jié)果比較。

3.1 某型電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)空臺(tái)面模型辨識(shí)

根據(jù)系統(tǒng)辨識(shí)數(shù)據(jù)，運(yùn)用滑動(dòng)回歸最小二乘算法，進(jìn)行該振動(dòng)臺(tái)模型辨識(shí)。根據(jù)式(14)確定系統(tǒng)的階數(shù)和延遲。模型階數(shù)和延遲辨識(shí)結(jié)果如圖4的J函數(shù)曲線。

圖4 J函數(shù)曲線

從圖4中可以明顯看出，在階數(shù)為6和延遲為1處，J函數(shù)明顯下降。表明模型的階數(shù)和延遲分別近似為6和1，該結(jié)果也吻合于所分析的振動(dòng)臺(tái)數(shù)學(xué)模型。這里我們選取辨識(shí)系統(tǒng)的階數(shù)分別為6和7，延遲為1，利用該參數(shù)估計(jì)算法，得出系統(tǒng)的ARMA模型參數(shù)分別為，

θ1=[-3.220,5.2960,-5.7752,4.1745,-1.8617,0.4071,

0.2415，0.1140，-0.7687，0.6811，-0.2610，-0.0072]

θ2=[-3.2450,5.3486,-5.816,4.1759,

-1.8130,0.3523,0.0179,0.1864，0.0020，

-0.3812，0.2684，-0.0076，-0.0731，0.0049]

對(duì)應(yīng)模型的幅頻曲線分別如圖5～6。同時(shí)6階辨識(shí)模型下的參數(shù)辨識(shí)情況如圖7所示，圖中可以看出，到80步左右參數(shù)已經(jīng)趨于穩(wěn)定，但有一定慢變，這正是由于電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)具有一定非線性和參數(shù)慢變所造成的。此外，對(duì)該振動(dòng)臺(tái)空臺(tái)面進(jìn)行了10g下的正弦掃頻試驗(yàn)，試驗(yàn)中加速度計(jì)的靈敏度系數(shù)為100mv/g，所獲得的系統(tǒng)幅頻特性如圖5～8。

圖5 空臺(tái)面6階辨識(shí)模型的幅頻曲線

圖6 空臺(tái)面7階辨識(shí)模型幅頻曲線

圖7 800步內(nèi)的辨識(shí)參數(shù)θ1

圖8 正弦掃頻下空臺(tái)面模型幅頻特性曲線

3.2 另一型電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)帶滑臺(tái)模型辨識(shí)

根據(jù)辨識(shí)數(shù)據(jù)，運(yùn)用同樣的辨識(shí)方法。這里選取系統(tǒng)的階數(shù)為13，延遲為1。振動(dòng)臺(tái)帶滑臺(tái)的ARMA模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果為，

θ3=[-3.7425,7.0697,-8.9151,8.4603,-6.3591,

3.3625,-0.3656,-1.5232,2.0875,-1.9575,

1.5692,-0.9259,0.2470,0.0552,-0.4437,1.6069,

-3.5384,5.8147,-7.9050,9.4501,-9.7826,

8.1502,-4.9759,1.9137,-0.3180，0.0282]

對(duì)應(yīng)得出模型的幅頻曲線如圖9。此外，在20g下的正弦掃頻試驗(yàn)所獲得的系統(tǒng)幅頻特性如圖10，這里加速度計(jì)的靈敏度系數(shù)為10mv/g。

圖9 帶滑臺(tái)13階辨識(shí)模型的幅頻曲線

圖10 正弦掃頻下的帶滑臺(tái)模型幅頻特性曲線

比較圖5～10，其辨識(shí)的模型與真實(shí)的模型的幅頻特性很接近，一方面成功地實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)臺(tái)模型的參數(shù)化，另一方面也表明該辨識(shí)算法可靠，魯棒性好，辨識(shí)精度高，針對(duì)高階系統(tǒng)辨識(shí)，也能取得較高的精度。

4 結(jié)語

本文通過建立電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用滑動(dòng)回歸最小二乘辨識(shí)算法，成功地完成了電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)的建模和模型辨識(shí)。列舉了電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)兩種狀態(tài)下的辨識(shí)結(jié)果。結(jié)果表明，滑動(dòng)回歸最小二乘算法魯棒性強(qiáng)、辨識(shí)精度高，較好地實(shí)現(xiàn)了電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)這一復(fù)雜高階電力學(xué)系統(tǒng)的模型辨識(shí)。

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[6]Georgefoxlang,DaveSnyder.Understandingthephysicsofelectrodynamicshakerperformance[J].SoundandVibration, 2001,35(10):24-33.

Application of Moving-Horizon Recursive Least squares Algorithmin Model Identification for a Electrodynamic Shaker

Yan Xia, Deng Ting

(Institute of System Engineering, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621900,China)

In order to accurately establish the simulation model of electric vibration table, to understand the characteristics of electric shaking table system. Author firstly analyzes the mathematics model of the electrodynamic shaker, and secondly uses the advanced Moving-Horizon recursive least squares algorithm (MRLS) to determine the electrodynamic shaker system order and time delay and estimate the parameters of the system. Finally the ARAM model of the electrodynamic shaker is built. In this paper end, the identification result of a electrodynamic shaker with empty table and another electrodynamic shaker with slip table is given and is verified by making sine sweep vibration tests. The result shows that MRLS algorithm has a good identification capability and strong robustness for the high order line system.

electrodynamic shaker; least-squares estimation; ARMA model; sine sweep vibration

2016-12-06；

2017-02-21。

嚴(yán) 俠(1977-)，男，四川成都人，碩士，高級(jí)工程師，主要從事振動(dòng)控制與振動(dòng)試驗(yàn)裝備研發(fā)方向的研究。

1671-4598(2017)07-0202-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.07.050

TP216

A