梁倩

[摘 要] 三角函數(shù)積分的形式多變，其求解通常具有方法靈活、技巧性強(qiáng)的特點(diǎn)。歸納總結(jié)了一類三角函數(shù)不定積分的求解技巧，并舉例加以說明。

[關(guān) 鍵 詞] 三角函數(shù)；積分；求解技巧

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2017）07-0170-02

三角函數(shù)積分是微積分課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。求解三角函數(shù)積分具有靈活性高、技巧性強(qiáng)的特點(diǎn)，常見的方法包括換元積分法、分部積分法、利用三角函數(shù)萬能公式進(jìn)行代換等。本文考慮形如■tanmxsecnxdx，其中m和n均為非負(fù)整數(shù)的不定積分。這類積分又可進(jìn)一步細(xì)分為幾種類型，其求解無統(tǒng)一模式可循。本文旨在對(duì)此類積分的求解技巧作一較為系統(tǒng)的分類討論和歸納總結(jié)，并舉例加以說明。

類型1.n為正偶數(shù)的情況

我們知道■sec2xdx=tanx+C.

故這里只考慮n≥4的情況。此種情況下，我們首先從被積函數(shù)中分離出一個(gè)sec2x因子，然后利用三角恒等式sec2x=1+tan2x對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行變換，再令u=tanx進(jìn)行換元積分。以下舉一例加以說明。

例1.求解■tan6x sec4x dx.

解：■tan6x sec4x dx=■tan6x sec2x sec2x dx

=■tan6x（1+tan2x）d（tanx）

=■u6（1+u2）du （令u=tanx）

=■（u6+u8）du

=■+■+C

=■+■+C

類型2.n=0的情況

這里我們分別考慮m為奇數(shù)和m為偶數(shù)的情況，并各舉一例說明。

我們首先考慮m為奇數(shù)的情況。此種情況下，我們首先利用三角恒等式tanx=■對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行變換，再從被積函數(shù)中分離出一個(gè)-sinx因子，然后利用三角恒等式sin2x=1-cos2x對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行變換，最后令u=cosx進(jìn)行換元積分。

例2.求解■tan3x dx.

解：■tan3x dx=■■dx

=■■（-sinx）dx

=■■d（cosx）

=■■du（令u=cosx）

=■■-■du

=lnu+■+C

=lncosx+■+C

其次，考慮m為偶數(shù)的情況。此種情況下，我們利用三角恒等式tan2x=sec2x-1對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行變換，然后將被積函數(shù)展開，從而將積分化歸為類型1進(jìn)行求解。

例3.求解■tan4x dx.

解：■tan4x dx=■（tan2x）2dx

=■（sec2x-1）2dx

=■（sec4x-2sec2x+1）dx

=■sec4x dx-2■sec2x dx+■1dx

=■sec4x dx-2tanx+x

而利用類型1的求解方法，我們有：

■sec4x dx=■（1+tan2x）sec2x dx

=■（1+u2）du （令u=tanx）

=u+■+C

=tanx+■+C

故■tan4x dx=■-tanx+x+C.

類型3.m為奇數(shù)，且n為正整數(shù)的情況

此種情況下，我們首先從被積函數(shù)中分離出一個(gè)secx tanx因子，然后利用三角恒等式tan2x=sec2x-1對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行變換，再令u=secx進(jìn)行換元積分。

例4.求解■tan3x secx dx.

解：■tan3x secx dx=■tan2x secx tanx dx

=■（sec2x-1）d（secx）

=■（u2-1）du （令u=secx）

=■-u+C

=■-secx3+C

類型4.m為偶數(shù)，且n為奇數(shù)的情況

此種類型的求解較為復(fù)雜。我們將其分為m=0和m>0兩種情況進(jìn)行分類討論。

類型4.1.m=0，且n為奇數(shù)的情況

此種情況下，待求解的積分形如■sec2k+1x dx，其中k為非負(fù)整數(shù)。為簡(jiǎn)便計(jì)算，不妨設(shè)Ik=■sec2k+1x dx.我們有：

I0=■secx dx

=■■dx

=■■dx

=■■d（tanx+secx）

=■■du（令u=tanx+secx）

=lnu+C

=lntanx+secx+C. （1）

另一方面，由求導(dǎo)法則可得：

■（tanx sec2k+1x）=（2k+1）tan2x sec2k+1x+sec2k+3x

=（2k+1）（sec2x-1）sec2k+1x+sec2k+3x

=（2k+2）sec2k+3x-（2k+1）sec2k+1x.

從而有：■（2k+2）sec2k+3x dx-■（2k+1）sec2k+1x dx=tanx sec2k+1x.

也即是：（2k+2）Ik+1-（2k+1）Ik=tanx sec2k+1x. （2）

由（1）和（2），不難解得I1=■（tanx secx+lntanx+secx）+C更一般地，對(duì)于k≥2，可求得Ik的通項(xiàng)公式如下：

Ik=■■bitanx sec2i-1x+b0lntanx+secx+C

其中：bk=1；

bk-1=■；

bk-2=■；

……

b1=■；

b0=■.

例5.求解■sec7x dx.

解：此積分等價(jià)于I3.在前述關(guān)于Ik的通項(xiàng)公式中代入k=3，可求得如下系數(shù)：b3=1，b2=■，b1=■，b0=■.

從而我們有：■sec7x dx

=I3

=■（b3tanx sec5x+b2tanx sec3x+b1tanx secx+b0lntanx+secx）+C

=■tanx sec5x+■tanx sec3x+■tanx secx+■lntanx+secx+C

類型4.2.m為正偶數(shù)，且n為奇數(shù)的情況

此種情況下，我們可利用三角恒等式tan2x=sec2x-1對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行變換，從而將積分化歸為類型4.1進(jìn)行求解。

例6.求解■tan4x sec3x dx.

解：■tan4x sec3x dx=■（tan2x）2 sec3x dx

=■（sec2x-1）2 sec3x dx

=■（sec4x-2sec2x+1）sec3x dx

=■sec7x dx-2■sec5x dx+■sec3x dx

而利用類型4.1的求解方法，我們可求得：

■sec7x dx=■（tanx sec5x+■tanx sec3x+■tanx secx

+■lntanx+secx）+C；

■sec5x dx=■tanx sec3x+■tanx secx+■lntanx+secx+C；

■sec3x dx=■tanx secx+lntanx+secx+C

從而有：■tan4x sec3x dx=■tanx sec5x-■tanx sec3x+■tanx secx+■lntanx+secx+C.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，等.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社，1990.

[2]費(fèi)定暉，周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社，1999.