中學(xué)數(shù)學(xué)中“化歸思想”的研究

摘 要：“化歸思想”是解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題必不可少的指導(dǎo)思想。在中學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)用“化歸思想”的主要思路在于通過(guò)“化歸思想”指導(dǎo)，運(yùn)用化歸方法，將未解的數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而使解題思路更加簡(jiǎn)明，解題過(guò)程更加清晰，最終完成對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解。在中學(xué)數(shù)學(xué)中結(jié)合“化歸思想”運(yùn)用化歸方法進(jìn)行解題，不僅是求解中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要途徑，更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方式。然而，從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀上看，“化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的并未得到貫徹落實(shí)，化歸轉(zhuǎn)化方法在求解數(shù)學(xué)難題中的運(yùn)用也未得其所。為此，有必要研究“化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用實(shí)踐以及如何運(yùn)用“化歸思想”來(lái)進(jìn)一步提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；化歸思想；化歸轉(zhuǎn)化；實(shí)踐

“化歸思想”最早是由莫斯科大學(xué)的一位數(shù)學(xué)教授提出，其主要涵義概括起來(lái)為：將所要求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題。即將未解的數(shù)學(xué)問(wèn)題運(yùn)用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決。

一 “化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透目標(biāo)及方向

“化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透及應(yīng)用的實(shí)質(zhì)在于運(yùn)用動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)問(wèn)題。在求解中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果解題者觀察、分析與思考問(wèn)題的角度不同，那么其最終將問(wèn)題化歸轉(zhuǎn)化的目標(biāo)也相應(yīng)的不同，所運(yùn)用的解題方法也會(huì)有所不同。而“化歸思想”的結(jié)合與運(yùn)用，就是引導(dǎo)解題者在解題過(guò)程中，盡可能地站在便于求解的角度觀察與分析問(wèn)題，使所要求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題不斷地向簡(jiǎn)單化、直觀化、規(guī)范化的方向轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求解出問(wèn)題的答案。

二、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與不等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

“化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用該可分為等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和不等價(jià)轉(zhuǎn)化思想兩種。

1.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想求解中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要優(yōu)點(diǎn)在于該思想的應(yīng)用形式較為多樣，且應(yīng)用方法也較為靈活。一般情況下，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，既可以在宏觀層面又可以在微觀層面進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，前者如使用普通語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言方向轉(zhuǎn)化，后者如將未知數(shù)學(xué)符號(hào)向已知數(shù)學(xué)符號(hào)的轉(zhuǎn)化，即“恒等變形”。既可以在數(shù)與形方面，又可以在形與形、數(shù)與數(shù)之間轉(zhuǎn)化。由此可見(jiàn)，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用并非具有統(tǒng)一的模式，其應(yīng)用的形式和方法也較為靈活多樣。值得注意的是，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想求解中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題需建立在轉(zhuǎn)化前后兩者之間存在互為因果的關(guān)系，只有這樣才能運(yùn)用等價(jià)化歸思想。然而，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，大多數(shù)情況是轉(zhuǎn)化前后兩者并非完全等價(jià)，面對(duì)這一情況，則需要引進(jìn)不等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。

2.不等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

一般地，不等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)踐中應(yīng)用的機(jī)會(huì)較多，且更能激發(fā)解題者創(chuàng)造性思維。前文提到，應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化就是將互為因果且可互推的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為直觀、簡(jiǎn)單、規(guī)范的知識(shí)，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的重要突破。而應(yīng)用不等價(jià)轉(zhuǎn)化思想時(shí)，則需要在轉(zhuǎn)化過(guò)程中加上一些附加約束，進(jìn)而使其形成相對(duì)等價(jià)的關(guān)系。

三、化歸轉(zhuǎn)化的主要方法

1.恒等變形法

恒等變形法主要是利用數(shù)與數(shù)之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化關(guān)系，實(shí)現(xiàn)將未知問(wèn)題向已知轉(zhuǎn)化。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，恒等變形法的主要運(yùn)用大多在于求解三角方程和代數(shù)方程當(dāng)中。

2.函數(shù)法

所謂函數(shù)法，顧名思義，即通過(guò)運(yùn)用函數(shù)思想來(lái)求解非函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用函數(shù)法主要是求解幾何方程不等式問(wèn)題和一些可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題的代數(shù)問(wèn)題。

3.分割法

分割法通常是對(duì)于求解涉及幾何體及幾何圖形的相關(guān)問(wèn)題。在遇到較為復(fù)雜的幾何問(wèn)題求解時(shí)，可考慮采用分割法將幾何體或者幾何圖形分割成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形組，再針對(duì)經(jīng)過(guò)分割后的較為簡(jiǎn)單的結(jié)合圖形進(jìn)行部分求解，最終綜合得出問(wèn)題的最終答案。分割法是“化歸思想”在求解中學(xué)數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題中運(yùn)用的最為常見(jiàn)的方法。

4.映射法

映射法是“化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)滲透的重要方法之一，其主要是通過(guò)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，將復(fù)雜的問(wèn)題向簡(jiǎn)單化轉(zhuǎn)化的一種形式。映射法較多地運(yùn)用于將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題、代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為幾何運(yùn)算等方面，前者如通過(guò)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)將點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)、曲線與方程進(jìn)行對(duì)應(yīng)，從而變幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題。后者如在復(fù)數(shù)的運(yùn)算中，也可通過(guò)建立復(fù)平面上的點(diǎn)向量，實(shí)現(xiàn)將復(fù)數(shù)代表運(yùn)算轉(zhuǎn)化為運(yùn)用向量來(lái)解決的幾何運(yùn)算。

四、“化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)的運(yùn)用研究

在中學(xué)數(shù)學(xué)中結(jié)合“化歸思想”運(yùn)用化歸方法進(jìn)行解題，不僅是求解中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要途徑，更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方式。一方面，通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生利用化歸思想來(lái)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和縝密性，使其養(yǎng)成循序漸進(jìn)、逐層遞進(jìn)的邏輯思維習(xí)慣。在具體教學(xué)實(shí)踐中，教師可以采取講與練相結(jié)合、且以練為主的方法，切實(shí)提升學(xué)生應(yīng)用“化歸思想”求解中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，并通過(guò)練習(xí)強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和技巧。另一方面，結(jié)合“化歸思想”，還能有助于激活學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)能力，通過(guò)不斷地化歸轉(zhuǎn)化問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題的成分進(jìn)行不斷地變更，同時(shí)轉(zhuǎn)換思考、分析問(wèn)題的角度與方法，從而達(dá)到激活學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)的能力。

參考問(wèn)題

[1]馬艷，馬貴.化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用——以解方程為例[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)，（自然科學(xué)版）2012/03.

[2]戰(zhàn)珊珊.如何利用映射實(shí)現(xiàn)化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].才智，2012/33.

作者簡(jiǎn)介

何海波（1983-），男，重慶市酉陽(yáng)縣人，土家族，二級(jí)教師，本科，畢業(yè)于長(zhǎng)江師范學(xué)院，研究方向中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（作者單位：重慶市酉陽(yáng)土家族苗族自治縣南腰界鄉(xiāng)初級(jí)中學(xué)校）