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(廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué),福建 漳州 363123)

“四維”反思提升高考復(fù)習(xí)實(shí)效*
——講評(píng)一道試題有感

●邱云

(廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué),福建 漳州 363123)

在高考復(fù)習(xí)中，試題講評(píng)要注重從學(xué)生、教師、命題、改題這4 個(gè)維度進(jìn)行深層反思，引導(dǎo)學(xué)生看清問題本質(zhì)，從而提高解題能力與自信，讓復(fù)習(xí)更具實(shí)效．

高考復(fù)習(xí); 試題講評(píng); 四維反思

在高考總復(fù)習(xí)階段，做題、講題是學(xué)與教的常態(tài)，試題講評(píng)活動(dòng)也就成為學(xué)生完善知識(shí)、增長(zhǎng)能力、積累經(jīng)驗(yàn)、提升素養(yǎng)的關(guān)鍵．隨著高考日益逼近，題海無(wú)涯，解法不定，學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力越來(lái)越大，這對(duì)解題教學(xué)的效率提出了更高的要求．講評(píng)試題是停留在就題論題、糾正答案，還是舉一反三、講練結(jié)合；是越俎代庖、貪量求全，教師一講到底，學(xué)生被動(dòng)接受，還是收放有度、深思求質(zhì)，師生教學(xué)相長(zhǎng)，學(xué)生積極參與……怎樣的試題講評(píng)課更吸睛、更高效、更具針對(duì)性、更富思考性？筆者認(rèn)為：在時(shí)間緊、任務(wù)重的總復(fù)習(xí)階段，試題講評(píng)要注重從學(xué)生、教師、命題、改題這4個(gè)維度進(jìn)行反思，幫助學(xué)生走出迷霧，讓其能撥云見日看清問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟求解思路的生成，從而提高解題能力與自信，讓復(fù)習(xí)課更具實(shí)效．

題目已知f(x)=x3-3x+2+m(其中m>0)，在區(qū)間[0，2]上存在3個(gè)不同的實(shí)數(shù)a,b,c，使得以f(a),f(b),f(c)為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，則m的取值范圍是

( )

這是高三復(fù)習(xí)檢測(cè)中的一道選擇壓軸題，綜合性強(qiáng)，難度大，考試現(xiàn)場(chǎng)真正因理解而答對(duì)的學(xué)生幾乎沒有．考后與備課組教師交流，大家也覺得此題不好下手：一是不易找出函數(shù)值與直角三角形的關(guān)系；二是備選項(xiàng)的數(shù)字也很怪，難以猜想．這樣一道讓人感到棘手的難題，難在何處？又該如何講評(píng)？以下是筆者的講題過程及講評(píng)前后的思考與感想．

1 反思學(xué)生受阻思路，明晰困惑所在

學(xué)生是課堂的主人，高三復(fù)習(xí)課亦如此．“只有知曉病情，才能對(duì)癥下藥”．經(jīng)過前期學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)，學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)已基本建構(gòu)，基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)已有一定水平，對(duì)問題的解決較復(fù)習(xí)前有更多的主見、想法和創(chuàng)意．這時(shí)認(rèn)真傾聽學(xué)生的解題思路，明晰其求解困惑：1)便于察覺學(xué)生的認(rèn)知障礙與思維斷點(diǎn)，有利于提高講題的針對(duì)性；2)有助于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維亮點(diǎn)，有利于教師伺機(jī)捕捉生成資源、點(diǎn)撥引導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)，讓課堂更靈動(dòng)；3)了解學(xué)生在考場(chǎng)經(jīng)歷的解題挫折與感受，講題也會(huì)更貼心．

講評(píng)前，讓學(xué)生說出在考場(chǎng)解答此題時(shí)的真實(shí)想法．

生1：讀完題目無(wú)從下手，尤其是看到“以f(a),f(b),f(c)為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形”，字母又多，完全不知如何入手，只好瞎蒙.

這類學(xué)生占多數(shù)．可見，多個(gè)未知參數(shù)干擾與“直角三角形”的介入，使原本熟悉的三次函數(shù)變得異常陌生．找出“f(a),f(b),f(c)與m的關(guān)系”是解決問題的第一步．

生2：先試著分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性，再求出函數(shù)的極值及在區(qū)間[0，2]上的最值，然后不知與直角三角形有何關(guān)系，只好作罷．

這類學(xué)生如果能突破f(a),f(b),f(c)與函數(shù)最值間的關(guān)系問題，那么離目標(biāo)就近了．

該學(xué)生能用極限思想排除選項(xiàng)A,出乎筆者的預(yù)料．

生3原認(rèn)為情急之下不得以而為之的小伎倆，卻被教師夸獎(jiǎng)為解題良方，心里美滋滋的．學(xué)生們投去贊賞目光的同時(shí)，也若有所悟——難題也并非“難于上青天”．生3的創(chuàng)想讓沉寂的課堂活躍起來(lái)，激發(fā)了大家的聽講欲望，于是筆者順勢(shì)簡(jiǎn)單介紹了羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中提及的選擇題的求解策略：肯定一支、否定三支、邏輯分析、合情推理、結(jié)論也是已知信息．

2 反思教師思維過程，啟發(fā)解法形成

有學(xué)者提出，解題思維過程要經(jīng)歷“定向—逼近—成型—引申”這4個(gè)階段．波利亞的解題理論告訴我們，解題無(wú)外乎是“架起由已知通向未知的橋梁，橋梁承載著數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法、能力、技巧”[1]．本題的橋梁就是“f(a),f(b),f(c)與直角三角形的關(guān)系”，那么教師又會(huì)如何“定向、逼近”架構(gòu)橋梁、形成解法呢？教師的思維過程對(duì)解題教學(xué)又有何啟發(fā)呢？

圖1

師1：展開動(dòng)態(tài)想象．先求出f(x)min=m，f(x)max=m+4，然后畫出如圖1所示的三角形，試圖從鈍角三角形到直角三角形的變化中尋找到f(a),f(b),f(c)能構(gòu)成直角三角形的條件．難以自圓其說，不嚴(yán)謹(jǐn)．

(a2+b2-c2)min<0,

于是當(dāng)a=b=m時(shí)，有cosA<0，即

m2+m2-(m+4)2<0，

解得

師3：從形的角度考慮．聯(lián)系勾股逆定理，將問題轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間[m,m+4]上存在構(gòu)成直角三角形邊長(zhǎng)的3個(gè)實(shí)數(shù)問題，于是m滿足條件(m+4)2-m2>m2即可．

教師的思維過程也不是一帆風(fēng)順！“他山之石可以攻玉”，教師的探求過程與數(shù)學(xué)直覺對(duì)引導(dǎo)學(xué)生架起“溝通已知與未知間的橋梁”有借鑒作用．講評(píng)時(shí)筆者設(shè)計(jì)了如下問題串：

1)求出f(x)在[0,2]上的最值．

(求得f(a),f(b),f(c)∈[m,m+4]是“定向”.)

2)如何判斷3個(gè)數(shù)能否構(gòu)成直角三角形的3條邊？

(學(xué)生馬上想到勾股逆定理．)

3)在區(qū)間[3,5],[3,7],[3,4]上可以找到構(gòu)成直角三角形3條邊的不同實(shí)數(shù)嗎？若區(qū)間[3,m]上存在構(gòu)成直角三角形3條邊長(zhǎng)的實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是多少？

(解答問題3)后，很多學(xué)生悟到了原題中m應(yīng)滿足的條件“(m+4)2-m2>m2”．問題2)和問題3)是引導(dǎo)學(xué)生“逼近—成型”正確解法的過程．)

4)已知3條邊，判斷一個(gè)三角形是鈍角、直角還是銳角三角形的常用方法是什么？

(學(xué)生很快說出“余弦定理”．問題4)遷移到原問題，把f(a),f(b),f(c)看成三角形的3條邊長(zhǎng)，原問題也就迎刃而解．)

3 反思試題命制意圖，提升思維高度

高考難題既注重能力立意，又立足通性通法，知識(shí)組成上具有綜合性、交匯性的特點(diǎn)．引導(dǎo)學(xué)生從命題意圖的高度思考問題，是更高層次的解題．如果說從一題多解到多題一解的領(lǐng)悟，是既見樹木又見森林，那么站在命題意圖的高度解題，就是俯看森林還知樹木．反思試題的命制意圖與構(gòu)成，揭開難題神秘面紗，一方面讓學(xué)生對(duì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)俯視更清晰、理解更深刻，讓解題視野更高遠(yuǎn)、更開闊；另一方面對(duì)訓(xùn)練快速提取有效信息解決綜合試題的能力有潛移默化之效；同時(shí)也讓不同層次的學(xué)生在難題講評(píng)中都有所獲．

講評(píng)難題時(shí)，可將試題信息進(jìn)行化整為零，分析其中考查了哪些知識(shí)、哪些方法，它們是怎樣組合在一起的，讓學(xué)生從心理上認(rèn)同“難題源于易”[2]．例如，揣摩本題命制過程：以大家熟悉的三次函數(shù)為載體，考查與極值、最值相關(guān)的參數(shù)取值范圍問題．為體現(xiàn)壓軸選擇題的綜合性、靈活性和選拔性，加入了“直角三角形”這一幾何元素，再以“存在性問題”的開放式設(shè)問，使原本常規(guī)的問題變得更抽象和復(fù)雜，有效考查了學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力及思維的正遷移能力．這一自覺“揣摩”的過程需要教師先在課前完成．

得出解答后，教師提問：本題主要考查了什么知識(shí)？用到哪些數(shù)學(xué)思想方法？

1)求三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在閉區(qū)間上的極值、最值．

2)解一元二次不等式ax2+bx+c<0．

3)余弦定理、勾股定理．

4)構(gòu)成直角三角形的條件：若區(qū)間[p,q]上存在3個(gè)不同的正實(shí)數(shù)x,y,z，以x,y,z為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，則p,q應(yīng)滿足什么條件？當(dāng)q2>2p2時(shí)，必存在符合題意的x,y,z．

問題解決中蘊(yùn)含了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、極限思想．師生共同反思試題的命制過程與意圖，是追求解題中“不畏浮云遮望眼，只因身在最高層”的境界．

4 反思試題的優(yōu)化與變式，從解題到賞題

就題論題糾正答案，如入寶山而空返．難題解完不能見好就收，而應(yīng)乘勝追擊，擴(kuò)大解題成果．要嘗試從科學(xué)性角度優(yōu)化試題；抓住問題本質(zhì)屬性變換已知、結(jié)論改編試題，使得學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí)更加全面而深邃，從而滋養(yǎng)思維品質(zhì)，提升解決問題的元認(rèn)知水平，豐富數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

4.1 優(yōu)化選項(xiàng)，讓試題更科學(xué)

對(duì)于設(shè)計(jì)不完備，易被學(xué)生投機(jī)取巧，或偏離考查意圖的試題，講評(píng)時(shí)要鼓勵(lì)學(xué)生在解題的基礎(chǔ)上優(yōu)化試題，使試題更科學(xué)、更具選拔功能，也使自己的思維更縝密、更有辨別力．當(dāng)然這也值得命題者借鑒與反思．

( )

(2016年福建省福州市普通高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科試題第4題)

這是一道嚴(yán)重偏離考查意圖的選擇題．學(xué)生的解答：由已知得cos 2α>0，排除選項(xiàng)A，B，又cos 2α≠1，故選D．原考查意圖“余弦的二倍角公式、正弦的和差角公式、同角正余弦值的平方關(guān)系sin2x+cos2x=1的應(yīng)用”都沒實(shí)現(xiàn)．講評(píng)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生改變?chǔ)恋姆秶騻溥x項(xiàng)的取值，使試題臻于完美．

4.2 改編試題，讓解題更深入

講評(píng)試題謹(jǐn)防淺嘗輒止，應(yīng)在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)縱橫捭闔，改編試題．“趁熱打鐵”，讓學(xué)生在理解性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上拓展思維，將解題的感受、感悟深入地融入到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，進(jìn)而提升解題層次，引發(fā)更深思考．變式方式常有：變已知、變結(jié)論、從特殊到一般縱向推廣、橫向類比等．

變式1改變已知，讓理解更到位.

若將區(qū)間[0，2]改為[0，3]，其余條件不變，則m的取值范圍是______．

分析這時(shí)f(x)max=f(3)=m+20，故

(m+20)2>2m2，

得

變式2執(zhí)果索因，讓思維更深刻.

若選A，試題條件應(yīng)做何變化？

分析把條件變?yōu)椋簩?duì)區(qū)間[0，2]上任意3個(gè)不同的實(shí)數(shù)a,b,c，使得以f(a),f(b),f(c)為邊長(zhǎng)的三角形都是銳角三角形．依題意，

2m2-(m+4)2>0，

得

即時(shí)的“變式”，使原本難以逾越的鴻溝“f(a),f(b),f(c)與直角三角形的關(guān)系”變得暢通無(wú)阻，讓學(xué)生感嘆當(dāng)初“云深不知處，只緣身在此山中”．

5 結(jié)束語(yǔ)

高考總復(fù)習(xí)不應(yīng)是知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)，而應(yīng)是知識(shí)理解的升華、知識(shí)架構(gòu)的豐滿；是解題能力的提升、求解策略的培養(yǎng)[3]；是解題信心的樹立、學(xué)科素養(yǎng)的練就．試題講評(píng)，教師要以教會(huì)學(xué)生思考，培養(yǎng)其獨(dú)立探索、解決問題的能力為目標(biāo)．教育家弗賴登塔爾說：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，沒有反思，學(xué)生的理解就不可能從原有水平升華到更高水平．”復(fù)習(xí)教學(xué)中，試題講評(píng)要著眼從學(xué)生、教師、命題、改題這4個(gè)維度進(jìn)行深層反思，從本質(zhì)上提升講題實(shí)效；通過對(duì)疑難問題的講評(píng)分析，讓學(xué)生張開思維的翅膀，穿越知識(shí)交匯的藩籬，在問題解決的廣闊天空中盡情翱翔，也讓試題講評(píng)課閃耀智慧的光芒．

[1] 羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]．西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001．

[2] 王修湯．講評(píng)高考題：講什么，評(píng)什么[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2016(12):47-49.

[3] 易文輝．2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考Ⅰ卷試題特點(diǎn)及教學(xué)建議[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(11)：25-29.

2017-07-30基金項(xiàng)目：2016年福建省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究課題(MJYKT2016-194)

邱 云(1975-)，男，福建寧化人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003 - 6407(2017)11-06-04