用“嵌入法”解決三視圖還原直觀圖問題

楊昌座

福建省南安市第三中學(xué) (362300)

用“嵌入法”解決三視圖還原直觀圖問題

楊昌座

福建省南安市第三中學(xué) (362300)

近幾年全國課標(biāo)卷對“三視圖”問題的考查一直是個“熱點”，它是考查學(xué)生空間想像能力的一個重要載體.其中“三視圖的還原”比起“畫出物體的三視圖”難度更大，前者對空間想象能力的要求更高，這需要學(xué)生熟練掌握直觀圖和三視圖兩者之間的聯(lián)系，能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象.特別是在2014年數(shù)學(xué)理科課標(biāo)Ⅰ卷第12題后，大伙對三視圖還原問題有了進一步的探究與思考，現(xiàn)筆者介紹一種解決這類問題的有效方法——“嵌入法”.

首先，三視圖是觀測者從上面、左面、正面三個不同角度觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形，它是幾何體從不同角度正投影后的平面圖，因此具有“正視圖和俯視圖一樣長，正視圖和側(cè)視圖一樣高，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬的特征，也就是“正俯長、正側(cè)高、側(cè)俯寬”.

高中階段所接觸的三視圖相對簡單，大多數(shù)通過對長方體或者正方體進行切割而成，或者是圓錐(或圓柱)與長方體(或正方體)的組合，因此我們對一些基本的幾何體的三視圖應(yīng)該熟練掌握，例如，三棱錐，三棱柱，圓柱，圓錐，四棱錐，四棱柱等.一般情況下，我們知道：

(1)如果三視圖中有兩個或三個三角形，那么這個幾何體一定是棱錐；

(2)如果三視圖中有兩個或三個四邊形，那么這個幾何體一定是棱柱；

(3)如果三視圖中有一個圓，那么這個幾何體可能是圓柱或圓錐等旋轉(zhuǎn)體.

當(dāng)我們對這個幾何體初步的形狀確定后，遇到求體積等基本問題時，就容易解決，但如果是求表面積、最長棱等問題時，這就需要知道其各個面的情況，也就是將三視圖還原成直觀圖問題，那么對于這類難度較大的問題有沒有一種好的方法呢？在此介紹一種方法——“嵌入法”，它是根據(jù)三視圖，把三個視圖嵌入到我們熟悉的幾何體中，例如：長方體或正方體，通過確定其頂點的位置后，連接各條棱，然后再把多余的線擦掉，即能畫出所要求的幾何體.即我們只需要在長方體(正方體)中找到這個幾何體的頂點即可.在這一過程中，需要注意“正俯長、正側(cè)高、側(cè)俯寬”的特征及三視圖中的實、虛線.

圖1

例1 (2014年理科課標(biāo)Ⅰ卷第12題)如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為( ).

分析：①三視圖易確定此多面體為三棱錐，作出嵌入的載體——正方體；

②由正視圖的中間實線AB入手(一般由三視圖內(nèi)的實線或虛線開始，由易到難，逐個確定各頂點)，由正視圖可知點A應(yīng)該是正方體中的點A′或A″，點B應(yīng)該是正方體中的點B′或B″(圖2)，但因為AB是實線，故A′與B′不能同時出現(xiàn)，由俯視圖易知不能為A″，故能確定幾何體的兩個頂點為A′與B″(圖3)；

圖2 圖3

③由俯視圖的特征可知其上面的直角頂點C應(yīng)為正方體中的C′或C″(圖4)，由正視圖可知點C′定存在，故確定幾何體的第三個頂點為C′(圖5)；

圖4 圖5

④由側(cè)視圖和正視圖可知點D應(yīng)為正方體中的C″，由正視圖可知點C″定存在(圖6)，故確定幾何體的第四個頂點為C″.連接四個頂點為A′、B″、C′、C″就是所求的三棱錐(圖7)；

圖6 圖7

例2 某四面體的三視圖如圖8所示，正視圖、俯視圖都是腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長為2的正方形，則此四面體的四個面中最大的面積是( ).

圖8

分析：①從三視圖易確定此多面體為三棱錐，作出嵌入的載體——正方體；

②由側(cè)視圖中間的虛線AB入手(“虛線”表示看不到的棱長，其在表面的可能性更大，而實線表示看得到的棱長，其位置在表面或中間都可以，故先虛線后實線更易解決問題.)由側(cè)視圖可知點A應(yīng)該是正方體中的點A或A′，點B應(yīng)該是正方體中的點B或B′(圖9)，但因為AB是虛線，故A′與B′，A與B′不能同時出現(xiàn)，由正視圖易知不能為A′，故能確定幾何體的兩個頂點為A與B(圖10)；

圖9 圖10

③由側(cè)視圖中間的實線CD可知在幾何體中應(yīng)為C′D或C′D′(圖11)，但由俯視圖可得D′不存在，故確定幾何體的另外兩個頂點為C′，D(圖12)；

圖11 圖12

圖13

圖14

例3 (2014年理科重慶第7題)某幾何體的三視圖如圖14所示，則該幾何體的表面積為( ).

A.54B.60

C.66D.72

分析：①由三視圖易確定此多面體為三棱柱的一部分(由俯視圖確定一個底面為直角三角形)，做出嵌入的載體——長方體的一半(圖15)(長4寬3).

圖15

②由側(cè)視圖的虛線(一般由三視圖內(nèi)的實線或虛線開始，由易到難，逐個確定各頂點)可知在側(cè)棱AA′上存在一點D(AD=2)和點B′(圖16)，由正視圖可知存在點C′(圖17)；

圖16 圖17

③由正視圖和側(cè)視圖的下面可知底面的三個頂點A、B、C都存在(圖18)，連接各頂點就是所求的幾何體(圖19)，將多余的線擦掉，從而得到其幾何體，并求得表面積為60.

圖18 圖19

通過以上三道類似的例題，我們可以發(fā)現(xiàn)“嵌入法”就是將所求幾何體嵌入到我們熟悉的幾何體(一般為柱體)中，通過對其頂點的位置的確定后并連接各條棱線，然后再把多余的線擦掉，就能畫出所要求的幾何體.“嵌入法”這是一種解決三視圖還原直觀圖問題的有效方法，其關(guān)鍵在于通過圖形內(nèi)的實線與虛線入手，結(jié)合三視圖逐個判斷頂點位置，特別是對較復(fù)雜的三視圖問題，它能夠有效的解決問題，體現(xiàn)了由易到難的解題思路，也是對“切割法”的另一種理解，是一種學(xué)生比較容易接受和實踐的有效方法.

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