陳金立**，李 偉b，唐彬彬b，李家強(qiáng)

(南京信息工程大學(xué) a.氣象災(zāi)害預(yù)報預(yù)警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心;b.電子與信息工程學(xué)院;c.江蘇省氣象探測與信息處理重點(diǎn)實驗室，南京210044)

基于截斷修正平滑l0范數(shù)的MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計*

在多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)中，針對平滑l0范數(shù)(SL0)因感知矩陣的病態(tài)性而導(dǎo)致其失效的問題，提出了一種基于截斷修正SL0的MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計方法。該方法在對MIMO雷達(dá)感知矩陣進(jìn)行截斷奇異值分解(TSVD)處理的基礎(chǔ)上，將保留的奇異值以均值為截斷門限，分成較大和較小的兩部分，分別采用不同的修正準(zhǔn)則進(jìn)行修正；然后經(jīng)奇異值分解(SVD)反變換獲得非病態(tài)感知矩陣，利用該非病態(tài)感知矩陣通過SL0算法對MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)進(jìn)行估計，從而顯著提高了MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計的精度和速度。仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。

MIMO雷達(dá)；目標(biāo)參數(shù)估計；平滑l0范數(shù)算法；病態(tài)矩陣；截斷修正奇異值分解

1 引 言

多輸入多輸出(Multiple Input and Multiple Output，MIMO)雷達(dá)是一種新體制雷達(dá)系統(tǒng)[1-3]。與相控陣?yán)走_(dá)相比，MIMO雷達(dá)采用波形分集技術(shù)，提高了目標(biāo)分辨率，增強(qiáng)了系統(tǒng)參數(shù)識別能力，在參數(shù)估計、噪聲抑制和目標(biāo)探測方面具有很大優(yōu)勢[4]。壓縮感知(Compressed Sensing,CS)[5]是一種新興的信號采樣和重建理論，不同于傳統(tǒng)的奈奎斯特(Nyquist)采樣定理，它通過隨機(jī)采樣的少量觀測值就能實現(xiàn)稀疏信號重構(gòu)，是目前信號處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。在實際雷達(dá)探測區(qū)域，目標(biāo)呈稀疏分布，其回波信號呈稀疏性，故可以將CS理論應(yīng)用于雷達(dá)目標(biāo)探測[6]。稀疏重構(gòu)問題等價于l0范數(shù)最小化問題，此問題是NP-難問題[5]，其求解難度隨著維度增加而增大，因此利用l0范數(shù)最小化難以對高維度稀疏重構(gòu)問題進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[7]提出一種利用正則化迭代重加權(quán)最小化方法(Regularized Iterative reweighted Minimization Approach，RIRMA)實現(xiàn)MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計。該方法通過一系列迭代加權(quán)l(xiāng)q(0

為保證稀疏重構(gòu)算法對MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計的精度，目標(biāo)場景一般被劃分成精細(xì)的柵格，則MIMO雷達(dá)的感知矩陣不可避免地存在近似線性相關(guān)的列，從而導(dǎo)致該矩陣呈病態(tài)[10]。將SL0算法應(yīng)用于MIMO雷達(dá)能明顯提高其目標(biāo)參數(shù)的估計速度，但是SL0算法中初值和梯度投影步驟都需要對病態(tài)感知矩陣求偽逆，則當(dāng)MIMO雷達(dá)的接收信號中存在微小的噪聲擾動時，就會引起初值和梯度投影計算誤差較大，進(jìn)而導(dǎo)致SL0算法失效。文獻(xiàn)[11]提出了一種截斷SL0(Truncated Smoothedl0norm,TMSL0)算法，將截斷奇異值分解(Truncated Singular Value Decomposition，TSVD)技術(shù)引入SL0算法，先對感知矩陣進(jìn)行奇異值分解，通過剔除感知矩陣較小的奇異值，改善感知矩陣的病態(tài)性，從而提高了SL0算法的穩(wěn)健性。但是該方法僅僅剔除感知矩陣中較小的奇異值而未對較大奇異值進(jìn)行修正，導(dǎo)致感知矩陣病態(tài)性的改善效果有限。針對此問題，本文提出一種截斷修正SL0(Truncated Modified Smoothedl0norm,TMSL0)算法。該方法對MIMO雷達(dá)病態(tài)感知矩陣的奇異值進(jìn)行二次截斷和一次修正處理來獲得非病態(tài)感知矩陣，然后再利用SL0算法進(jìn)行MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計時，將原病態(tài)感知矩陣的偽逆由非病態(tài)感知矩陣的偽逆來代替，從而提高算法的穩(wěn)健性。仿真結(jié)果表明，本文方法在MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)的估計精度和速度方面均優(yōu)于迭代加權(quán)l(xiāng)q方法；雖然本文方法具有與TSL0算法相近的運(yùn)算時間，但是其參數(shù)估計精度要高于TSL0算法。

2 MIMO雷達(dá)信號模型

假設(shè)MIMO雷達(dá)的發(fā)射陣列和接收陣列分別由Mt個發(fā)射陣元和Mr個接收陣元組成，其中，發(fā)射陣元和接收陣元間隔分別為dt和dr。發(fā)射陣列的發(fā)射信號矩陣表示為

S=[s1,s2,…,sMt]。

(1)

式中:sm=[sm(1),sm(2),…,sm(N)]T表示第m個發(fā)射陣元的發(fā)射信號,N為發(fā)射信號長度。

將雷達(dá)目標(biāo)探測場景劃分為Z(Z=P·K·H)個離散的距離-角度-多普勒單元，其中，P是距離單元個數(shù),K是角度單元個數(shù)，H是多普勒單元個數(shù)。假設(shè)目標(biāo)回波間最大延時單元(系統(tǒng)第一個距離單元的發(fā)射信號與最后一個距離單元反射信號的時延)為P-1，θk(1≤k≤K)表示第k個角度單元對應(yīng)的目標(biāo)角度，ωh(1≤h≤H)為第h個多普勒單元對應(yīng)的目標(biāo)多普勒頻率，由文獻(xiàn)[12]可知，MIMO雷達(dá)的接收信號矩陣為

(2)

將式(2)表示的MIMO雷達(dá)接收信號以向量形式表示[12]，即

y=Aα+e。

(3)

在實際雷達(dá)探測場景中，為保證稀疏重構(gòu)算法的精確性，其角度單元間隔通常遠(yuǎn)小于角分辨率，則感知矩陣A中不可避免地會存在線性相關(guān)的列。同樣，當(dāng)距離和多普勒單元精細(xì)劃分時也會導(dǎo)致感知矩陣A中存在近似線性相關(guān)的列，且A的條件數(shù)非常大，從而呈嚴(yán)重的病態(tài)性[10]。

3 利用截斷修正SL0算法實現(xiàn)MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計

求解稀疏向量α的l0范數(shù)最小化問題可獲得式(3)的稀疏解，即

(4)

式中:‖·‖0表示l0范數(shù),ξ為噪聲閾值。然而，l0范數(shù)最小化問題是NP-難問題，其求解難度隨著向量α維數(shù)的增加而急劇增大，一般難以實現(xiàn)。SL0算法利用一系列高斯函數(shù)來逼近l0范數(shù)[8]。定義高斯函數(shù)fδ(αi)為

(5)

則

(6)

令

(7)

式中:δ為高斯函數(shù)形狀控制參數(shù)。δ越小，高斯函數(shù)Fδ(α)越逼近‖α‖0，即

(8)

則式(4)可轉(zhuǎn)化為

(9)

當(dāng)δ較小時高斯函數(shù)Fδ(α)呈高度不平滑性，存在較多局部極小值，則Fδ(α)在逼近‖α‖0時，易陷入局部極小值。為此，本文取δ為一組降序排列的常數(shù)[δ1>δ2>…>δJ]，其中δJ趨近于零。然后利用最速下降法求解每個δ值對應(yīng)的Fδ(α)的最小值，將其投影到可行集上，并把該α值作為下一次迭代的初值，使算法逐漸逼近參數(shù)為δ=δJ時的全局最小值。在SL0算法中，計算初值和梯度投影值的表達(dá)式分別為

(10)

(11)

由上兩式可知，矩陣AA*的求逆精度會直接影響初值和梯度投影值的計算精度。由上述分析可知，MIMO雷達(dá)的感知矩陣AMr(N+P-1)×PKH呈嚴(yán)重病態(tài)性。對感知矩陣A作奇異值分解：

(12)

(13)

為改善MIMO雷達(dá)感知矩陣A的病態(tài)性，需要對矩陣A的奇異值作相應(yīng)的處理。TSVD法是較為常用的一種方法。該方法剔除感知矩陣較小的奇異值及其對應(yīng)的左右奇異矩陣，以減小噪聲對病態(tài)方程組偽逆求解的影響，但僅僅剔除矩陣較小的奇異值會使得病態(tài)方程組求解的精度不高，病態(tài)性改善效果有限。

針對TSVD法的不足，本文提出一種截斷修正奇異值方法。該方法對MIMO雷達(dá)感知矩陣的奇異值進(jìn)行二次截斷并對保留的奇異值做修正處理，以改善該矩陣的病態(tài)性。定義法矩陣為W=AA*，W的條件數(shù)(Condition Number)為

C=(σ1/σMr(N+P-1))2。

(14)

式中:σ1和σMr(L+P-1)為矩陣A的最大和最小奇異值。統(tǒng)計經(jīng)驗表明[13],當(dāng)01 000，矩陣嚴(yán)重病態(tài)。因此，選取截斷門限σt1滿足

(σ1/σt1)2=C，0

(15)

(16)

經(jīng)式(16)處理后，保留的奇異值為{σ1,σ2,…,σt1}。再次以保留奇異值的均值σt2為截斷門限將{σ1,σ2,…,σt1}分成較大和較小的兩部分，其中σt2表示為

(17)

然后利用Tikhonov正則化準(zhǔn)則[13]對大于等于σt2的奇異值進(jìn)行修正，即σi=σi+q1/σi；將小于σt2的奇異值修正為與σt2接近的常數(shù)值，即σi=q2。上述處理可以采用式(18)表示:

(18)

式中:q1和q2為修正參數(shù)。通過對感知矩陣A的奇異值進(jìn)行兩次截斷和一次修正處理，能進(jìn)一步降低矩陣的條件數(shù)，從而提高了SL0算法的初值及梯度投影的計算精度，進(jìn)而改善了SL0算法的穩(wěn)健性。

(19)

(20)

本文算法步驟如下：

Step1 改善MIMO雷達(dá)感知矩陣A的病態(tài)性。

Step1-1 對A作奇異值分解，A=UΣV*，Σ=diag(σ1,σ2,…,σMr(N+P-1))，σi為A的奇異值，U、V分別為奇異值對應(yīng)的左右奇異矩陣。

定義U1和V1分別為修正后的奇異值所對應(yīng)的左右奇異矩陣。

Step2-1 初始化

Step2-2 算法迭代

forj=1,2,…,J

令δ=δj,利用最速下降法求解Fδ(α)的最小值，并將其投影到可行集上

forl=1,…,L

Step3 根據(jù)目標(biāo)參數(shù)向量α的估值中非零元素的位置確定MIMO雷達(dá)目標(biāo)的角度、距離和多普勒等參數(shù)信息。

4 數(shù)值仿真

本節(jié)將通過設(shè)計迭代加權(quán)Iq方法、TSL0方法以及TMSL0方法的對比實驗，從而驗證TMSL0方法在MIMO雷達(dá)目標(biāo)信號的重構(gòu)性能和運(yùn)行時間上的優(yōu)勢。仿真實驗在MATLAB 2012b中完成，計算機(jī)配置為：Intel(R) Core(TM)i7-4790處理器,主頻為3.60 GHz,內(nèi)存為8 GB。

(21)式中：tr(·)表示矩陣求跡運(yùn)算。假設(shè)雷達(dá)目標(biāo)探測場景有P=12個距離單元，雷達(dá)掃描角度范圍[-30°,30°]，以1°為間隔將其劃分成61個角度單元，即K=61；目標(biāo)的多普勒頻移用角度表示，即Φh=ωhN(180°/π)[7]，目標(biāo)多普勒范圍[-25°,25°]，以5°為間隔將其劃分成11個多普勒單元，即H=11。

在迭代加權(quán)Iq算法中，設(shè)置迭代次數(shù)l=8，迭代范數(shù)q=0.9，ε=0.01，η=0.01。在SL0方法、TSL0法及TMSL0算法中，設(shè)置σJ=0.01，ρ=0.8，η=0.01，內(nèi)循環(huán)次數(shù)L=50，步長因子μ=2。在TMSL0算法中，設(shè)置C=25，滿足條件0

重構(gòu)信噪比定義為

(22)

4.1角度單元劃分間隔與感知矩陣的列相關(guān)值的變化關(guān)系

圖1 感知矩陣中相鄰角度對應(yīng)的列的相關(guān)值與角度單元間隔的變化關(guān)系Fig.1 The column correlation values of sensing matrix versus angle interval

4.2各算法的重構(gòu)信噪比與回波信噪比的變化關(guān)系

設(shè)回波信噪比在-10～20 dB之間變化，重復(fù)100次單獨(dú)實驗。圖2為4種算法重構(gòu)性能與回波信噪比的變化關(guān)系。由圖2可知，由于TSL0方法和迭代Iq方法在一定程度上改善了感知矩陣的病態(tài)性，它們的重構(gòu)信噪比都明顯高于SL0方法。而本文提出的TMSL0方法對感知矩陣奇異值進(jìn)行二次截斷和一次修正處理，進(jìn)一步改善了MIMO雷達(dá)感知矩陣的病態(tài)性，其重構(gòu)性能要優(yōu)于TSL0方法。

圖2 不同方法的重構(gòu)性能比較Fig.2 The reconstruction performance comparison among various methods

4.3各方法運(yùn)行時間與回波信噪比的變化關(guān)系

設(shè)回波信噪比在-10～20 dB之間變化，重復(fù)100次單獨(dú)實驗。圖3表示4種方法運(yùn)行時間與回波信噪比的變化關(guān)系。迭代加權(quán)Iq方法的每次迭代都需要對更新后的大維度矩陣進(jìn)行求逆運(yùn)算，導(dǎo)致利用該方法對MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計耗時較長。TSL0方法和TMSL0方法的運(yùn)行時間要低于迭代加權(quán)Iq方法，雖然TSL0方法和TMSL0方法運(yùn)行時間相近，但是由圖2可知TMSL0方法的重構(gòu)性能要優(yōu)于TSL0方法。

圖3 不同種方法運(yùn)行時間對比Fig.3 The running time comparison among various methods

5 結(jié) 論

雖然SL0算法能提高M(jìn)IMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計的實時性，但是MIMO雷達(dá)的病態(tài)感知矩陣會使得SL0算法中初值和梯度投影計算誤差較大，進(jìn)而導(dǎo)致SL0算法失效。針對此問題，本文提出了一種基于截斷修正SL0算法的MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計方法，在TSVD方法基礎(chǔ)上，通過設(shè)置截斷門限將保留的感知矩陣奇異值分成較大和較小兩部分，并分別采用不同的修正準(zhǔn)則對它們進(jìn)行修正，然后利用SVD反變換從修正后的奇異值中獲得非病態(tài)感知矩，避免了SL0算法因感知矩陣病態(tài)導(dǎo)致其初值和梯度投影計算誤差較大的問題。本文方法能較好地改善MIMO雷達(dá)感知矩陣的病態(tài)性，從而能有效提高M(jìn)IMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計性能。

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TargetParameterEstimationforMIMORadarsBasedonTruncatedModifiedSmoothedl0Norm

CHEN Jinlia,b,c,LI Weib,TANG Binbinb,LI Jiaqianga,b,c

(a. Collaborative Innovation Center on Forecast and Evaluation of Meteorological Disasters;b.School of Electronic and Information Engineering；c.Jiangsu Key Laboratory of Meteorological Observation and Information Processing,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China)

Because of the ill-posed sensing matrix,the smoothedl0norm(SL0) algorithm fails to estimate target parameter in multiple input multiple output(MIMO) radars. To solve this problem,the truncated modified smoothedl0norm algorithm for MIMO radars is proposed. Based on the truncated singular value decomposition algorithm(TSVD),the retained singular values of sensing matrix are divided into the larger and smaller by the mean value of singular values. Then,the two groups of the singular values are modified by using different modified criterion. From the modified singular values,the SVD inverse transform is utilized to obtain a non ill-posed sensing matrix. Finally,the SL0 algorithm can be used to reconstruct the target signals in the MIMO radar by taking advantage of the obtained non ill-posed sensing matrix. Therefore,the target parameters can be fast estimated with high accuracy for MIMO radar. The validity of the proposed method is demonstrated with the numerical simulations.

MIMO radar；target parameter estimation;smoothedl0norm(SL0) algorithm；ill-posed matrix；truncated modified singular value decomposition

date:2017-01-18；Revised date：2017-04-14

國家自然科學(xué)基金資助項目(61302188，61372066)；江蘇省自然科學(xué)基金資助項目(BK20131005)；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科Ⅱ期建設(shè)工程資助項目

陳金立**a,b,c，李 偉b，唐彬彬b，李家強(qiáng)a,b,c

(南京信息工程大學(xué) a.氣象災(zāi)害預(yù)報預(yù)警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心;b.電子與信息工程學(xué)院;c.江蘇省氣象探測與信息處理重點(diǎn)實驗室，南京210044)

TN957

：A

：1001-893X(2017)09-0998-06

陳金立(1982—)，男，浙江寧波人，2010年于南京理工大學(xué)獲博士學(xué)位，現(xiàn)為副教授，主要研究方向為MIMO雷達(dá)信號處理;

Email：chen820803@yeah.net

李偉(1992—)，男，河南周口人，現(xiàn)為碩士研究生，主要研究方向為MIMO雷達(dá)信號處理;

唐彬彬(1995—)，男，江蘇連云港人，主要研究方向為信號處理;

李家強(qiáng)(1976—)，男，安徽滁州人，2007年于上海交通大學(xué)獲博士學(xué)位，現(xiàn)為副教授，主要研究方向為雷達(dá)信號處理。

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.09.004

陳金立，李偉，唐彬彬，等.基于截斷修正平滑l0范數(shù)的MIMO雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計[J].電訊技術(shù)，2017,57(9):998-1003.[CHEN Jinli,LI Wei,TANG Binbin,et al.Target parameter estimation for MIMO radars based on truncated modified smoothedl0norm[J].Telecommunication Engineering,2017,57(9):998-1003.]

2017-01-18；

：2017-04-14

**通信作者：chen820803@yeah.net Corresponding author：chen820803@yeah.net