龔濤

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中心對(duì)稱正交矩陣反問(wèn)題

龔濤

(湖南文理學(xué)院芙蓉學(xué)院, 湖南常德, 415000)

通過(guò)研究中心對(duì)稱正交矩陣的結(jié)構(gòu)和性質(zhì), 并利用奇異值分解和譜分解, 得到了反問(wèn)題有解的充分必要條件, 并給出了反問(wèn)題解的表達(dá)式。

中心對(duì)稱正交矩陣; 反問(wèn)題; 奇異值分解; 譜分解

矩陣反問(wèn)題在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、參數(shù)識(shí)別、最優(yōu)控制等理論方面都有廣泛的應(yīng)用。關(guān)于矩陣反問(wèn)題的研究已有一些很好的成果[1]。張磊、謝冬秀、孟純軍等分別研究了矩陣反問(wèn)題在正交矩陣集合中的解[2-3]及在對(duì)稱正交集合中的解[4]。有關(guān)矩陣方程的其它方面結(jié)論可以參考文獻(xiàn)[5-12]。本文就中心對(duì)稱正交矩陣集合中的矩陣反問(wèn)題進(jìn)行探討。

1 問(wèn)題1

2 問(wèn)題1有解的充分必要條件

由文獻(xiàn)[5]中引理2的結(jié)論不難得到引理2～4。

引理5[2]給定, 則存在正交矩陣, 使得的充分必要條件是。

同理, 可以得到

將式(11)～(14)代入式(9)、(10)有

由式(15)、(16)不難得到

即

將式(21)～(24)代入式(15)、(16)中得到式(9)、(10)。由引理5知使得,等價(jià)于, 即。從而。

3 問(wèn)題1解的通式

引理6[2]若有, 且, 則有如下的奇異值分解,

引理7[2]給定, 且,的奇異值分解如式(25), 則有正交解, 且通解形式為。

[1] Zhang F. Matrix Theory [M]. New York: Springer, 1999.

[2] 張磊. 正交矩陣的反問(wèn)題及其最佳逼近[J]. 湖南數(shù)學(xué)年刊, 1990(1/2): l22-127.

[3] 張磊, 謝冬秀. 子空間旋轉(zhuǎn)的最小二乘問(wèn)題[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1992, 19(1): 115-120.

[4] 孟純軍, 胡錫炎. 對(duì)稱正交矩陣反問(wèn)題及最佳逼近[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué), 2006, 28(3): 269-280.

[5] 胡錫炎, 張磊, 謝冬秀. 雙對(duì)稱矩陣逆特征值問(wèn)題解存在的條件[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué), 1998, 20(4): 409-418.

[6] 盛炎平, 謝冬秀. 雙反對(duì)稱矩陣反問(wèn)題解存在的條件[J]. 數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用, 2002, 23(2): 111-120.

[7] Peng Z Y, Hu X Y. The reflexive and anti-reflexive solutions of the matrix equation=[J]. Linear Algebra Appl, 2003, 375: 147-155.

[8] 周富照, 胡錫炎, 張磊. 對(duì)稱正交反對(duì)稱矩陣反問(wèn)題[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 2004, 24(5): 543-550.

[9] 盛炎平, 謝冬秀. 一類對(duì)稱次反對(duì)稱矩陣反問(wèn)題解存在的條件[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué), 2004, 26(1): 73-80.

[10] 張忠志, 胡錫炎, 張磊. 線性約束下Hermit-廣義反Hanfilton矩陣的最佳逼近問(wèn)題[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2004, 24(3): 398-405.

[11] 周富照, 胡錫炎. 反對(duì)稱正交對(duì)稱矩陣反問(wèn)題[J]. 數(shù)學(xué)雜志, 2005, 25(2): 179-184.

[12] Meng C J, Hu X Y, Zhang L. The skew-symmetric orthogonal solutions of the matrix equation=[J]. Linear Algebra and its Applications, 2005, 402: 303-318.

(責(zé)任編校:劉曉霞)

The inverse problem of centro-symmetric orthogonal matrices

Gong Tao

(Furong College, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

By studying the properties and structure of Centro-Symmetric Orthogonal Matrix, the necessary and sufficient conditions for the solvability and the general expressions of the inverse problem are obtained by means of spectral decomposition and the singular value decomposition.

centro-symmetric orthogonal matrices; inverse problem; singular value decomposition; spectral decom- position

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.01.001

O 151.21

A

1672–6146(2017)01–0001–04

龔濤, xiaosanshao_208@163.com。

2016-04-18