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(北侖明港中學，浙江 寧波 315806)

2017年全國數(shù)學高考卷Ⅱ第23題的11種證法及其感悟*

●甘大旺

(北侖明港中學，浙江 寧波 315806)

文章指出2017 年全國數(shù)學高考卷Ⅱ第23 題第2) 小題的測試區(qū)分度較強，探究此題不同于參考答案的其他 11 種證法，其中簡述兩個數(shù)學史結(jié)論，最后因勢利導地得出3 個概括、深化、類比的定理．

排序不等式; 切比雪夫不等式; 琴生不等式; 拉格朗日乘數(shù)法

2017年全國數(shù)學高考卷Ⅱ由21道必考題和兩道選考題構(gòu)成，其中理科卷和文科卷的最后一道選考題(即全卷最后一題)是相同的，即：

題目已知a>0，b>0，a3+b3=2，證明：

1) (a+b)(a5+b5)≥4；

2)a+b≤2.

第1)小題比較簡單，第2)小題對考生的測試區(qū)分度明顯強于第1)小題.命題組提供第2)小題的證明思路是展開(a+b)3后運用均值不等式，這屬于通法[1].下面探索第2)小題的其他11種證法.

證法1要證明a+b≤2，只要證

23≥(a+b)3=a3+b3+3(a2b+ab2),

即

8≥2+3(a2b+ab2)，

亦即

a2b+ab2≤2=a3+b3，

即

(a-b)2(a+b)≥0.

由a>0且b>0,知上式顯然成立，故

a+b≤2.

證法2將方法1(分析法)改寫成反證法.

假設(shè)a+b>2，則

23<(a+b)3=a3+b3+3(a2b+ab2)，

即

8<2+3(a2b+ab2)，

亦即

8<2+3(a2b+ab2)，

從而

a2b+ab2>2=a3+b3，

移項分解，得

-(a-b)2(a+b)<0，

于是

a+b<0，

這與已知條件a>0，b>0矛盾.因此假設(shè)不成立，故a+b≤2.

證法3假設(shè)a+b>2，即b>2-a，則

b3>(2-a)3=8-12a+6a2-a3.

又a3+b3=2，從而

2>8-12a+6a2=2+6(1-a)2，

于是

0>(1-a)2，

這是自相矛盾的.因此，假設(shè)不成立，故a+b≤2.

證法4由a>0,b>0,得

0<4ab≤(a+b)2，

從而 2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=

(a+b)[(a+b)2-3ab]≥

于是

(a+b)3≤8，

故

a+b≤2.

證法5不妨取0

ab2+ba2≤a·a2+b·b2=a3+b3.

又2ab≤a2+b2(均值不等式)，從而

(a+b)3= (a2+2ab+b2)(a+b)≤

2(a2+b2)(a+b)=

2(a3+b3+ab2+a2b)≤

2(a3+b3+a3+b3)=

4(a3+b3)=8,

故

a+b≤2.

預備知識1[2]俄國數(shù)學家切比雪夫在代數(shù)學上提出一個不等式：

(其中a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3…≤bn，n-1∈N+，兩處“≤”取到等號的充要條件是a1=a2=a3=…=an且b1=b2=b3…=bn).

證法6不妨取0

(a+b)3= (a+b)(a+b)(a+b)≤

2(a2+b2)(a+b)=4(a3+b3)=8,

故

a+b≤2.

證法7取函數(shù)f(x)=x3(其中x>0)，則一階導數(shù)f′(x)=3x2，二階導數(shù)f″(x)=6x>0，從而f(x)在(0,+∞)內(nèi)上凹.運用琴生不等式得

從而

故

a+b≤2.

證法8由a3+b3=2(其中a>0且b>0)解得

從而

則

故

a+b≤2.

則

圖1

在圖1所示的直角坐標系aOb中，函數(shù)b=g(a)的圖像，即曲線段a3+b3=2(其中a>0且b>0)關(guān)于直線b=a對稱，于是該曲線段與平行直線系a+b=m(其中m為截距參數(shù))有公共點的充要條件是

故

a+b≤2.

證法10根據(jù)已知條件作均值代換a3=1-x,b3=1+x(不妨設(shè)a≤b而取0≤x<1)，則

因此，函數(shù)h(x)在定義域[0,1)上單調(diào)遞減，即

故

a+b≤2.

預備知識2[3]為了探求二元函數(shù)f(x,y)在約束條件φ(x,y)=0下的極值點，出生于意大利的法國數(shù)學家拉格朗日借用偏導數(shù)發(fā)現(xiàn)了“乘數(shù)法”——如果二元函數(shù)f(x,y)在約束條件φ(x,y)=0下連續(xù)并存在偏導數(shù)，取函數(shù)L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，那么目標函數(shù)f(x,y)的所有極值點(x0,y0)適合于方程組

證法11依題意，不妨取拉格朗日函數(shù)L(a,b)=a+b+λ(a3+b3-2)，其中a>0且b>0，則列方程組

消去乘數(shù)λ,解得a=b=1.

此時，二元函數(shù)u(a,b)=a+b的唯一極值是

a+b=1+1=2.

于是，運用拉格朗日乘數(shù)法知，2是a+b的最大值，故a+b≤2.

回眸上述題意及證題思路，得到以下3個定理：

定理1如果兩個正數(shù)a與b滿足an+bn=c，其中兩個常數(shù)c>0,n∈N+且n≥2，那么

當a=b時，上述不等式取到等號.

進一步推廣定理1的結(jié)論，可以驗證得到：

定理2如果兩個正數(shù)a與b滿足am+bm=c，其中兩個常數(shù)c>0,m>1，那么

當a=b時，上述不等式取到等號.

對定理2進行類比思考，可以得到：

定理3如果兩個正數(shù)a與b滿足am+bm=c，其中兩個常數(shù)c>0,m∈(0,1)，那么

當a=b時，上述不等式取到等號.

[1] 甘大旺.通法與特技的相對性及啟示[J].數(shù)學通報，1997(2)：11-12.

[2] 甘大旺.切比雪夫不等式及其兩個推論[J].數(shù)學通訊,2016(12)：59-61.

[3] 甘大旺.拉格朗日乘數(shù)法的初等應(yīng)用[J].寧波教育學院學報，2017,19(1)：134-137.

2017-09-08

甘大旺(1959-)，男，湖北咸寧人，湖北省特級教師.研究方向：數(shù)學教育.

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