例析立體幾何中的“體積恒等法”

☉江蘇省蘇州市吳縣中學(xué) 戴蘭娟

例析立體幾何中的“體積恒等法”

☉江蘇省蘇州市吳縣中學(xué) 戴蘭娟

“體積恒等法”就是借助幾何體本身在結(jié)構(gòu)上固有的特點(diǎn)，變換視角，將一個(gè)幾何體的體積等價(jià)轉(zhuǎn)化成另一個(gè)便于求出體積的幾何體，從而解決問題.立體幾何中，一般用“體積恒等法”來計(jì)算幾何體的體積、點(diǎn)到平面的距離、直線與平面所成角等問題，解題過程中，轉(zhuǎn)化與化歸的思想無處不在.本文借助實(shí)例來談?wù)劇绑w積恒等法”在立體幾何中的具體應(yīng)用.

一、求體積

例1 如圖1，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AA1=3，點(diǎn)P在棱CC1上，則三棱錐P-ABA1的體積為______.

解析：考慮到棱柱中CC1∥平面ABA1，所以P到平面ABA1的距離與C到平面ABA1的距離相等，這樣就把三棱錐P-ABA1的體積轉(zhuǎn)化成三棱錐C-ABA1的體積.

圖1

圖2

例2 如圖2，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，則三棱錐D1-A1BD的體積為________cm3.

解析：直接求D1到平面A1BD的距離有相當(dāng)大的難度.因?yàn)榇棺悴灰渍遥钥梢該Q個(gè)角度求三棱錐B-A1DD1的體積.而B到面A1DD1的距離為BA=3，

點(diǎn)評(píng)：這是兩個(gè)求幾何體體積的基礎(chǔ)題目，考查了學(xué)生對(duì)錐體體積公式的運(yùn)用，特別是對(duì)三棱錐這個(gè)特殊的四面體的認(rèn)識(shí)程度.對(duì)于三棱錐的體積問題，通常都需要變換頂點(diǎn)與底面的相對(duì)位置，以便于找到三棱錐的高，往往涉及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.

二、求點(diǎn)到平面的距離

圖3

例3 如圖3，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.

（1）求證：PC⊥BC；

（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

解析：（1）證明略.

（2）要求點(diǎn)A到平面PBC的距離，其實(shí)就是求三棱錐A-PBC的一條高，可以利用體積恒等法求解.設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，由VA-PBC=VP-ABC可知PD，即

圖4

例4 如圖4，在圓錐VO中，O為底面圓的圓心，點(diǎn)A，B在圓O上，且OA⊥OB，若OA=VO=1，則點(diǎn)O到平面VAB的距離為__________.

解析：本題是典型的運(yùn)用體積恒等法求距離的題目.設(shè)點(diǎn)O到平面VAB的距離為h，由VV-AOB=VO-ABV可知，，即

點(diǎn)評(píng)：在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離問題，常?？梢赞D(zhuǎn)化到三棱錐中，其實(shí)就是求某個(gè)特定的三棱錐的高的問題.再利用三棱錐的特殊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用體積恒等法，問題就迎刃而解了.

三、求線面所成角

圖5

例5 如圖5，在四棱錐PABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.求直線AB與平面PBC所成角的大小.

點(diǎn)評(píng)：在立體幾何中，求直線與平面所成角問題時(shí)，關(guān)鍵要找準(zhǔn)垂足（或求出點(diǎn)到面的距離），這樣線面所成角的問題就轉(zhuǎn)化成線線所成角的問題.

通過以上實(shí)例，不難發(fā)現(xiàn)，利用“體積恒等法”可以回避尋找垂足的具體位置，降低了思維難度，省去了許多煩瑣的作圖與論證過程.在解題過程中，遇到上述問題，若能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“體積恒等法”，便能在很大程度上提高解題效率，達(dá)到事半功倍的效果.