陳文龍

【摘 要】史寧中教授認為“數(shù)學模型主要是指：用數(shù)學所創(chuàng)造出來的概念、原理和方法，來理解、描述和解決現(xiàn)實世界中的一類問題”。也就是說，數(shù)學模型構(gòu)建需要一個過程，通過對五套教材進行橫向比較，分別從“情境內(nèi)容的編排”“概念描述的編排”“算法揭示的編排”“應用練習的編排”四個方面來闡述數(shù)學模型構(gòu)建的過程。

【關(guān)鍵詞】長方形周長 教材比較

史寧中教授認為：“數(shù)學模型的構(gòu)建與應用，是現(xiàn)代數(shù)學得以健康發(fā)展的重要源泉?！薄皵?shù)學模型主要是指：用數(shù)學所創(chuàng)造出來的概念、原理和方法，來理解、描述和解決現(xiàn)實世界中的一類問題?！币簿褪钦f，數(shù)學模型構(gòu)建需要一個過程，而這個過程主要分幾個層面實現(xiàn)呢？筆者的理解是主要有這四個層面：第一層是“把握現(xiàn)實世界一類問題的本質(zhì)”；第二層是“數(shù)學語言描述一類問題的本質(zhì)”；第三層是“數(shù)學符號表達一類問題的規(guī)律”；第四層是“應用解決現(xiàn)實世界中的一類問題”。而這四個層面在長方形和正方形周長的教材編排中是如何呈現(xiàn)的？這里選取五套教材進行橫向比較，展現(xiàn)給大家，以期獲得一些思考。

橫向比較的五套教材分別來自：人民教育出版社（以下簡稱“人教版”）、北京師范大學出版社（以下簡稱“北師版”）、浙江教育出版社（以下簡稱“浙教版”）、江蘇教育出版社（以下簡稱“蘇教版”）、青島出版社（以下簡稱“青島版”）。

從周長內(nèi)容編排上看，這五種版本都是將周長的概念和長方形、正方形的周長計算分成兩課時編排，只有浙教版教材把“概念與計算”分別編寫在三下與三上，其他教材都在三上學習這兩塊內(nèi)容，并且是連續(xù)學習的。

一、情景內(nèi)容是怎樣編排的

“數(shù)學模型的研究手法不是單向的，需要從數(shù)學的角度思考，更需要從現(xiàn)實問題的角度思考?！敝荛L的模型構(gòu)建首先需要思考的是學習活動情景內(nèi)容的編排，設(shè)置有效的情景內(nèi)容，才能引導學生更好地“把握周長的本質(zhì)”。

在周長概念教學中，學習材料是怎樣編排的？活動情景是怎樣編排的？我們來看一下這五種教材的編排內(nèi)容。

1.揭示周長概念編排的學習材料（如下圖）。

五種教材編排的學習材料都注意從學生的生活實際中取材，從學生的已有知識經(jīng)驗出發(fā)，引導學生主動把握和構(gòu)建周長的概念。人教版編排的學習材料有兩類：一類是現(xiàn)實生活與學習中的四種實物（樹葉、三角尺、數(shù)學書、鐘面），另一類是已經(jīng)學過的四種圖形（五角星、三角形、長方形、正方形）；北師版編排的學習材料有兩類：一類是現(xiàn)實生活中的兩種實物（樹葉、數(shù)學書），另一類是已經(jīng)學過的一個圖形（長方形，是從書本的封面抽象出來的）；浙教版編排的學習材料有一類：學生比較熟悉的一些圖形（三角形、十字形、五角星、樹葉、五邊形、六角星、梯形等）；蘇教版編排的學習材料有一類：以學生學習中的不同形狀的書簽為學習材料（橢圓形、心形、長方形）；青島版編排的學習材料有一類：校園生活中的花壇形狀（長方形、正方形、圓形、扇形）。

從整體上看，為了把握周長的本質(zhì)，這五種教材編排的學習材料都基本上把實物與圖形結(jié)合起來：人教版教材相對來說分得比較清楚，實物與圖形數(shù)量相同，而浙教版更突出的是圖形，其他三種版本的教材基本上是把實物與圖形整合在一起，其中北師版還有一個從實物抽象出圖形的過程。從圖形的形狀看，編排的基本上是學生學過的圖形，有長方形、正方形、三角形、圓形等。而人教版、北師版、浙教版都加入了不規(guī)則圖形（主要是樹葉形狀），這樣的內(nèi)容加入會使學生對周長本質(zhì)的把握更豐滿些。而北師版有一個動態(tài)的過程，一只螞蟻爬過樹葉的邊線，使學生有一種直觀形象的認識?？梢钥闯龈靼姹窘滩脑谧⒅貜默F(xiàn)實角度把握的同時，結(jié)合從數(shù)學的角度把握周長的本質(zhì)，這樣會使學生理解得更透、更全。

2.計算圖形的周長編排的活動情境（如下圖）。

為了使學生進一步理解周長的本質(zhì)“封閉圖形一周的長度”，這五種版本教材都安排了計算圖形周長的活動情境。人教版編排的情境是：通過直接測量的辦法知道書本封面和三角形的周長，通過軟尺用圍一圈的方法測量樹葉（不規(guī)則圖形）的周長。北師版編排的情境是：一是同學合作用繩子把樹葉圍一圍的方法測量樹葉的周長，用尺子量出書本封面的周長；二是讓學生在格子圖中數(shù)出三個圖形的周長。浙教版編排的情境是：讓學生摸一摸、量一量課桌桌面的周長，用卷尺量樹干的周長。蘇教版編排的情境是：讓學生自行想辦法得出兩個圖形的周長。青島版編排的情境是：用步數(shù)走一圈的方法知道長方形的周長，用卷尺等工具測量其他花壇的周長，想辦法測量出紅領(lǐng)巾和少先隊隊旗的周長。

美國學者萊許認為：“在問題情境中，為提取概念所提供的線索越多，就越容易使概念得到檢索和應用，有利于抽象的概念建立起具體的模型，從而促使概念的掌握?！敝荛L概念的建立，需要學生積極主動地參與到多種形式的活動之中，讓學生通過看、描、摸、圍、量、說等，使學生的眼、手、耳、口等多種感官全都參與其中，只有這樣才能有利于學生抽象出周長概念的模型。顯然，這五種教材都充分考慮到了。

二、概念描述是怎樣編排的

“數(shù)學語言是數(shù)學思維的載體，實現(xiàn)有效交流的前提是學習和掌握數(shù)學語言，數(shù)學語言可分為抽象性數(shù)學語言和直觀性數(shù)學語言?！痹趯W生獲得直觀的感知，得到多層次的體驗，能把握周長的本質(zhì)后，教師再引導學生“用數(shù)學的語言描述什么是周長”。各種版本的教材是怎么描述的？請看下表。

長方形：圖形一周的長度就是圖形的周長][封閉圖形一周的長度就是這個圖形的周長][書簽一周邊線的長就是它的周長][一周的長度就是它們的周長]endprint

從表中可以看出，周長概念的描述主要分兩種形式：一種是以“定義式”的方法描述，有人教版和浙教版；另一種是以“描述式”的方法描述，有北師版、蘇教版和青島版。

三、算法揭示是怎樣編排的

“合理的思維過程具有理性加工的功能，而現(xiàn)實世界的事物一旦經(jīng)過理性加工，或者說，一旦經(jīng)過數(shù)學的描述，不僅具有了一般性，而且具有了真實性，而數(shù)學模型就是這種理性加工的范例?！苯滩膭?chuàng)設(shè)有效的學習材料，讓學生在經(jīng)歷“合理的思維過程”后，通過數(shù)學的描述，建立起長、正方形周長的模型，用數(shù)學的符號表達出這種規(guī)律，這樣的過程具有“真實性、合理性”，這樣的模型構(gòu)建過程是有效的。那么這五種教材是如何編排的？請看下表。

五種教材揭示“長、正方形周長計算公式”的過程具體編排

[教材版本 揭示“長、正方形周長計算公式”的過程 人教版 材料：一個長方形（長6厘米、寬4厘米）；一個正方形（邊長是5厘米）

算法：各兩種。算長方形的周長：①6+4+6+4=20（厘米），②（6+4）×2=20（厘米）；算正方形的周長：①5+5+5+5=20（厘米），②5×4=20（厘米）

公式：以填空的形式出現(xiàn)，長方形的周長=（ ）；正方形的周長=（ ） 北師版 材料：一個長方形（要學生量出長和寬）；一個正方形（要學生量出邊長）；怎樣靠墻圍一個長方形柵欄

算法：算長方形的周長有三種算法：①5+3+5+3=16（厘米），②5×2+3×2=16（厘米），③（5+3）×2=16（厘米）；算正方形的周長有兩種算法：①3+3+3+3=12（厘米），②3×4=12（厘米）

公式：以文字的形式出現(xiàn)“四條邊的長度加起來，2個長和2個寬加起來，1個長和1個寬加起來再乘2，正方形的周長可以用邊長乘4” 浙教版 材料：1.生活中哪些地方需要計算長方形的周長？（畫框、樹的圍欄）；2.用點子圖畫長方形并算周長（知道周長畫圖形）；3.量一量、算一算長方形和正方形的周長（兩個長方形和一個正方形）

算法：各兩種。算長方形的周長：①3×2+2×2=10（厘米），②（5+1）×2=12（厘米）（兩個不同的圖形）；算正方形的周長：①（2+2）×2=8（厘米），②2×4=8（厘米）

公式：以文字的形式出現(xiàn)“長方形的周長=（長+寬）×2，正方形的周長=邊長×4” 蘇教版 材料：求一個籃球場的周長（長28米、寬15米），求一塊正方形手帕的周長（邊長是25厘米，以試一試的形式出現(xiàn)）

算法：長方形的周長有三種算法：①長+寬+長+寬=長方形的周長，②2條長與2條寬相加，③先算長加寬的和，再用和乘2；算正方形的周長有一種算法：邊長×4=正方形的周長

公式：以文字的形式出現(xiàn)“長+寬+長+寬=長方形的周長；2條長與2條寬相加；先算長加寬的和，再用和乘2；邊長×4=正方形的周長” 青島版 材料：一個長方形花壇（長9米、寬4米）；一個正方形花壇（邊長是7米）

算法：算長方形的周長有三種算法：①9+4+9+4=26（米），②9×2+4×2=26（米），③（9+4）×2=26（米）；算正方形的周長有兩種算法：①7+7+7+7=28（米），②7×4=28（米）

公式：以文字的形式出現(xiàn)“長方形的周長=（長+寬）×2；正方形的周長=邊長×4” ]

從上表可以看出，這五種教材在編排內(nèi)容的過程中，基本思路大同小異：都是先創(chuàng)設(shè)了學習材料，包括長方形和正方形；通過不同算法的呈現(xiàn)進行算法探究，在算法呈現(xiàn)中都基本上呈現(xiàn)了兩種或兩種以上算法（北師版、蘇教版、青島版在長方形周長算法中呈現(xiàn)了三種算法，蘇教版在正方形算法中只呈現(xiàn)了一種算法），而蘇教版算法呈現(xiàn)中有別于其他四種版本的教材，是用文字算式的形式表述的，這其實也就是把長（正）方形周長的計算公式呈現(xiàn)出來了，而其他四種版本的教材都是以數(shù)字算式的形式表述的；在各種算法呈現(xiàn)后，進行算法的優(yōu)化，其中人教版用“你喜歡哪種算法”、蘇教版用“計算長方形的周長，怎樣算比較簡便”這樣的問題點出來，其他三種版本的教材并沒有直接點明，在算法優(yōu)化的過程中，自然形成了長（正）方形周長的公式，人教版是以填空的形式出現(xiàn)，其他四個版本的教材都給了一個相對比較明確的文字公式。

四、應用練習是怎樣編排的

學生通過多種學習活動，能深刻地把握周長的本質(zhì)，能用數(shù)學的語言描述周長的本質(zhì)，并能用符號化的公式去表達長（正）方形周長的計算規(guī)律，這樣一個完整的長（正）方形周長的模型才能初步構(gòu)建起來，但是能否真正成型，需要在應用與解決實際問題中得到檢驗、提高、完善。那么這五種教材對于應用練習是怎樣編排的？請看下表。

總體上來說，北師版、蘇教版基礎(chǔ)性練習題比較多一點，編排的練習結(jié)合了直接利用公式的情境模型題、量一量再計算的圖形題、畫一畫再計算、用算式去找圖形題等。人教版、浙教版、青島版綜合性練習題比較多一點，人教版、青島版都比較注重剪、拼的練習設(shè)計，青島版突出一點是注重學生課外實踐，浙教版顯得思維性更強一些，有幾個題目學生在解答之后都可以進一步去思考，得出新的規(guī)律，發(fā)展學生的思維能力。

總之，“在數(shù)學教學活動中，讓學生了解數(shù)學模型，特別是了解數(shù)學模型的構(gòu)建過程是非常重要的，因為在這個過程中，可以讓學生體會：如何用數(shù)學的‘眼睛觀察現(xiàn)實世界，如何用數(shù)學的‘思維思考現(xiàn)實世界，如何用數(shù)學的‘語言描述現(xiàn)實世界?！?參考文獻：

[1]史寧中.數(shù)學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[2]楊曉翊，謝瑩.長方形的認識與周長教學研究[M].北京：教育科學出版社，2014.

（浙江省臨海市河頭鎮(zhèn)中心小學 317034）endprint