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      矩陣特征值在矩陣中的作用

      2017-11-02 08:54:27林大華戴立輝
      關(guān)鍵詞:重數(shù)可逆性子塊

      林大華,戴立輝

      (閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系,福建 福州 350108)

      矩陣特征值在矩陣中的作用

      林大華,戴立輝

      (閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系,福建 福州 350108)

      用矩陣的特征值對矩陣的行列式、可逆性、跡、秩、對角化、相似、正定性以及一些特殊矩陣進(jìn)行了刻畫.

      矩陣;特征值;行列式;可逆性;跡;秩;對角化;相似;正定性

      1 引言與預(yù)備知識

      矩陣的特征值是線性代數(shù)理論的一個重要組成部分,具有廣泛的應(yīng)用.本文主要綜述特征值在矩陣的行列式、可逆性、跡、秩、對角化、相似、正定性以及一些特殊矩陣等矩陣?yán)碚撋系娜舾勺饔茫瑥闹锌梢钥吹?,矩陣?yán)碚撝械脑S多問題可以用矩陣的特征值加以刻畫.

      本文用Pn×n表示數(shù)域P上全體n階方陣集合,用Pn表示數(shù)域P上全體n維向量集合,用P[x]表示數(shù)域P上全體一元多項式集合,用Tr(A)表示矩陣A的跡.未經(jīng)說明的記號參看文獻(xiàn)[4].

      設(shè)A∈Pn×n,λ∈P,若存在非零 n維向量 α∈Pn,使得Aα=λα,則稱 λ是A的特征值,α是 A的屬于λ的特征向量.

      對A∈Pn×n,矩陣λE-A稱為A的特征矩陣,多項式fA(λ)=|λE-A|稱為 A 的特征多項式.

      λ∈P是矩陣A∈Pn×n的特征值充分必要條件是λ是特征多項式的根.

      矩陣A∈Pn×n的特征多項式的根,稱為A的特征根.注意,A的特征根未必是A的特征值.A的特征根λ是特征值充分必要條件是λ∈P.由于多項式在復(fù)數(shù)域上總是有根,所以矩陣的特征根總是存在的,但特征值未必總存在.因此,n階方陣的特征值個數(shù)不超過n.A的特征值λ作為特征根的重數(shù)稱為λ的代數(shù)重數(shù).

      若 λ∈P是矩陣 A∈Pn×n的特征值,則集合 Vλ={α∈Pn|Aα=λα}是 Pn的子空間,稱為屬于 λ的特征子空間.Vλ的維數(shù)稱為λ的幾何重數(shù).

      若 λ∈P 是矩陣 A∈Pn×n的特征值,f(x)∈P[x],則 f(x)是 f(A)的特征值;當(dāng)A可逆時,λ-1是A-1的特征值.

      兩個相似的同階方陣有相同的特征根,因而有相同的特征值.

      2 矩陣特征值的若干作用

      2.1 方陣的行列式

      若 n 階方陣 A 的 n 個特征值為 λ1,λ2,…,λn,則有

      例1 設(shè)-2,3,-1是三階方陣A的特征值,求|A3-6A+11E|.

      解 令 f(x)=x3-6x+11,則 f(A)=A3-6A+11E.因為 A 的特征值為-2,3,-1,所以f(A)的特征值為f(-2)=15,f(3)=20,f(-1)=16,故

      |f(A)=A3-6A+11E|=|f(A)|=f(-2)f(3)(-1)=15×20×16=4800

      2.2 方陣的可逆性

      n階方陣A是可逆矩陣的充分必要條件是A的特征值均非零.

      例2 設(shè)n方陣A的特征值全是實數(shù).證明,若E-A的特征值的絕對值都小于1,則A可逆.

      證明 設(shè)A的全部特征值為λ1,λ2,…,λn則E-A的全部特征值為

      由 1-λi全是實數(shù),且 |1-λi|<1,可得 -1<1-λi<1,即 0<λi<2(i=1,…n).于是A的特征值均非零,故A可逆.

      2.3 方陣的跡

      若 n 階方陣 A 的 n 個特征值為 λ1,λ2,…,λn,則有

      事實上,由 λ1,λ2,…,λn是 A 的 n 個特征值,可知 λ1k,λ2k,…,λnk是 Ak的 n 個特征值.于是有

      推論 若 A=(aij)n×n,則有

      2.4 方陣的相似

      若n階方陣A的特征根均為特征值,則

      (1)相似于上(下)三角形矩陣

      λi(i=1,2,…,s)是A的全部特征值.Ji的階數(shù)是λi的代數(shù)重數(shù).

      J稱為A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.

      (2)若n方陣A,B有相同的特征根,且每個特征根的重數(shù)也一樣,則A,B相似.

      (3)若n方陣A,B的特征根不完全相同,則A,B不相似.

      2.5 方陣的秩

      若n階方陣A的特征根均為特征向量,則

      (1)當(dāng)0是A的k重特征值時,有秩(Ak+l)=n-k(l≥0).

      (2)當(dāng)0是A的k重特征值時,秩(A)=n-k的充要條件是秩(A)=秩(A2).

      事實上,(1)把A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中特征值不是0的子塊放在一起記為B,把特征值為0的子塊放在一起記為B0,則有

      其中B可逆.

      由于0是A的k重特征值,故B0是k階方陣.從而B0中的每個子塊Ji的階數(shù)≤k,于是由

      可知 Jik=0,故 B0k=O,因此

      但B是n-k階可逆方陣,故秩(Ak+l)=n-k.

      (2)由(1)的證明可知,有

      于是有

      秩(A)=秩(B)+秩(B0) 秩(A2)=秩(B2)+秩(B02)

      因為B是n-k階可逆方陣,所以秩(B)=秩(B2) 從而秩(A)=秩(A2)的充要條件是秩(B0)=秩(B02).

      若B0中的子塊Ji的階數(shù)大于1,則必有秩(Ji)<秩(Ji2).故秩(B0)=秩(B02)的充要條件是Ji的階數(shù)為1,即Ji=O,故秩(B0)=秩(B02)的充要條件是B0=O,即秩(A)=n-k.

      2.6 方陣的對角化

      n階方陣A可對角化充分必要條件是A的特征根均為特征值,且每個特征值的代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù).此時,對角矩陣若不考慮對角線上的元素排列次序是唯一的,并且對角線上的元素均為A的特征值.

      推論1 若n階方陣A有n個不同的特征值λ1,λ2,…,λn,則A可對角化且對角矩陣對角線上的元素是A的特征值.即存在可逆矩陣Q,使得

      推論2 若n階方陣A可對角化,則A是零矩陣充分必要條件是A的特征值全為零.

      2.7 實對稱矩陣

      實對稱矩陣的特征值均為實數(shù).若 λ1,λ2,…,λn是 n 階實對稱矩陣A的n個特征值,則A正交相似于對角矩陣diag(λ1,λ2,…,λn),即有正交矩陣 Q,使得推論實對稱矩陣A是正定矩陣充分必要條件是A的特征值均大于零.

      2.8 一些特殊矩陣

      若方陣A的特征根均為特征值,則

      (1)A是冪零矩陣充分必要條件是A的特征值均為零.

      (2)若A的特征值不全是單位根,則A不可能是冪幺矩陣.

      (3)若A的特征值不是1或0,則A不可能是冪等矩陣.

      (4)若A的特征值不是1或-1,則A不可能是對合矩陣.

      〔1〕楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解(修訂版)[M].濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2009.11.

      〔2〕楊子胥.高等代數(shù)精選題[M].北京:高等教育出版社,2010.1.

      〔3〕錢吉林.高等代數(shù)題解精辟[M].北京:中央民族大學(xué)出版社,2005.12.

      〔4〕北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2014.2.

      O152

      A

      1673-260X(2017)10-0008-02

      2017-07-03

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