周曉芳

[摘 要] 數(shù)學(xué)聯(lián)想，作為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)解題的一種重要的常用方法，不僅有助于學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念、公式、定理的理解，還可以增強學(xué)生發(fā)散思維的能力，培養(yǎng)他們思維的靈活性和廣闊性，激發(fā)他們發(fā)現(xiàn)新事物，創(chuàng)造新知識的興趣，同時可以發(fā)展和提高他們的數(shù)學(xué)解題能力和應(yīng)變能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)教學(xué)；聯(lián)想思維；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

巴甫洛夫認為：“一切教學(xué)都是各種聯(lián)想的形式. ”而數(shù)學(xué)聯(lián)想，作為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)解題的一種重要的常用方法，不僅有助于學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念、公式、定理的理解，還可以增強學(xué)生發(fā)散思維的能力，培養(yǎng)他們思維的靈活性和廣闊性，激發(fā)他們發(fā)現(xiàn)新事物，創(chuàng)造新知識的興趣，同時可以發(fā)展和提高他們的數(shù)學(xué)解題能力和應(yīng)變能力，從而提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是解題教學(xué)中我們必須靈活運用甚至是孕育一些聯(lián)想思維，根據(jù)所教授的內(nèi)容進行一些聯(lián)想型例題與練習(xí)，“有的放矢”地培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維的能力. 新課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，我們在教學(xué)過程中要形成解決問題的一些策略，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神.

設(shè)計類比聯(lián)想問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)

聯(lián)想思維的廣闊性

例如：代數(shù)教學(xué)中對于分?jǐn)?shù)的四則運算法則與分式的四則運算法則可做類比聯(lián)想，整式四則運算中的乘法亦可與有理數(shù)運算的乘法算律做類比聯(lián)想；相似三角形的性質(zhì)與條件可與全等三角形的教學(xué)做類比聯(lián)想；函數(shù)教學(xué)中可相應(yīng)地采取對圖形與解析式做類比聯(lián)想及推理. 另外，幾何教學(xué)中，命題、定理之間的類似，公式、法則、方法之間的相似類比更是比比皆是. 多年的教學(xué)經(jīng)驗告訴筆者，教學(xué)中重視相關(guān)知識的類似性，積極引導(dǎo)學(xué)生做類比聯(lián)想，不僅可以鞏固學(xué)生對新舊知識的聯(lián)系，還有利于學(xué)生構(gòu)建新的知識體系，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)整體的理解與把握，同時幫助學(xué)生利用類比聯(lián)想探索新知識，培養(yǎng)與發(fā)展他們的數(shù)學(xué)聯(lián)想思維能力.

如代數(shù)教學(xué)中會不時地接觸下面一個類型的題目：已知（2x-y）2+4x-3y-1=0，求x，y的值. 學(xué)生初次接觸該題似乎有點手足無措，因為不知已知條件如何應(yīng)用. 這就需要教師在教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生進一步探究，啟發(fā)學(xué)生積極活潑的思維，將“陌生”的已知條件類比為熟悉的題設(shè)條件，從而打開學(xué)生的思路之門. 初步嘗試如下：由于（2x-y）2和4x-3y-1均表示為非負數(shù)，這就可以比作兩個人口袋里的錢，當(dāng)兩者和為零時，那么必須兩者同時為零，即（2x-y）2=0且4x-3y-1=0，組合可得到方程組：2x-y=0，4x-3y-1=0，解二元一次方程組本就是學(xué)生熟悉且能理解掌握的知識點，這樣尋求x，y的解就不是難事了. 當(dāng)然，當(dāng)題目中非負數(shù)的個數(shù)增多時，學(xué)生會類比聯(lián)想為多個“沒錢人上街”的情況，解答本類題目就無須教師反復(fù)強調(diào)分析了. 可見，類比聯(lián)想可使學(xué)生學(xué)會透過數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)象揭示本質(zhì)含義，也使教師達到“傳道”“解惑”的目的.

設(shè)計關(guān)系聯(lián)想型問題，提高數(shù)

學(xué)聯(lián)想思維的縝密性

關(guān)系聯(lián)想，即由事物之間的某種關(guān)系而引起的聯(lián)想. 例如因果關(guān)系、特殊與一般的關(guān)系、部分與整體的關(guān)系等均能構(gòu)成關(guān)系聯(lián)想. 其中因果關(guān)系的聯(lián)想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中尤為廣大師生重視，它是指由事物的起因想到結(jié)果或由結(jié)果想到起因的聯(lián)想，這在初中平面幾何探索與論證中尤為顯現(xiàn).

本題教師設(shè)計講解時重點引導(dǎo)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納，然后是演繹. 聯(lián)想時對與題目中由數(shù)字向字母的過渡，教師可引領(lǐng)他們的呼應(yīng)關(guān)系，學(xué)生對題的興趣加深、加濃，就不難找到解題的途徑與答案了.

再如，已知：如圖1，在△ABC中，∠ABC=45°，H 是高AD 和BE的交點. （1）求證：BH =AC；（2）如圖2，將∠BAC 改變成鈍角時，題設(shè)條件不變，結(jié)論BH=AC能否成立？

第一小題，△ABC是個常規(guī)銳角三角形，屬于學(xué)生思維范疇內(nèi)，學(xué)生不難通過三角形全等結(jié)論，證明全等的條件中，教師需要略作引導(dǎo)的是∠CAD與∠CBE都是∠C的余角，從而這兩個角相等. 第二小題，∠BAC變成了鈍角，從圖形的解讀看來，圖形變得略復(fù)雜，部分學(xué)生會出現(xiàn)“發(fā)呆”現(xiàn)象. 我們說，數(shù)學(xué)探索解答題的構(gòu)造有它內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，不僅是題目的題設(shè)與結(jié)論甚至是探索論證的思路與過程都有其必然的相似或是相同. 所以教師在設(shè)計講解時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對第一小題結(jié)論與證明方法進行聯(lián)想，進而在圖2中聯(lián)系題設(shè)的變更，引導(dǎo)推理過程的演變，讓學(xué)生由全等聯(lián)想相似的結(jié)論，再執(zhí)果索因，導(dǎo)入最后的解題方法與結(jié)論. 可見解題時讓學(xué)生自行前后對照、驗證相關(guān)結(jié)論，通過豐富的聯(lián)想活動，最終就不難得到正確的解答了. 可以說，該題成功的教學(xué)活動既加強了學(xué)生對題型的記憶，又培養(yǎng)和提高了學(xué)生解決數(shù)學(xué)變更問題的能力. 當(dāng)然，解題的成功源自于“關(guān)系聯(lián)想”邏輯遞推的紐帶作用.

設(shè)計反向聯(lián)想型問題，加強數(shù)

學(xué)聯(lián)想思維的靈活性

反向聯(lián)想，即由一個事物聯(lián)想到與其相反、相對特點的另一事物.

例如，有理數(shù)與無理數(shù)，分解與結(jié)合，形內(nèi)與形外，直線與曲線等都是印象相反的事物. 在數(shù)學(xué)解題中，當(dāng)直接證法難以奏效時，便會想到間接證法，當(dāng)正面求解不易時，便聯(lián)想反面求答. 猶如我們幾何論證中經(jīng)常涉及的反證法. 如幾何部分的“三角形中至少有一個內(nèi)角不大于60°”“不在同一直線上的三點只能確定一個圓”等重要定理或推論的解釋，教師都離不開結(jié)論反面的聯(lián)想推理. 再看下面一例：如圖3，已知AB，CD是⊙O內(nèi)非直徑的兩弦，求證：AB與CD不能互相平分.

顯然，本題從正面突破，很難處理. 因此教學(xué)時可啟發(fā)學(xué)生展開逆向思維，反向聯(lián)想. 證明如下：假設(shè)AB與CD能互相平分于點M，則由已知條件AB，CD均非⊙O直徑，可判定M不是圓心O，連接OA，OB，OM，由等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊可得OM⊥AB，同理可得OM⊥CD，從而過點M有兩條直線AB，CD，都垂直于OM，這與過一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾. 故假設(shè)不成立，因此，AB與CD不能互相平分.

可見，運用反證法進行證題，能夠使學(xué)生通過反向聯(lián)想，加強學(xué)生認知結(jié)構(gòu)上的全面性，避免學(xué)生思維過程及解題方法的單一、呆板性，從而更加促進學(xué)生創(chuàng)造思維的發(fā)展，進一步培養(yǎng)、提升思維的敏捷性. 由此，我們不難發(fā)現(xiàn)，積極引導(dǎo)學(xué)生逆向思維，反向聯(lián)想，不僅可以使解題方法簡明、明朗，還可以使學(xué)生在潛移默化中發(fā)展與提高學(xué)生的數(shù)學(xué)靈活思維的推理能力.

設(shè)計化歸聯(lián)想型問題，培養(yǎng)與提

高學(xué)生思維的邏輯性、獨立性

化歸聯(lián)想，即把問題從一個角度轉(zhuǎn)化到不同的角度，來讓學(xué)生把陌生的、待解決或未解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一個已經(jīng)能夠解決或容易解決的問題，從而求得原問題解答的一種手段和方法. 如在義務(wù)制九年級數(shù)學(xué)教科書中“圓”知識章節(jié)中圓周角定理的證明過程，教科書本身就巧妙布置了啟發(fā)學(xué)生作化歸聯(lián)想思維活動的不同圖形，再結(jié)合教師教學(xué)時的設(shè)計講解，啟發(fā)引導(dǎo)，不難達到將難點、重點簡化、易化，使學(xué)生耳目一新、思路清晰地釋疑解惑的目的. 可以說，化歸聯(lián)想使學(xué)生的思維不斷靈活、敏捷且富有邏輯性.

聯(lián)想是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺思維的先導(dǎo). 聯(lián)想思維更是解題成功的一半. 所以在教學(xué)中教師應(yīng)精心設(shè)計一些聯(lián)想型問題引導(dǎo)學(xué)生有意識、有目的地進行聯(lián)想，更要善于讓學(xué)生選用最佳思路獨立地思考、思索、分析和解答問題，同時提倡不給予學(xué)生條條框框的限制，努力培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的探索和創(chuàng)新精神，充分展示學(xué)生思維的靈活性、廣闊性、邏輯性等優(yōu)良品質(zhì)，從而進一步達到推進素質(zhì)教育的目的.endprint