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(建湖高級中學(xué),江蘇 建湖 224700)

揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)培養(yǎng)思維能力*
——以“高考中多元變量的最值和范圍問題”為例

●張立建潘培彬沈立國

(建湖高級中學(xué),江蘇 建湖 224700)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是幫助學(xué)生形成理性邏輯思維、發(fā)展學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識． 數(shù)學(xué)教學(xué)要“授人以漁”，揭示數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)，幫助學(xué)生掌握解決問題的方式、方法，從而提高學(xué)生自身的知識水平和認(rèn)知能力，形成自己的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)．

三角形中的最值與范圍問題; 多元最值; 學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

高考注重對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法以及基本經(jīng)驗積累的考查，加強了對理性思維的考查，突出對數(shù)學(xué)的理解以及創(chuàng)新應(yīng)用能力的考查．既注重知識與能力，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)；既注重思想方法，又突出創(chuàng)新意識；既注重選拔功能，又兼顧中學(xué)教學(xué)．高三復(fù)習(xí)要在學(xué)生有一定的基礎(chǔ)和思維知識體系后設(shè)計專題復(fù)習(xí)，從而培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的.

1 基本情況

1.1 學(xué)情分析

學(xué)生是江蘇省四星級高中高三學(xué)生，思維較好.學(xué)生經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)和綜合訓(xùn)練，知識體系已經(jīng)形成，解題經(jīng)驗豐富，如在三角變換、正余弦定理、函數(shù)思想、線性規(guī)劃、幾何意義等方面都有了“量”的積累.但信息量大、字母多、式子煩、難度大、綜合性強的題目，學(xué)生“分析問題、發(fā)現(xiàn)聯(lián)系、確立目標(biāo)、解決問題”的能力還沒有形成.

1.2 教材分析

三角形中的最值和范圍問題及多元變量的最值問題是高考的熱點之一，多為壓軸題.此類問題兼具知識的綜合性、思想方法的一般性、形式的靈活性，能較好地考查基礎(chǔ)知識、基本方法和基本能力，及學(xué)生對知識的綜合應(yīng)用能力和遷移能力，具有很強的選拔功能.因此，筆者選擇本課題進(jìn)行學(xué)習(xí)和探究，以提高學(xué)生解決問題的能力.

1.3 教學(xué)目標(biāo)

1)掌握三角形中二元、三元最值和范圍問題的解法；2)建立多元目標(biāo)意識，掌握多元最值問題的求解策略；3)體會數(shù)學(xué)解題中的整理，由整理實現(xiàn)內(nèi)化,由拓展實現(xiàn)知識的整合與串聯(lián)，提高綜合應(yīng)用能力.

教學(xué)重點多(三)元變量最值或范圍問題.

教學(xué)難點形成數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力，提高對數(shù)學(xué)實質(zhì)的認(rèn)識.

2 教學(xué)過程

2.1 引例

提出本節(jié)課要解決的問題，即高考中的多元問題.

例1在銳角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是______.

(2016年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第14題)

(2010年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第12題)

(2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第14題)

(2014年遼寧省數(shù)學(xué)高考試題第16題)

2.2 練一練

“基礎(chǔ)訓(xùn)練，追本溯源”是鞏固三角形中二元最值和范圍問題的基本策略，明確該類問題在方法、數(shù)學(xué)思想等方面的實質(zhì)，為解決多元變量問題作好鋪墊.

(2014年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第14題)

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第13題)

2.3 悟一悟

三角形中的最值和范圍主要是關(guān)于邊、角、面積的范圍和最值問題.例5由外接圓直徑易想到正弦定理，從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題；例6由齊次式易得邊的關(guān)系，由目標(biāo)函數(shù)想到余弦定理，實現(xiàn)條件和目標(biāo)的串聯(lián)，順理成章，消元后根據(jù)平方和結(jié)構(gòu)，自然想到基本不等式放縮；例7學(xué)生很容易想到下面的解法1，即建立邊的一元函數(shù)，求最值，但運算量大.解法2(即利用圓的第二定義)不容易想到，需要一定的知識和能力儲備.

通過基礎(chǔ)訓(xùn)練，學(xué)生自行歸納得出解決三角形中最值或范圍問題的方法主要有兩類：1)代數(shù)法，函數(shù)思想、二元基本不等式放縮等；2)幾何法，平面幾何(三角形任意兩邊之和大于第三邊)、解析幾何(幾何意義、線性規(guī)劃).下面對例7進(jìn)行詳解：

解得

由余弦定理,得

于是

解法2(解析法)以線段AB所在直線為x軸、線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-1,0),B(1,0).設(shè)點C(x,y)，則

化簡得

(x-3)2+y2=8(其中x≠0)，

2.4 自主探究，讓學(xué)引思

設(shè)計意圖將三角形中的二元問題上升為三元問題，突出減元化為二元問題的指導(dǎo)思想.

例8在銳角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是______.

(2016年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第14題)

設(shè)計意圖由練一練中的三角形二元問題過渡到三角形中三元變量問題，比較自然.關(guān)鍵是解題思路的啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生建立消元的意識，消元轉(zhuǎn)化為二元最值問題，再用代數(shù)方法、函數(shù)思想或基本不等式求最值.

分析本題是三元變量問題，消元并運用轉(zhuǎn)化思想化為一元、二元為主要策略.

問題1先說條件，由sinA=2sinBsinC，能想到什么？(直覺思維.)

生：第一直覺應(yīng)該是應(yīng)用正弦定理，但結(jié)構(gòu)不對稱，同時目標(biāo)函數(shù)tanAtanBtanC無法用邊表示.

追問：還有怎樣的認(rèn)識？(分析、聯(lián)想.)

生：有3個角，需消元，想到內(nèi)角和定理，利用sinA=sin(B+C)化簡sinA=2sinBsinC可得

sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

再結(jié)合目標(biāo)，弦化切，齊次結(jié)構(gòu)同除以cosBcosC可得

tanB+tanC=2tanBtanC.

問題2再看目標(biāo)，由tanAtanBtanC的最小值想到什么？

生：消元轉(zhuǎn)化為二元目標(biāo)函數(shù)，再求二元最值，預(yù)示著兩個解題方向:1)函數(shù)最值;2)基本不等式.

(學(xué)生做題，教師投影學(xué)生的答題情況.)

問題3本題與練一練中例5和例6有何聯(lián)系？

解法1因為sinA=2sinBsinC，sinA=sin(B+C)，所以

sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

兩邊同除以cosBcosC,得

tanB+tanC=2tanBtanC.

(此時問題轉(zhuǎn)化為二元變量最值問題.求解二元最值問題是學(xué)生比較熟悉的，因此他們的思維比較活躍，角度不同、理解不同，解法精彩.觀察到和式tanB+tanC與積式tanBtanC及關(guān)系tanB+tanC=2tanBtanC，可消去和式，將積式看作自變量.)

當(dāng)且僅當(dāng)t=2時，等號成立.故所求的最小值為8.

解法2(切化弦)由sinA=2sinBsinC，知

因為 cosA= -cos(B+C)=

-cosBcosC+sinBsinC，

當(dāng)且僅當(dāng)tanA=4時，等號成立.

師：以上方法都是消元的方法，還有其他不同的見解嗎？

生：解法3由解法1得

tanB+tanC=2tanBtanC，

從而目標(biāo)函數(shù)

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=

tanAtanBtanC≥8.

問題4你有什么收獲？

生：先追本溯源，看清是哪類問題.分析結(jié)論建立目標(biāo)意識，結(jié)合條件，聯(lián)想發(fā)散，找到之間的聯(lián)系，獲得解題途徑.

師：非常好！我們要學(xué)會解決問題的方法，學(xué)會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的實質(zhì).

點評本題的核心是如何消元，常見的消元方法有：整體換元、齊次結(jié)構(gòu)化為整體、代入消元.

下面小組合作，解決例9.

例9在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若a2+b2+2c2=8，則△ABC面積的最大值為______．

(江蘇省鹽城市2017屆高三一模試題第14題)

分析以下解法1由平方和入手，想到余弦定理；解法4由平方和想到圓的方程.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.于是

平方得

解法3由三角形面積公式可得

即

亦即

因為a2+b2+2c2=8，所以

a2+b2=8-2c2，

解法4取線段AB的中點為原點、線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(-m,0),B(m,0),C(x,y),則

8m2+(x-m)2+y2+(x+m)2+y2=8，

化簡得

x2+y2+5m2=4.

于是由基本不等式得

故

點評學(xué)生容易想到的方法，主要是解法1和解法3，其實質(zhì)是化為邊的函數(shù)；解法2主要利用角，化為三角函數(shù)，這也是三角形問題的基本處理方式.

2.5 拓展延伸

由特殊到一般，將三角形中多元變量的解題思想和解題方法，應(yīng)用到一般情形，從而真正幫助學(xué)生實現(xiàn)思維的跨越，達(dá)成自己分析條件、建立目標(biāo)、轉(zhuǎn)化化歸(消元)、求解(解模)的能力.

(2010年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第12題)

分析本題實際上是二元不等關(guān)系下二元函數(shù)的最值問題.若注意到已知條件的同正同向性，則可換元，利用不等式的性質(zhì)(正項不等式的同向可乘性)求解.若注意到已知條件的次數(shù)，則可取對數(shù)將已知條件轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，用線性規(guī)劃求解.

從而

解法2由題意得x,y是正數(shù)，已知條件取對數(shù)得

令a=lgx，b=lgy,則問題轉(zhuǎn)化為已知實數(shù)a,b滿足

求3a-4b的最大值.下面用線性約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解(略).

2.6 小結(jié)

1)指導(dǎo)思想：多元化二元；2)消元的方法：常用的消元法有代入消元、整體換元、三角換元、選主元等，特別注意齊次分式和齊次多項式，還有和式、積式、平方和的結(jié)構(gòu)關(guān)系以及公式的幾何意義；3)選擇求值或范圍的方法主要有：建立函數(shù)、利用基本不等式放縮、利用方程的判別式、利用動點的軌跡、利用斜率與距離的幾何意義、利用類線性規(guī)劃.

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)設(shè)計的基本立意

本節(jié)課的目標(biāo)：一是引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識“連珠編網(wǎng)”，學(xué)會分析與整合，完成“知識的遷移”；二是掌握探究問題的方式和提高知識遷移、綜合應(yīng)用的能力.

本節(jié)課的一條明線：三角形中的二元最值和范圍問題—三角形中的三元問題—一般情形中的多元最值和范圍問題.一條暗線：解法上，從代數(shù)方法(函數(shù)、方程、不等式、解析幾何)到幾何方法(數(shù)形結(jié)合、線性規(guī)劃、幾何意義).

解題途徑：一方面，樹立目標(biāo)意識，尋找問題本源，看透數(shù)學(xué)實質(zhì)，回憶解題通法；另一方面，要注重問題的分析、條件的轉(zhuǎn)化，作好知識的串聯(lián).

3.2 教學(xué)反思

1)立足學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，從學(xué)生熟悉的三角形中二元最值問題的解決策略引出本節(jié)課.學(xué)生較熟悉，題目易求解，起點低，學(xué)生易融入課堂.

2)突出學(xué)生的主體地位，激發(fā)學(xué)生的探索精神.

在一節(jié)課中，學(xué)生的發(fā)展來自于自己的積極思考與主動探究，取決于自己對知識的認(rèn)識深度、廣度和探究過程中問題的參與度.本節(jié)課的安排循序漸進(jìn)，由易到難，由簡及繁，由淺入深，呈螺旋式上升，有利于激發(fā)學(xué)生的探究興趣，激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，最大限度地拓展學(xué)生思維的廣度和深度.

3)重視知識生成，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.

本節(jié)課學(xué)生入手容易，解決方法多，采用“頭腦風(fēng)暴法”，激發(fā)創(chuàng)新思維;從基礎(chǔ)出發(fā)產(chǎn)生聯(lián)想反應(yīng)，形成思維碰撞;在平等的氣氛中，集體討論，相互感染激發(fā)興趣，讓每個學(xué)生都得到不同程度的提高.

4)本節(jié)課“生長點”的再利用.本節(jié)課容量大，因此后續(xù)知識可以由學(xué)生自主探究完成.

5)運用多種數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程.

本節(jié)課培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和探究精神，提高了學(xué)生分析、綜合、應(yīng)用等能力.

2017-08-21

張立建(1982-)，男，山東青州人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003 - 6407(2017)11-01-05