風(fēng)險的數(shù)學(xué)表示方法簡介

部家琦

風(fēng)險是我們在生活中常見的概念，金融市場中的風(fēng)險也是投資理財過程中需要考慮的重要部分。隨著越來越多的人開始參與金融市場，了解金融市場并進(jìn)行相應(yīng)的理財與投資，風(fēng)險的概念開始廣為人知。但是許多投資者只是了解風(fēng)險的基本概念，對于風(fēng)險的數(shù)學(xué)表示方法以及它們的深層含義以及優(yōu)缺點(diǎn)了解并不清楚。在數(shù)學(xué)與金融的發(fā)展過程中，人們總結(jié)出了不同的風(fēng)險度量手段，用數(shù)學(xué)語言來對風(fēng)險的不同方面進(jìn)行度量，了解這些不同的度量方式有利于加深我們對于風(fēng)險本身的理解，同時更好地利用這些度量工具服務(wù)于我們的投資理財決策。

風(fēng)險度量極差方差偏度標(biāo)準(zhǔn)差一、引入

風(fēng)險是我們在生活中常見的概念，金融市場中的風(fēng)險也是投資理財過程中需要考慮的重要部分。隨著越來越多的人開始參與金融市場，了解金融市場并進(jìn)行相應(yīng)的理財與投資，風(fēng)險的概念開始廣為人知。但是許多投資者只是了解風(fēng)險的基本概念，對于風(fēng)險的數(shù)學(xué)表示方法以及它們的深層含義以及優(yōu)缺點(diǎn)了解并不清楚。但是清楚地了解風(fēng)險指標(biāo)衡量的方面，了解他們的工作原理是我們理解投資理財風(fēng)險特征的重要基礎(chǔ)，對于這些指標(biāo)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行一定的學(xué)習(xí)可以幫助我們完善我們對于風(fēng)險的認(rèn)識。

在數(shù)學(xué)與金融的發(fā)展過程中，人們總結(jié)出了不同的風(fēng)險度量手段，用數(shù)學(xué)語言來對風(fēng)險的不同方面進(jìn)行度量，了解這些不同的度量方式有利于加深我們對于風(fēng)險本身的理解，同時更好地利用這些度量工具服務(wù)于我們的投資理財決策。本文從投資理財?shù)氖找媛什▌语L(fēng)險入手，介紹了包含極差、方差（標(biāo)準(zhǔn)差），偏度在內(nèi)的不同的數(shù)學(xué)表示方式，對于風(fēng)險指標(biāo)進(jìn)行了一個較為全面的總結(jié)與評價，以期達(dá)到以上目的。

二、風(fēng)險簡介

風(fēng)險是我們在現(xiàn)實生活中常見的詞匯，廣義上的風(fēng)險太過于粗略與寬泛，因此在本文中我們將風(fēng)險局限于金融市場，討論收益率的風(fēng)險。在進(jìn)行投資理財時，我們最關(guān)心的莫過于投資的回報，也就是收益率。在我們進(jìn)行投資時，收益率往往不是確定的，這種收益率的不確定性我們就稱其為風(fēng)險。風(fēng)險的可能來源多種多樣，包括了市場風(fēng)險，個體風(fēng)險，流動性風(fēng)險，信用風(fēng)險等不同的組成部分。但是這部分不是本文重點(diǎn)，在這里我們就不做闡述。值得注意的是我們本文中介紹的公式都是離散情況下的計算公式，連續(xù)情況下需要用到統(tǒng)計學(xué)中的概率密度函數(shù)以及積分的知識，因此這里不做介紹。

但是離散情況與連續(xù)情況下的風(fēng)險度量指標(biāo)的計算思路與背后邏輯是不變的，對于這些指標(biāo)的評價標(biāo)準(zhǔn)也是一致的。

對于某一個投資項目的回報率x，我們假設(shè)其在未來的收益率符合以下分布：

則我們可以通過以下公式算出其收益率的數(shù)學(xué)期望，即預(yù)估的用來衡量其將來回報率平均水平的指標(biāo)。

值得注意的是實際上4.5%在未來的任何一種情況中都不會出現(xiàn)，它只是我們用各種情況下的回報率得到的一個加權(quán)平均，用來衡量該項目的平均收益水平。只能提現(xiàn)整體水平，并不能用來衡量某一種具體情況下的收益。

而我們可以看到，項目之所以存在不確定性，是因為分布概率的存在，即收益結(jié)果并不是確定的某一種情況，而是有多種不同的情況，每種情況對應(yīng)了一定的概率，甚至?xí)霈F(xiàn)負(fù)收益率，即有所損失的情況。我們需要衡量這種不確定性的大小就需要界定標(biāo)準(zhǔn)，并采取相應(yīng)的度量。

三、不同的度量方法

1.極差（Range）

極差的公式如下：

即簡單的去查看回報率的最大值與最小值之間的差距有多大。極差衡量了回報率的波動范圍，顯然極差越大，說明潛在的波動空間越大，風(fēng)險也就越大。極差越小說明了波動范圍越小，回報也就越穩(wěn)定。極差所包含的含義非常的直接，是用來刻畫波動情況的最簡單指標(biāo)，可以簡單準(zhǔn)確地描繪出變量的變動范圍。

但是我們也可以看出，極差是一個內(nèi)涵非常單薄的度量方式，僅僅描繪了波動范圍，卻沒有刻畫波動率在這個范圍內(nèi)的波動程度，有可能變量其本身波動很小，只有極小的情況出現(xiàn)非常極端的值，但是這樣的特征會被極差的計算方式所忽略，盲目地擴(kuò)大風(fēng)險度量。因此我們需要對波動程度進(jìn)行進(jìn)一步的準(zhǔn)確刻畫。

2.方差（Variance）

方差的公式如下：

方差所描繪的是不同情況下的回報率相對于其期望值的偏移程度，平方的目的主要是為了避免正向偏移與負(fù)向偏移互相抵消。方差可以解釋為不同情況下回報率與數(shù)學(xué)期望值之差的平方的加權(quán)平均。這樣的辦法有助于幫助我們?nèi)ゲ榭丛诓▌臃秶鷥?nèi)部的收益率波動大小。方差越大則波動越大，方差越小則波動越小。從方差的計算公式我們可以看到，由于引入了加權(quán)平均的概念，概率Pi被考慮進(jìn)來，因此在極差中我們提到的存在某些極端小概率事件的情況的問題被解決了，我們對于波動有了更進(jìn)一步細(xì)致的描繪。

但是同時方差的計算仍然也存在以下幾個問題：

方差公式里面涉及到平方運(yùn)算，會使數(shù)值單位缺乏含義。例如當(dāng)我們考慮的變量為個數(shù)時，方差單位個并沒有現(xiàn)實含義。并且無法與我們的正常單位數(shù)值進(jìn)行比較。又例如我們本文中討論的回報率，百分?jǐn)?shù)的平方為萬分?jǐn)?shù)，但是它與一般的百分?jǐn)?shù)之間并不能直接進(jìn)行比較。因此，我們又定義了標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation），其公式如下：

通過開方運(yùn)算解決單位上的不一致問題，使得我們能夠直接將標(biāo)準(zhǔn)差與其數(shù)學(xué)期望值進(jìn)行比較。例如在本例中回報率均值為4.5%，但其平均波動有11.39%，因此說明其出現(xiàn)負(fù)值收益率的可能性較大。則側(cè)面說明有可能帶來的波動會造成較大的收益變動，方差公式同時考慮了正向偏移與負(fù)向偏移，通過平方以后這兩種波動在這種計算方法中貢獻(xiàn)基本相同，都為正值，無法區(qū)分波動的方向。但是在實際中我們非常關(guān)系波動的方向。因為我們有可能只關(guān)心某一方偏移。例如在本文中我們考慮的是投資收益率，但是投資者是不會擔(dān)心投資收益率超出預(yù)期的情況的，因此這種情況他們根本無須考慮。對應(yīng)的他們應(yīng)該關(guān)注負(fù)面波動，即收益率低于平均預(yù)期的情況。因此我們又進(jìn)一步地提出了偏度的概念。

3.偏度（Skewness）

偏度的公式與定義如下：

可以看到偏度用立方的辦法解決了刻畫波動方向的問題，由于正數(shù)的奇次方為正，負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù)，我們在用立方放大波動幅度的過程中也保留了原本波動的方向，通過概率加權(quán)平均以后我們可以看到波動往哪個方向偏移。在本例中我們可以看到，收益率的偏度為正值，即總體來講波動是往正向偏移的。

一般來說稱Skewness<0的情況為概率分布具有負(fù)偏離，也稱左偏態(tài)，此時左方（負(fù)面）波動的整體加權(quán)影響要大于右方（正面面）波動的整體加權(quán)影響；對應(yīng)的，稱Skewness>0的情況為概率分布具有正偏離，也稱正偏態(tài)，此時左方（負(fù)面）波動的整體加權(quán)影響要小于右方（正面面）波動的整體加權(quán)影響。

4.在險值（VaR，Value at Risk）

注意區(qū)分在險值與方差的標(biāo)記的不同。前者為VaR，而后者為VAR（也有人用Var）。

在險值從變量的分布出發(fā)，考慮不同確定程度下，變量的最小值。例如假如在本例中，投資者想要了解80%以上的可能性他可以獲取多高的收益，這需要我們從回報最高的情況對應(yīng)的概率開始，依次向左邊較低回報率對應(yīng)的概率進(jìn)行加和，直到此加和為80%。在本例中，80%的置信度對應(yīng)的在險值為-5%。也就是說他有80%的可能性可以將損失控制在5%以內(nèi)，或者他的回報率有80%的可能性大于-5%。實際上現(xiàn)實中較為常見的使用的置信度為95%。實際的在險值計算公式可以用概率分布函數(shù)或者概率密度函數(shù)寫出嚴(yán)格的公式，但是這里只是為了介紹在險值的核心思想，便不再贅述公式。

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