杜學(xué)文
【摘 要】合情推理是小學(xué)生數(shù)學(xué)思考的重要能力,合情推理對于學(xué)生積累基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、培養(yǎng)基本數(shù)學(xué)思想有重要作用。以《鴿巢問題》的學(xué)歷案為例,發(fā)展學(xué)生的合情推理能力可以通過恰當(dāng)?shù)膯栴}設(shè)計、活動設(shè)計和學(xué)習(xí)方式設(shè)計展開研究,從而提出情境問題化、問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)符號化三條具體的策略。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)活動 數(shù)學(xué)思想 合情推理 學(xué)歷案
一、問題提出的背景
作為重要數(shù)學(xué)思想方法的推理,既有用于猜想發(fā)現(xiàn)的合情推理,又有用于嚴(yán)格證明的演繹推理。美國著名數(shù)學(xué)家莫里斯·克萊因 (Morris Kline)說過,推理的方法是數(shù)學(xué)最顯著的特征1。另一位美籍?dāng)?shù)學(xué)家波利亞(George Polya)則十分強調(diào)合情推理的重要性,他認為演繹推理可用于肯定數(shù)學(xué)知識,而合情推理可以為猜想提供依據(jù),并倡導(dǎo)在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須有猜想的地位,因為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程應(yīng)該反映數(shù)學(xué)的發(fā)明過程2。
我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)指出,“合情推理是從已有的事實出發(fā),憑借經(jīng)驗和直覺,通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果……在解決問題的過程中……合情推理用于探索思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論?!?《課標(biāo)》相較2003版課標(biāo),更加注重過程中的教育,鼓勵學(xué)生通過經(jīng)歷豐富的數(shù)學(xué)活動,進而感悟數(shù)學(xué)思想。4
“學(xué)歷案”即學(xué)習(xí)經(jīng)歷的方案,核心是學(xué)生學(xué)習(xí)“經(jīng)歷”的設(shè)計,包括核心問題設(shè)計、有效活動設(shè)計和學(xué)習(xí)方式設(shè)計,強調(diào)“做”中學(xué)和“教”中學(xué)。學(xué)歷案旨在解決課堂教學(xué)中存在的“虛假學(xué)習(xí)”“游離學(xué)習(xí)”的問題,實現(xiàn)在課堂情境中最大化的“在學(xué)習(xí)”“真學(xué)習(xí)”。5學(xué)歷案的這種特點,非常契合《課標(biāo)》的“經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動感悟數(shù)學(xué)思想”的目標(biāo)。
二、 《鴿巢問題》的教材分析
《鴿巢問題》是人民教育出版社2013年版六年級下冊《數(shù)學(xué)廣角》的內(nèi)容,數(shù)學(xué)廣角是數(shù)學(xué)教育中滲透數(shù)學(xué)思想的重要陣地。但是,實際教學(xué)中,“數(shù)學(xué)廣角”存在一個突出問題,即過于關(guān)注解決問題的方法,而數(shù)學(xué)思想的滲透不夠。6
《鴿巢問題》中蘊含的“抽屜原理”(也叫“鴿巢原理”)是組合數(shù)學(xué)中的一個重要原理,它在幾何、近世代數(shù)、高等代數(shù)、初等數(shù)論、離散數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用?!俺閷显怼背R娦问接械谝怀閷显砗偷诙閷显?;教材內(nèi)容屬于第一抽屜原理,教材第一節(jié)內(nèi)容是第一抽屜原理的原理1,即“把多于n+1個的物體放到n個抽屜里,則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件”;教材第二節(jié)內(nèi)容是第一抽屜原理的原理2,即“把多于mn(m×n)+1(n不為0)個的物體放到n個抽屜里,則至少有一個抽屜里有不少于(m+1)的物體”;教材第三節(jié)內(nèi)容是簡單構(gòu)造抽屜的方法。
分析教材不難發(fā)現(xiàn),《鴿巢問題》從小學(xué)生身邊的生活事實出發(fā),憑借學(xué)生的經(jīng)驗和直覺,通過歸納、類比等方法推斷出“抽屜原理”,這種發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的數(shù)學(xué)思想正是《課標(biāo)》所講的合情推理。
三、 《鴿巢問題》學(xué)歷案介紹
基于《鴿巢問題》的教材分析和授課小學(xué)的學(xué)情調(diào)研,設(shè)計以下學(xué)歷案。
(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)
《鴿巢問題》中的抽屜原理是公務(wù)員考試、數(shù)學(xué)競賽中的“熟面孔”,其重要性不言而喻。那么,小學(xué)課堂應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會什么內(nèi)容?讓學(xué)生達到什么程度的“終點”?
按照美國教育心理學(xué)家加涅學(xué)習(xí)結(jié)果類型劃分理論,1“抽屜原理”屬于“智慧技能”中的規(guī)則學(xué)習(xí),規(guī)則學(xué)習(xí)強調(diào)將陳述性知識轉(zhuǎn)化成學(xué)習(xí)者的辦事規(guī)則,即:將陳述性知識轉(zhuǎn)化為程序性知識,使學(xué)習(xí)者經(jīng)歷“怎么做”的活動過程,進而理解“是什么”。2基于此,《鴿巢問題》的學(xué)習(xí)重點是經(jīng)歷“抽屜原理”的發(fā)現(xiàn)過程,理解抽屜原理的算理和本質(zhì)。通過學(xué)情調(diào)查,了解到授課班級有2~3人接觸過抽屜原因;結(jié)合教材分析,將教材第一、二兩節(jié)合并為一個課時,確定如下學(xué)習(xí)目標(biāo)。
知識與技能:理解枚舉法、平均分法的應(yīng)用過程;了解至少數(shù)的算理和計算方法;理解并能準(zhǔn)確說出抽屜原理的內(nèi)容;會用抽屜原理解決簡單的實際問題。
過程與方法:通過觀察、類比,發(fā)現(xiàn)、歸納,從現(xiàn)實情境中發(fā)現(xiàn)問題,運用不同的解決方案解決問題,并總結(jié)出抽屜原理的內(nèi)容,提高合情推理的能力。
情感態(tài)度與價值觀:通過“抽屜原理”的學(xué)習(xí)和應(yīng)用,培養(yǎng)“留心觀察、細心思考”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣,提高解決數(shù)學(xué)問題的興趣和信心,感受數(shù)學(xué)的魅力。
(二)學(xué)習(xí)過程
布魯納認知理論認為,學(xué)科內(nèi)容按照“行為表征、圖像表征、符號表征”的發(fā)展順序進行學(xué)習(xí),是最優(yōu)的發(fā)展軌跡。為此,學(xué)習(xí)過程設(shè)計如下。
1.游戲?qū)?/p>
興趣是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的內(nèi)生力量。如何既能激發(fā)學(xué)生興趣,又能突出學(xué)生主體,并照顧到全體學(xué)生?教材以5個學(xué)生抽撲克牌為例,這種方法突出趣味性,但要照顧全體學(xué)生,實施成本過高。有的老師以搶凳子游戲?qū)耄嬖谝欢ò踩[患。
為此,學(xué)歷案設(shè)計了“石頭、剪刀、布”的游戲,4人一組,老師宣布開始后,全班學(xué)生同時出手勢,之后老師說出并板書“不管哪一組,總有一種手勢至少有2個人出”。3隨后,學(xué)生再出3~4次,以驗證老師的說法。學(xué)生在玩游戲時,好奇于老師的結(jié)論并有所質(zhì)疑,老師借機引出游戲背后蘊含的“抽屜原理”。
本環(huán)節(jié)在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時,創(chuàng)設(shè)了關(guān)于抽屜原理的“行為表征”的情境,提出了待解決的核心問題:為什么“不管……總有……至少……”?
2.合作探究
考慮到學(xué)習(xí)的效率、直觀性、趣味性,課堂學(xué)習(xí)中以磁扣和圓圈為工具進行活動設(shè)計。本環(huán)節(jié)的核心問題為“將4個磁扣放進3個圓圈內(nèi),一共有幾種擺放方法?”該問題本質(zhì)是“石頭、剪刀、布”游戲的變式,它將行為問題變式為數(shù)學(xué)語言形式的問題。
針對該問題,要求學(xué)生按小組合作學(xué)習(xí),不限制學(xué)生解決問題的方法。預(yù)設(shè)的解決方法有枚舉法(包括畫圖法和算式法)、平均分法,另外考慮到有個別學(xué)生參加過課外輔導(dǎo)班,增加反證法和公式法。endprint
本環(huán)節(jié)通過小組合作學(xué)習(xí)和結(jié)果展示,將數(shù)學(xué)語言問題用“圖像表征”形式進行解決,其中,畫圖枚舉法、平均分法、反證法都屬于“圖像表征”的方法,算式枚舉法和公式法屬于簡單的“符號表征”方法。同時,不同的解決問題的方法開闊了學(xué)生的思路。
3.舉一反三:用“符號表征”總結(jié)規(guī)律
圍繞上一環(huán)節(jié)的問題模式,本環(huán)節(jié)通過舉一反三的方法設(shè)計問題和學(xué)習(xí)活動。一是“磁扣數(shù)量和圓圈數(shù)量同時加1個”(這種情況是第一抽屜原理的原理1);二是“增加磁扣數(shù)量,圓圈數(shù)量不變”;三是“增加圓圈數(shù)量,磁扣數(shù)量不變”(二和三是第一抽屜原理的原理2)。
設(shè)計和開展這種“變化”的活動,目的是使學(xué)生不斷經(jīng)歷觀察、質(zhì)疑、猜想、驗證、類比、歸納的過程,最終能夠用“符號表征”準(zhǔn)確表達抽屜原理的“至少數(shù)公式”。
(三)評價任務(wù)
本學(xué)歷案微課教學(xué)中,有老師提出“抽屜原理雖然很重要,但有什么實際價值”的問題,《課標(biāo)》提出“數(shù)學(xué)是日常生活中的數(shù)學(xué)”的理念,為此,設(shè)計如下課堂檢測性作業(yè)。
1.13個人中至少有2個人是同一個月生日,為什么?
2.現(xiàn)在非常流行用星座測性格,用星座測運勢,你們信嗎?為什么?全國13億人中,至少有多少人是同一星座?
第一道題結(jié)合學(xué)生自身情況現(xiàn)身說法,很有親切感,其中的數(shù)字數(shù)量級較小便于計算和驗證。第二道題是小學(xué)生比較感興趣的話題,用抽屜原理解決該問題可以發(fā)現(xiàn)有很多人是同一星座,他們的“性格和運勢是一樣的”顯然不合理。因此,星座測性格和運勢是不科學(xué)的。
通過課堂的評價,不僅檢驗了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,同時將“抽屜原理”回歸生活應(yīng)用,提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
(四)反思
《鴿巢問題》學(xué)歷案經(jīng)過一次微課模擬授課和兩次小學(xué)實際授課。通過授課發(fā)現(xiàn)存在一些問題,出現(xiàn)于將教材的一、二小節(jié)合并為一個課時進行授課時。本學(xué)歷案之所以這么設(shè)計,是因為在授課小學(xué)的學(xué)情調(diào)研中發(fā)現(xiàn),約10%的學(xué)生參加課外輔導(dǎo)班時接觸過相關(guān)知識;合并授課可以讓課堂學(xué)習(xí)更加緊湊,但不利于學(xué)生的認知和接受,這種合并授課的學(xué)歷案設(shè)計并不通用。
四、發(fā)展合情推理的策略
通過《鴿巢問題》學(xué)歷案教學(xué)與反思,筆者認為學(xué)歷案教學(xué)模式與發(fā)展學(xué)生合情推理的路徑不謀而合,同時,發(fā)展合情推理可遵循一定的策略。
第一步,情境問題化。即通過學(xué)歷案活動設(shè)計創(chuàng)設(shè)一定的情境,這種情境應(yīng)遵循趣味性、與教學(xué)的相關(guān)性、操作的便利性原則;在真實的情境中,或預(yù)設(shè)生成學(xué)習(xí)的核心問題。
第二步,問題數(shù)學(xué)化。即將第一步的情境問題通過“關(guān)聯(lián)、遷移、類比”等方法,變式為真正的數(shù)學(xué)問題,將研究鎖定在數(shù)學(xué)內(nèi)部。
第三步,數(shù)學(xué)符號化。 即憑借經(jīng)驗和直覺,將數(shù)學(xué)問題通過“行為表征→圖像表征→符號表征”的三次表征、兩次抽象,經(jīng)歷歸納和類比等過程,運用數(shù)學(xué)符號推斷出結(jié)果并解決問題。
發(fā)展學(xué)生的合情推理能力,不局限于上述固定的策略與步驟,由于實際教學(xué)的多樣性,我們應(yīng)因地制宜、靈活運用。
(北京聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院 100011)endprint