鱉臑定義探究

安徽省教育科學研究院 胡 濤 (郵編:230061)

初 數(shù)研 究

鱉臑定義探究

安徽省教育科學研究院 胡 濤 (郵編:230061)

“塹堵”、“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂,它們的形狀特征如何,古代沒有借助線面之間的位置關系對其進行定義,而是從其形成過程予以說明的．

《九章算術·商功》:“斜解立方,得兩塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑,陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也．”其意思是說:把長方體沿對角面切開,得到的兩個三棱柱,稱為塹堵,再沿塹堵的一個頂點和相對的棱將其剖開,得一個四棱錐和一個三棱錐,分別稱為陽馬和鱉臑,它們的體積之比為2∶1(如圖1)．

圖1

由此解釋可知,陽馬是底面為矩形,且有一條側棱與底面垂直的四棱錐．如底面為直角三角形,還有一條不經(jīng)過底面直角頂點的棱垂直底面,則這樣的三棱錐是鱉臑(如圖2),誠如劉徽所注:中破陽馬,得兩鱉臑．

圖2

但在《九章算術》又是這樣定義鱉臑的:四面都是直角三角形的三棱錐．因此,不免讓我們對這兩種說法對應的幾何體形狀是否一致產(chǎn)生疑問．

下面先就此問題展開探究:

記p為:三棱錐的底面為直角三角形,且有一條不經(jīng)過底面直角三角形的直角頂點的棱垂直于底面．

q為:三棱錐的四面都是直角三角形．

下面證明:p?q

1．先證p?q

圖3

如圖3,設三棱錐ABCD的底面是直角三角形,

則BD⊥CD,AB⊥平面BCD,易證AB⊥BD,AB⊥BC,CD⊥AC,

故三棱錐A－BCD的四面都為直角三角形．

2．再證q?p

引理1若一個三棱錐的四面都是直角三角形,則不存在這樣的頂點,它同時是三個直角三角形的直角頂點．

圖4

證明如圖4,已知三棱錐A－BCD的四面都是直角三角形．

假設存在這樣的頂點,它同時是三個直角三角形的直角頂點．不妨設為點D,則有AD⊥BD,AD⊥CD,BD⊥CD．令AD＝a,BD＝b,CD＝c,則AB2＝a2＋b2,BC2＝b2＋c2,AC2＝c2＋a2．

由于

所以∠BAC為銳角．

同理∠ABC,∠ACB均為銳角,則△ABC為銳角三角形．

這與已知矛盾,假設不成立,故命題得證．

引理2若一個三棱錐的四面都是直角三角形,則這四個直角不可能恰好分別在四個頂點處．

圖5

為方便討論,如圖5,將三棱錐A－BCD的四個面ABD、ACD、ABC、BCD 分別標記為①、②、③、④,頂點為A的兩條棱在面①中的夾角記為A1(即∠BAD),0表示相關的平面角不存在,相應于頂點B、C、D的平面角的記法類似．則三棱錐A－BCD中,相交兩棱的夾角在四個面上的分布情況如下:

若其四個直角恰好分別在四個頂點處,不妨設頂點為A的直角在面①中,由于同一面上不能有兩個直角,所以只有下面的3種情況:

對于情形1,如圖6,四個直角分別為 A1、C2、B3、D4,設AB＝a,BC＝b,BD＝c,CD＝a1,AD＝b1,AC＝c1,則有

圖6

圖7

對于情形(2),如圖7,四個直角分別為 A1、D2、B3、C4,設AB＝a,BC＝b,BD＝c,CD＝a1,AD＝b1,AC＝c1,則

可知a＝a1,b＝b1,c＝c1．

所以這種情形也不可能．

對于情形(3):證明同情形1．

圖8

綜上 ,引理2得證．

由引理1、2知,若三棱錐A－BCD的四個面都是直角三角形,則一定存在一個頂點,它是兩個直角三角形的直角頂點,

不妨設為點B,在該處的2個直角為B1、B3,即∠ABD＝∠ABC＝90°,則AB⊥平面BCD．

綜合1、2,我們證明了p?q．

在上面的證明過程中我們還得到了四個直角在三棱錐A－BCD上分布的情況:在兩個頂點上,且每個頂點處各有兩個(如圖8)．

圖9

至此可看出在《九章算術》中,實際上已給出了鱉臑這種特殊幾何體的兩種不同定義方式．當然鱉臑還可以從其他角度對其進行定義,如:若三棱錐中存在三條棱,其中兩條互相垂

直,另一條是這兩條棱的公垂線段,則稱這個三棱錐為鱉臑．這三條棱就是圖9中的棱CD、AB、BD,三棱錐的4個頂點都在其上,也就是《九章算術》所指的鱉臑下廣,上袤和高,它們的長度決定了鱉臑的體積．

比較鱉臑的幾種定義,表述最為簡潔的顯然是:四面都是直角三角形的三棱錐．筆者推測也許是感覺到這種定義不便于人們快速把握鱉臑的構成要素間的位置關系,《九章算術》才又借其形成過程加以解釋,以便判定．果真如此,更顯示出我國古代數(shù)學家的智慧和研究水平．

1 張蒼,九章算術[M]．南京:江蘇人民出版社,2011

2 何文忠,立體幾何體中的一個重要基本圖形－鱉臑[J]．數(shù)學通報,1996(5)

3 沈康身,鱉臑與合蓋[J]．自然雜志,1989(8)

2017-06-20)