徐海燕

摘 要：數(shù)學(xué)實驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方式，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好的課程載體。數(shù)學(xué)實驗的根本旨?xì)w在于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力和必備品格。教學(xué)中教師要為學(xué)生提供結(jié)構(gòu)化素材，引導(dǎo)學(xué)生展開結(jié)構(gòu)化探索，形成學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維，進(jìn)而讓數(shù)學(xué)實驗有效度、有坡度、有深度。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實驗；核心素養(yǎng)；結(jié)構(gòu)教學(xué)

數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。所謂“數(shù)學(xué)實驗”，是指學(xué)生在思維活動參與下，對數(shù)學(xué)素材進(jìn)行數(shù)學(xué)化加工的過程，它既包括顯性的操作型實驗，也包括內(nèi)隱的思維型實驗。數(shù)學(xué)實驗?zāi)軌蜃寣W(xué)生擺脫“離身思維”，形成“具身認(rèn)知”，對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和實踐能力具有重要作用。

一、素養(yǎng)化旨?xì)w：訴求“數(shù)學(xué)實驗”的課程價值

根據(jù)業(yè)內(nèi)討論，核心素養(yǎng)應(yīng)該包括學(xué)生適應(yīng)未來社會和個體終身發(fā)展的關(guān)鍵能力和必備品格。具體到小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，應(yīng)該大體包含數(shù)感、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、數(shù)學(xué)模型等十個方面。核心素養(yǎng)被譽(yù)為課程發(fā)展和設(shè)計的關(guān)鍵DNA。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)實驗?zāi)軌騼?yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)觀念、啟迪學(xué)生數(shù)學(xué)思維、引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究。毫無疑問，數(shù)學(xué)實驗是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的良好課程載體。

1. “數(shù)學(xué)實驗”之于關(guān)鍵能力

數(shù)學(xué)實驗的過程是學(xué)生手腦協(xié)同、做思共生的過程。在數(shù)學(xué)實驗過程中，學(xué)生需要主動經(jīng)歷觀察、猜想、操作、驗證等活動。這樣的數(shù)學(xué)實驗超越了純粹的“紙筆數(shù)學(xué)”，能夠培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力。例如數(shù)學(xué)實驗《三角形內(nèi)角和》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊），學(xué)生需要借助量角器量，需要用手折紙，需要撕角拼，還需要作輔助線展開推理等。在這個過程中，學(xué)生多感官協(xié)調(diào)活動，其觀察力、思維力、想象力、實踐力和創(chuàng)新力均得到不同程度的發(fā)展。

2. “數(shù)學(xué)實驗”之于必備品格

學(xué)生的數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)理性、數(shù)學(xué)思想和方法、數(shù)學(xué)文化和精神等都是數(shù)學(xué)必備品格的重要組成部分。必備品格讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方向感、價值感和意義感。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)實驗?zāi)軌虬l(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)必備品格。例如數(shù)學(xué)實驗《三角形的三邊關(guān)系》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊），操作型學(xué)生在探究中用小棒操作，畫圖型學(xué)生用筆畫三角形然后用直尺量，思辨型學(xué)生則借助“兩點(diǎn)之間直線最短”來進(jìn)行推理等。不同認(rèn)知傾向、風(fēng)格的學(xué)生展示的是不同的探究方式，而經(jīng)緯其間就是各自的信念品質(zhì)、價值判斷、審美追求等深層次因素，這些，就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備品格。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)?！睌?shù)學(xué)實驗?zāi)軌蜃寖和纬蓴?shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的大腦、數(shù)學(xué)的處事和行為方式。數(shù)學(xué)實驗始于基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，終于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

二、結(jié)構(gòu)化教學(xué)：探尋 “數(shù)學(xué)實驗”的教學(xué)路徑

作為一種“具身性”學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)實驗是讓學(xué)生在“玩中學(xué)”“學(xué)中創(chuàng)”。因此，在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供結(jié)構(gòu)化的實驗素材，引導(dǎo)學(xué)生展開結(jié)構(gòu)化的實驗探究，形成學(xué)生結(jié)構(gòu)化的思維。在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，教師不僅要把握數(shù)學(xué)實驗結(jié)構(gòu)化之“形”，更要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)實驗結(jié)構(gòu)化之“神”。

1. 結(jié)構(gòu)化素材，讓數(shù)學(xué)實驗有效度

數(shù)學(xué)實驗材料是探究數(shù)學(xué)規(guī)律，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維力、探究力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體。數(shù)學(xué)實驗活動依賴于數(shù)學(xué)實驗材料，數(shù)學(xué)實驗材料能夠引發(fā)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，教師要有意識地為學(xué)生提供具有典型意義的結(jié)構(gòu)化素材。通過對結(jié)構(gòu)化素材的數(shù)學(xué)觀察、操作與思考，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)實驗的操作技能，發(fā)展學(xué)生深層次的數(shù)學(xué)思維。

例如教學(xué)蘇教版一年級下冊的《兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)、一位數(shù)》，有教師給學(xué)生提供了小圓片、小棒、珠子等，材料看似豐富，實則缺乏結(jié)構(gòu)性。其一，小圓片和珠子等材料容易滾動，學(xué)生不容易操作；其二，小圓片和珠子不容易“扎堆兒”。數(shù)學(xué)實驗材料應(yīng)當(dāng)具備“齊性”，即這些材料要有利于刻畫數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，而不能喧賓奪主，材料的其他屬性容易干擾學(xué)生學(xué)習(xí)。筆者在教學(xué)中向孩子們提供了清一色的小棒，十根一組，用橡皮筋扎起來。同時，讓學(xué)生準(zhǔn)備了計數(shù)器。學(xué)生一邊用結(jié)構(gòu)化材料進(jìn)行操作，一邊用計數(shù)器驗證。

師：45+3怎么算呢？為什么這么算呢？

生1：我將零頭5根與3根合起來，一共是8根，然后將4捆小棒和8根小棒合起來，所以一共有48根小棒。

師：你為什么不先將4捆小棒和3根合起來，然后再與零頭的5根小棒合起來？

生1：因為我想的是同類事物才可以合起來，所以捆和捆合起來，根和根合起來。

……

在學(xué)生通過結(jié)構(gòu)化小棒探索出“45+3”的算法后，筆者又讓學(xué)生探索了“45+30”的算法，并引導(dǎo)學(xué)生比較這兩種算式的算法，讓學(xué)生形成統(tǒng)一認(rèn)識。在實驗過程中，學(xué)生主動觀察、模仿、猜想、實驗，他們在思考中逐步建構(gòu)起算法模型。這樣的算法模型相較于教材的小結(jié)“兩數(shù)加一位數(shù)，先算個位幾加幾；兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)，先算幾十加幾十”要生動得多。

事實上，對于小學(xué)生而言，他們的數(shù)學(xué)知識儲備、數(shù)學(xué)實驗技能等都有待提升。在教學(xué)中，教師要向?qū)W生提供結(jié)構(gòu)性素材，給學(xué)生搭建一個腳手架，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗。如此，學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗中才能少走彎路，進(jìn)而展開深度的數(shù)學(xué)思考。

2. 結(jié)構(gòu)化過程，讓數(shù)學(xué)實驗有坡度

數(shù)學(xué)實驗過程是一個循序漸進(jìn)的結(jié)構(gòu)化過程。教師依據(jù)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化實驗素材，設(shè)計實驗、引導(dǎo)操作和交流。首先要提出研究的問題，引導(dǎo)學(xué)生實驗。其次要引導(dǎo)學(xué)生自主探究，引導(dǎo)學(xué)生制定研究計劃、方案，分配研究任務(wù)，讓學(xué)生在小組內(nèi)展開合作、探究。再次，要引導(dǎo)學(xué)生對實驗過程進(jìn)行小結(jié)、展示、發(fā)布，確證和表征小組成員數(shù)學(xué)實驗的智慧結(jié)晶。

例如教學(xué)《一億有多大》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊），筆者給學(xué)生提供了“A4”紙，讓學(xué)生在操作、體驗和思考中感受數(shù)的“大與小”。

①提出問題。

生1：我想研究一張A4紙的厚度。

生2：我想研究一張A4紙的質(zhì)量。

生3：我想研究同樣的A4紙，為什么市場上的價格各不相同。

生4：我想研究A4紙為什么叫作A4紙，A4紙與A3紙、A2紙的區(qū)別。

……

學(xué)生提出了各種問題。經(jīng)過小組篩選、梳理，達(dá)成了研究“厚度”“質(zhì)量”“規(guī)格”等諸多數(shù)學(xué)問題。

②學(xué)生猜測。

一張A4紙的厚度，一張A4紙的質(zhì)量等。

③實驗探究。

學(xué)生用尺子測量一本A4紙的高度，用電子秤稱一本A4紙等。

④實驗匯報。

學(xué)生通過對一本A4紙的研究，發(fā)現(xiàn)A4紙的質(zhì)量不一樣，有60k、70k、75k、85k、120k等。同時，學(xué)生用尺子測量一本A4紙的厚度，發(fā)現(xiàn)厚度也不一樣。在這個過程中，學(xué)生逐步學(xué)會了“積多求少”的思想方法，他們成功地測量、計算了很小物體的某些屬性，積淀了小數(shù)（相對于大數(shù)）的數(shù)感。在數(shù)學(xué)實驗過程中，讓學(xué)生驚訝不已的是：一張普通的A4紙對折、對折再對折，當(dāng)對折了5次后，就折不動了。最讓學(xué)生感到興奮的是：他們通過計算發(fā)現(xiàn)，一張普通的0.06毫米的A4紙，對折27次，其高度就達(dá)到了珠穆朗瑪峰的高度，對折51次，其高度竟相當(dāng)于地球到月球的距離。結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)實驗過程，讓學(xué)生拾級而上，他們通過實驗從感性走向理性，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到了有效培植。

3. 結(jié)構(gòu)化思維，讓數(shù)學(xué)實驗有深度

結(jié)構(gòu)化的實驗素材、結(jié)構(gòu)化的實驗過程能夠培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。所謂“結(jié)構(gòu)化思維”，是指學(xué)生在實驗過程中對實驗結(jié)構(gòu)性素材的探索，對實驗結(jié)構(gòu)性過程的理解。這種結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維又可以稱為系統(tǒng)性思維、整體性思維。毋庸置疑，結(jié)構(gòu)性思維是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。

例如教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊）一課，筆者首先和學(xué)生復(fù)習(xí)了“三角形的內(nèi)角和”的推導(dǎo)方法，然后讓學(xué)生探究四邊形的內(nèi)角和。于是，有學(xué)生還用量角器量，有學(xué)生則將四邊形分成了兩個三角形，還有學(xué)生兩兩連接四邊形中相對的頂點(diǎn)形成了四個三角形。

師：像這樣將四邊形分成兩個三角形，四邊形的內(nèi)角和是兩個三角形的6個內(nèi)角和嗎？

生1：是的，所以四邊形的內(nèi)角和是360度。

生2：如果我們將四邊形兩兩連接相對的頂點(diǎn)的話，那么四邊形的內(nèi)角和就要用四個三角形的內(nèi)角和，也就是720度減去中間形成的周角360度，結(jié)果還是等于360度。

生3（結(jié)構(gòu)化發(fā)問）：老師，那么五邊形的內(nèi)角和是多少呢？

師：真善于提問題。對了，下面請同學(xué)們分小組探究五邊形、六邊形、七邊形、八邊形的內(nèi)角和。

學(xué)生展開小組實驗。其中有學(xué)生從多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，依次、分別和其他頂點(diǎn)連接，形成了多個三角形，還有學(xué)生是多個頂點(diǎn)之間混連。

學(xué)生展示各自的推導(dǎo)過程。

生4：老師，我發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和有規(guī)律。

學(xué)生小組討論、匯報。

……

在學(xué)生的交流中，多邊形的內(nèi)角和公式形成了。從三角形的內(nèi)角和出發(fā)，到四邊形的內(nèi)角和，再到五邊形、六邊形等的內(nèi)角和，最后到n邊形的內(nèi)角和，展現(xiàn)的是學(xué)生結(jié)構(gòu)化的串式思維。學(xué)生在這種系統(tǒng)、整體的結(jié)構(gòu)化思維中，悄然生長起核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)實驗絕不是簡單的動手操作性活動，它承擔(dān)著發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重任。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，必須給予學(xué)生適應(yīng)未來社會發(fā)展和個體發(fā)展的關(guān)鍵能力和必備品格。這背后有許多問題值得我們?nèi)パ芯?、探索。對于?shù)學(xué)實驗，我們切不可輕慢它，而必須研究結(jié)構(gòu)性素材、結(jié)構(gòu)性流程以及學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維。只有這樣，數(shù)學(xué)實驗才能堅實地走在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的康莊大道上。