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(灌南縣第二中學(xué)，江蘇 連云港 222500)

回歸教材尋題根深度學(xué)習(xí)悟本質(zhì)*
——一堂高三試題探究活動課的實錄與思考

●任衛(wèi)兵

(灌南縣第二中學(xué)，江蘇 連云港 222500)

文章通過一道高三模擬試題的講評，引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)迎考的過程中重視“回歸教材，尋找題根”． 遇到與教材典型例題、習(xí)題有關(guān)，而又思路不暢的問題時，應(yīng)及時翻出教材，尋找類似例習(xí)題中所蘊涵的豐富的數(shù)學(xué)思想和方法． 通過回歸教材進(jìn)行內(nèi)源性地深度學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

試卷講評; 回歸教材; 深度學(xué)習(xí); 數(shù)學(xué)素養(yǎng)

0 引言

試卷講評是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的一個重要組成部分.它不僅可以檢查學(xué)生對所學(xué)知識的結(jié)構(gòu)的掌握是否完善，分析問題、解決問題、計算能力是否過關(guān)，也能發(fā)現(xiàn)教師本身在教學(xué)中的不足之處，進(jìn)行自我反思，不斷改進(jìn)教學(xué)策略[1].筆者在多年的教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)試卷講評課容易出現(xiàn)以下3個問題：

1)忽視學(xué)生的主體性.有些教師在講評課前，忽視學(xué)生的課前自我訂正和自我反思；講評課時，教師從頭講到尾，缺少學(xué)生的交流與展示，忽視了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體.

2)講評缺乏針對性.有些教師在講評課前既不作學(xué)生答題情況的統(tǒng)計，也不作錯誤原因根源的分析.試卷講評時，學(xué)生沒搞清的問題一點而過，不需要多講的地方卻花很多的時間，學(xué)生只是在機械地記答案，缺乏激情，這樣浪費了學(xué)生的學(xué)習(xí)時間也挫傷了學(xué)習(xí)積極性，收益甚微.

3)缺少方法指導(dǎo)與思維提升.有些教師在講評課上只是將正確的答案或解法告訴學(xué)生，卻沒有告知學(xué)生應(yīng)從哪幾方面進(jìn)行解題思路的分析、用什么樣的思維去思考，更談不上挖掘試題的根與源、概括題目背后的數(shù)學(xué)思想方法.

怎樣才能提升試卷講評課的復(fù)習(xí)效果呢？筆者一直進(jìn)行著嘗試與思考，結(jié)合近日的一次模擬考試試題講評課，整理成文，與同行交流，不當(dāng)之處敬請指正.

1 課前準(zhǔn)備

(2017年5月江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)4市高三數(shù)學(xué)第3次模擬考試第14題)

通過閱卷反饋，本題學(xué)生的得分率非常低，48人參加考試，只有1人得分.為了了解學(xué)生對本題的主觀認(rèn)識、解題中的思考過程、學(xué)生的失分根源，筆者與學(xué)生進(jìn)行了一次課前談話，分配了學(xué)習(xí)小組并布置了相關(guān)任務(wù)：

1)如果這道題目你做出來了，請你還原考試時的解題過程，并談?wù)勛约旱南敕ǎ?/p>

2)如果你在解題過程中遇到障礙，請從教材中找一個曾經(jīng)解決過的類似的題目，并嘗試解決障礙.

2 課堂實錄

師：同學(xué)們，模擬試卷第14題我們班的得分率非常低，只有1位同學(xué)做對了.下面先請這位做對的同學(xué)說一說解題思路.

生1：我是猜的.

師：能猜出正確答案也是一種本事，能說說你是怎么猜的嗎？

師：生1是通過“a與2b的輪換對稱性”直覺猜測當(dāng)a=2b時，目標(biāo)取到最小值.直覺思維體現(xiàn)的也是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng).但是猜想有可能出現(xiàn)錯誤，我們可以嘗試用其他方法來驗證生1的猜測嗎？哪位同學(xué)有不同的想法？

得

即

ab≥8，

當(dāng)且僅當(dāng)ab=8，即a=4,b=2時，上述不等式取到等號.

生3：受生2思路的啟發(fā)，可以先求a+2b的范圍,具體解法如下(思路3)：

師：生2、生3都是通過對已知條件進(jìn)行變形，得到ab=a+2b，在教材中尋找到它的“根”，運用基本不等式求出ab或a+2b的取值范圍，再利用基本不等式或者二次函數(shù)求得目標(biāo)式子的最小值.當(dāng)我們遇到難以解決的問題時，“尋根”很重要.

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，即a=4,b=2時，取到等號.

生5：生4的思路4可以改進(jìn)(思路5)：

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，即a=4,b=2時，取到等號.

師：很好！生4和生5找到了本題的第二個“根”，考慮“1的代換”，但是怎么想到“分式乘以12”的呢？

生5：為了構(gòu)造齊次式，以實現(xiàn)基本不等式“二定”這個條件.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取到等號.具體解法如下(思路6)：

從而

于是

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，即a=4,b=2時，取到等號.

從而

當(dāng)且僅當(dāng)m=n，即a=4,b=2時，取到等號.

由ab-a-2b=0，得

當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2時，取到等號.

生10：生9的解法也可以這樣處理(思路10)：

當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2時，取到等號.

生11：我用消元法消去字母a(思路11)：

由ab-a-2b=0，得

令b-1=m，則b=m+1,從而

當(dāng)且僅當(dāng)m=1，即a=4,b=2時，取到等號.

師：生9、生10、生11都由教材得到本題的第4個“根”，然后用消元法將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，再利用基本不等式和權(quán)方和不等式求得最小值.還有其他想法嗎？

生12：我想起第二次模擬考試第14題用到的“切線放縮法”(思路12)：

a+2b≥8，

所以

2a+4b-9≥2×8-9=7,

當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2時，取到等號.

生13：我用的是“切線放縮法”加“1的代換”(思路13)：

2a+4b-9=

當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2時，取到等號.

師：生12和生13聯(lián)想到第二次模擬考試第14題，利用“切線放縮法”將二次式放縮為一次式，進(jìn)而利用“基本不等式”或“1的代換”求得最小值.

生14：本題的目標(biāo)是求最小值，而我們常利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值(思路14)：

先消元：由ab-a-2b=0，得

令f′(a)=0,得a=0(舍去)或a=4.當(dāng)a∈(2,4)時，f′(a)<0，f(a)單調(diào)遞減；當(dāng)a∈(4,+∞)時，f′(a)>0，f(a)單調(diào)遞增,從而

f(a)min=f(4)=7，

此時a=4,b=2.

師：生14是從本題的目標(biāo)入手，尋找到了本題的第5個“根”：求最值.想到消元，構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)這個工具來求函數(shù)的最小值，非常巧妙.通過上面的分析，你能學(xué)到些什么呢？

生15：當(dāng)我們遇到一個難以下手的題目時，首先要分析題目的條件，看看條件可以如何轉(zhuǎn)化；其次再分析題目的所求，看看有什么相應(yīng)的方法；再分析本題所考查知識點所屬的模塊，聯(lián)想本知識點常用的解題思路和方法.

師：一位蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家說過：解題——意味著將要解的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的問題.生15總結(jié)得非常好，當(dāng)拿到一個較難的題目時，我們可以從3個角度進(jìn)行思考：條件、目標(biāo)、所屬知識模塊，最終都將回到我們曾經(jīng)解答過的問題，尤其是熟悉的教材、練習(xí)冊以及考試做過的題目等等.“條條大路通羅馬”，只要我們不氣不餒，回歸教材，總能尋找到題目的“根”，從而找到解決問題的方法.

師：最后給同學(xué)們準(zhǔn)備了幾道題供課后去思考.相信同學(xué)們通過今天的探究活動，會有更多的收獲.

課后思考題：

4.已知a,b,m,n均為正數(shù)，且a+b=1，mn=2,求(am+bn)(bm+an)的最小值.

3 課后反思

3.1 回歸教材尋題根

回歸教材怎么回？教材是考試內(nèi)容的具體化，是高考試題的主要來源之一，由針對性原則可知，回歸教材是提升復(fù)習(xí)效率的有效手段[2].很多學(xué)校都是在高考前留兩周的時間，教師跟學(xué)生一起翻教材、看例題和習(xí)題.這樣的回歸教材是低效的，筆者認(rèn)為回歸教材應(yīng)該貫穿在整個高三復(fù)習(xí)的始終.在復(fù)習(xí)的過程中，一旦遇到與教材典型例習(xí)題有關(guān)，而學(xué)生又掌握不佳的問題時，就應(yīng)該翻出教材，及時發(fā)現(xiàn)教材例習(xí)題中所蘊涵的豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.要探究試題與教材例習(xí)題的結(jié)合點，善于在教材中尋找試題的原型，通過分解、整合、拓展，引導(dǎo)學(xué)生在變化中發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律，避免學(xué)生機械重復(fù).一些看似平淡無奇的習(xí)題，也許有著意想不到的功能，教材中的習(xí)題若僅停留在它的表面，而不探究它的本質(zhì)，則會失去習(xí)題的內(nèi)涵與新意，也會失去提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力的良機，不利于教學(xué)的開展與深入.

題根是什么？題根就是那些源于基礎(chǔ)又高于基礎(chǔ)，提煉于解題實踐又能廣泛用于解題實踐的結(jié)論、習(xí)題、例題、各類試題[3].通過對題根的挖掘和思考，可以清楚地掌握基本知識和方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而有助于脫離“茫茫題?！?，“一題可破萬題山”.在平時的解題訓(xùn)練中，若能重視題根及其應(yīng)用，則能舉一反三，跳出題海，并提高解題能力.著名數(shù)學(xué)家蘇步青曾說:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索.先知其然，然后知其所以然.”教師要在平時的教學(xué)中重視教材，教材中有大量值得教師與學(xué)生一起探究與學(xué)習(xí)的材料(包括題根)，教師應(yīng)充分利用這些資源，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究，做到觸類旁通、心中有數(shù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在探究中提高基本技能.

3.2 深度學(xué)習(xí)悟本質(zhì)

深度學(xué)習(xí)是學(xué)生源于自身內(nèi)部動機,對有價值的學(xué)習(xí)內(nèi)容展開的完整的、準(zhǔn)確的、豐富的、深刻的學(xué)習(xí).它是一種有意義的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生的學(xué)習(xí)不是單純的接受，而是在發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的同化；它也是一種理解性的學(xué)習(xí)，重在引導(dǎo)學(xué)生通過深切的體驗和深入的思考，達(dá)成對學(xué)科本質(zhì)和知識意義的理解滲透[4].深度學(xué)習(xí)提倡將新知識與已知概念和原理聯(lián)系起來，整合到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而引起對新的知識信息的理解、長期保持及遷移應(yīng)用[5].深度學(xué)習(xí)是內(nèi)源性的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生積極主動地參與到課堂教學(xué)活動中，學(xué)生的學(xué)習(xí)才有可能是有深度的，也只有學(xué)生深度學(xué)習(xí)，才可能促進(jìn)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng).準(zhǔn)確把握學(xué)情和深刻解讀教材就顯得尤為重要，因為它們是引導(dǎo)深度學(xué)習(xí)的基點.

德國教育家第斯多惠指出：“不好的老師轉(zhuǎn)述真理，好的老師教學(xué)生去發(fā)現(xiàn)真理.”有效的教學(xué)活動應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過動手實踐、自主探索，達(dá)到葉圣陶所說的“教是為了不教”的境界，最終的目的是使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的精髓，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

[1] 謝永廣.試卷講評課的教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017(4)：20-22.

[2] 劉國祥.探究·溯源·拓展·啟迪[J].中國數(shù)學(xué)教育，2017(3)：51-53；56.

[3] 藍(lán)云波.兩道試題，同一題根[J].數(shù)學(xué)通訊，2015(12)：30-32.

[4] 賀慧.回歸課堂原點的深度學(xué)習(xí)論[J].基礎(chǔ)教育課程，2015(12)：8-13.

[5] 安富海.促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)策略研究[J].課程·教材·教法，2014(11)：57-62.

2017-09-10

任衛(wèi)兵(1983-)，男，江蘇連云港人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003 - 6407(2017)11-19-05