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(蕭山中學(xué),浙江 杭州 311200)

對(duì)三角形“四心”向量表示的思考*

●金燦芳

(蕭山中學(xué),浙江 杭州 311200)

三角形中重心、內(nèi)心、外心、垂心的向量表示是高考復(fù)習(xí)的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，值得我們關(guān)注． 文章通過向量加法的平行四邊形法則以及正弦定理，總結(jié)了解決此類問題的通法，并揭示了解決數(shù)學(xué)問題要淡化技巧，注重本質(zhì)．

向量; 正弦定理; 心; 本質(zhì)

在日常生活中，一條大路的盡頭會(huì)有很多分岔，有各自的風(fēng)景.而數(shù)學(xué)中，幾個(gè)看似獨(dú)立的題目，其本質(zhì)可能是一樣的，可以從同一個(gè)角度去解釋.

1 問題展現(xiàn)，解決問題

( )

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

高一學(xué)生拿到該題，大多毫無頭緒，困難很大.學(xué)生樂于見到另一種形式的題，見變式1和變式2.

下面我們來解決例1：先排除重心和內(nèi)心，將已知式變形為

圖1

2 探究問題,挖掘聯(lián)系

已經(jīng)有了3個(gè)“心”的表達(dá)方式，那么垂心是否有類似的表達(dá)呢？

例2的答案正是垂心.下面探討的是兩個(gè)例題和兩個(gè)變式之間的聯(lián)系，是否有統(tǒng)一解法？

如圖2，過點(diǎn)A作直線與AP所在的直線垂直，在AB,AC上分別取點(diǎn)E,F，使得

圖2 圖3

兩個(gè)變式也可以從以下角度解釋:在變式2中，

在變式1中，

圖4

于是 |AB|sinα=|AC|sinβ，

進(jìn)一步可得

|AB|·|AP|sinα=|AC|·|AP|sinβ,

即

S△ABP=S△ACP,

因此點(diǎn)P在BC的中線上，AP過△ABC的重心.

上述通法對(duì)變式1來說有點(diǎn)繁瑣.下面看例2：

即

以上均是以AP為對(duì)角線構(gòu)造平行四邊形，通過正弦定理得到關(guān)于α,β的等式，從而確定AP過什么心，至此三角形的4個(gè)“心”的向量表達(dá)式得到了完美的統(tǒng)一.

圖5

3 運(yùn)用通法，巧妙解題

解由題意得

如圖5，作出相應(yīng)的平行四邊形，在△AEO和△ABC中利用正弦定理，得

因?yàn)辄c(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心(設(shè)⊙O的半徑R),所以

故

m=sinθ.

本題利用三角形的外心，構(gòu)造相應(yīng)的平行四邊形性質(zhì)，通過正弦定理聯(lián)系各個(gè)變量，順利解決問題.

4 深入本質(zhì)，詮釋巧合

我們?cè)賮砜磧傻勒憬?shù)學(xué)高考試題：

例4已知平面向量α,β(其中α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

這兩道題咋一看沒什么聯(lián)系，其實(shí)題干條件都是向量的線性運(yùn)算，結(jié)論都是求邊的范圍，因此這兩道題考查的本質(zhì)是一樣的：向量線性運(yùn)算的幾何意義和正弦定理的應(yīng)用.

大多數(shù)教師在復(fù)習(xí)時(shí)都會(huì)強(qiáng)調(diào)“抓住本質(zhì)”，那么在實(shí)際的操作中，我們應(yīng)該怎么做呢？其實(shí)本質(zhì)就蘊(yùn)含在概念、性質(zhì)、結(jié)論等的發(fā)生處.數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷、論證的重要依據(jù)，概念學(xué)習(xí)的核心任務(wù)就是要體會(huì)概念產(chǎn)生、發(fā)展的過程，理解概念的本質(zhì)[2].有些數(shù)學(xué)概念或結(jié)論可能需要物理背景幫助理解，比如向量和向量的數(shù)量積；有些需要直觀的動(dòng)畫學(xué)生才能體會(huì)，比如三角函數(shù)圖像的變換，先平移和先伸縮對(duì)于平移量的影響；有些需要學(xué)生自己動(dòng)手印象才深刻，比如橢圓、雙曲線的定義等.教師和學(xué)生不妨放慢腳步，讓教學(xué)進(jìn)度、題海戰(zhàn)術(shù)先靠邊，師生一起探索，動(dòng)手實(shí)踐，交流合作，從而啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，驚嘆數(shù)學(xué)的美.

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京：人民教育出版社，2004：3-5.

[2] 易文輝.體驗(yàn)概念生成 促進(jìn)思維發(fā)展——以“充分條件與必要條件”(新授課)為例[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(9):15-18.

2017-09-20

金燦芳(1982-),女,浙江蕭山人,中學(xué)一級(jí)教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育.

O123． 1

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