蔣燕, 楊喜陶

?

一類非自治密度依賴的時(shí)滯捕食者-食餌系統(tǒng)的一致持久性

蔣燕, 楊喜陶

(湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 湖南湘潭, 411201)

研究了一類非自治密度依賴的時(shí)滯捕食者-食餌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。通過(guò)利用比較原理來(lái)研究它的一致持久性, 得到了該系統(tǒng)一致持久性的充分條件。

捕食者-食餌系統(tǒng); 一致持久性; 密度依賴; 時(shí)滯

捕食與被捕食是自然界中一種非常普遍的生物現(xiàn)象, 捕食-食餌模型是種群動(dòng)力學(xué)模型中一類非常重要的模型, 一直以來(lái)受到生態(tài)學(xué)界和生物數(shù)學(xué)界的共同關(guān)注。李海銀等[1]研究了基于比率的非自治的 捕食者-食餌模型解的一致持久性。模型中:代表食餌數(shù)量密度;代表捕食者數(shù)量密度;和是連續(xù)有界函數(shù), 其上下界均為正常數(shù)。食餌以內(nèi)在增長(zhǎng)率生長(zhǎng), 在沒(méi)有捕食情況下接近環(huán)境最大容納量。分別代表捕食者死亡率、捕獲率、半飽和率、轉(zhuǎn)換率。許多學(xué)者對(duì)該模型的持久性[2-4]、周期解的唯一性[5]、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性[6-7]等性質(zhì)做了深入而系統(tǒng)的研究。

生物在長(zhǎng)期的協(xié)同進(jìn)化過(guò)程中逐漸形成了適應(yīng)環(huán)境的生態(tài)對(duì)策, 時(shí)滯現(xiàn)象是物種生態(tài)對(duì)策的形式之一[8]。例如虎、狼、兔、象等許多哺乳動(dòng)物具有各自的孕期, 幼子在哺乳期一般沒(méi)有捕食能力或能力很弱, 需要一段時(shí)間的學(xué)習(xí)后才能成為真正的捕食者。這些時(shí)滯因素是構(gòu)建生態(tài)數(shù)學(xué)模型時(shí)應(yīng)該考慮的參數(shù)[9-10]?；诖? 本文將研究非自治密度依賴的時(shí)滯捕食者-食餌系統(tǒng)

的一致持久性。

1 一致持久性

定理1 假設(shè)

成立, 則方程(1)的解為一致持久。

由式(5)類似可證

為完成定理證明, 考慮2種情形。

由式(1)、(4)及(11)知

再由式(5), (7), (9), (14), (15)知, 方程(1)的解一致持久。

2 應(yīng)用

舉例說(shuō)明之前的結(jié)論。

例1 對(duì)于基于比率的非自治的捕食者-食餌模型

具有一致持久性。

[1] Li H, She Z. Uniqueness of periodic solutions of a nonautonomous density-dependent predator-prey system [J]. Math Anal Appl, 2015, 422: 886-905.

[2] She Z, Li H. Dynamics of a density-dependent stage-structured predator–prey system with Beddington–DeAngelis functional response [J]. Math Anal Appl, 2013, 406: 188–202.

[3] Kratina P, Vos M, Bateman A, et al. Functional response modified by predator density [J]. Oecologia, 2009, 159: 425-433.

[4] Arditi R, Ginzburg L R. Coupling in Predator-Prey Dynamics: Ratio-Dependence [J]. Journal of Theoretical Biology, 1989, 139: 311-326.

[5] Freedman H I, Wu J H. periodic solutions of single-species models with periodic delay [J]. SIAM J Math Anal, 1992, 23: 689-701.

[6] Nefedov N N, Recke L, Schneider K R. existence and asymptotic stability of periodic solutions with an interior layer of reactin-advection-diffusion equations [J]. Math Anal Appl, 2013, 405: 90-103.

[7] Wang Z, Wu J. Qualitative analysis for a ratio-dependent predator-prey model with stage-structure and diffusion [J]. Nonlinear Anal Real world appl, 2008, 9: 2 270-2 287.

[8] Ko W, Ahn I. A diffusive one-prey and two-competing-predator system with a ratio-dependent functional response: I, long time behaviour and stability of equilibria [J]. Math Anal Appl, 2013, 397: 9-28.

[9] Fan Y H, W L L. Multiplicity of periodic solutions for a delayed ratio-dependent predator-prey model with monotonic functional response and harvesting terms [J]. Anal Math Comput, 2014, 244: 878-894.

[10] Ding X Q, Jiang J F. Periodicity in a generalized semi-ratio-dependent predator-prey system with time delays and impulses [J]. Math Anal Appl, 2009, 360(1): 223-234.

[11] Hale J K. Theory of Functional Differential Equations [M]. New York: Springer-Verlag, 1977.

(責(zé)任編校:劉曉霞)

The uniform persistence of a kind of nonautonomous density-dependent delay predator-prey system

Jiang Yan, Yang Xitao

(School of mathematics, Hunan university of science and technology, Xiangtan411201, China)

The dynamic behaviour for a class of nonautonomous density-dependent delay predator-prey system is studied. By using the comparison principle, some sufficient conditions that guarantee the uniform persistence of the model are determined.

predator-prey system; uniform persistence; density-dependent; delay

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.01.003

O 175.1

A

1672–6146(2017)01–0009–04

蔣燕, 1610422935@qq.com。

2016-06-25

湖南省自然科學(xué)基金(2015JJ2063); 2016年湖南省研究生創(chuàng)新基金(CX2016B534)。