馮 麗

(江蘇省蘇州市相城區(qū)太平中學(xué)，江蘇 蘇州 215000)

利用數(shù)學(xué)模型“點到圓的最值距離”來研究動點最值問題——數(shù)學(xué)解題策略剖析

馮 麗

(江蘇省蘇州市相城區(qū)太平中學(xué)，江蘇 蘇州 215000)

動點問題常與幾何圖形相結(jié)合，解決此類問題要靈活運用這些圖形的特殊性質(zhì). 利用點圓的最值距離來研究動點問題，這個點可以是在圓外，圓上，圓內(nèi).不管點在哪里，只要該點連接圓心并延長，與圓有兩個交點，該點與遠(yuǎn)交點的距離就是最大值，與近交點的距離就是最小值，以此來構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決動點最值問題.

動點；模型；距離；最大值；最小值；圓；直角三角形

動點問題常與幾何圖形相結(jié)合，解決此類問題要靈活運用這些圖形的特殊性質(zhì)， 解決這類問題時，不管是點動、線動、圖形動都要發(fā)揮自己的想象力，不被“動”所迷，應(yīng)在“動”中求“靜”，把問題變成靜態(tài)問題解決，要注意在運動中探究問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)變量之間的互相依存關(guān)系.

教學(xué)中，教材教學(xué)的背景初中的教材中并沒有對動點問題進(jìn)行獨立的章節(jié)介紹,更多的是要依靠學(xué)生根據(jù)自身已有的知識及對知識的靈活應(yīng)用的基礎(chǔ)上,對相關(guān)問題進(jìn)行思考解決.利用點圓的最值距離來研究動點問題，便于學(xué)生快速掌握解題方法，這個點可以是在圓外，圓上，圓內(nèi)，不管點在哪里，只要該點連接圓心并延長，與圓有兩個交點，該點與遠(yuǎn)交點的距離就是最大值，與近交點的距離就是最小值，以此來構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決動點最值問題.如表所示：

點的位置數(shù)學(xué)模型點到圓的最大值點到圓的最小值點P在圓外BPAP點P在圓上BP就是直徑的長度AP=0點P在圓內(nèi)BPAP

總結(jié)：通過數(shù)學(xué)模型可以發(fā)現(xiàn)P,A,B連線經(jīng)過圓心，點P可以在圓外、圓上、圓內(nèi)，連接PO并延長交圓點A和點B，點A與點P近，AP就是點到圓的最小距離|PO-r|，點B與點P遠(yuǎn)，BP就是點到圓的最大距離PO+r,利用這一數(shù)學(xué)模型來構(gòu)造圓求兩點的最值問題.運用如下：

第一類：已知圓，利用點到圓的最值距離來研究動點最值問題

(1)單動點問題

例1 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是 弧CD上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是____．

分析點A在圓外，點P在圓上，要使AP最小，取圓心O,連接圓心O與點A,OA與圓的交點就是點P.AP的最小值=AO-r.

總結(jié)：本道題是典型利用點圓關(guān)系來求最值問題.P是圓上的動點，A是圓外的定點，利用模型來求最小值，當(dāng)然延長AO交圓另一點P′，AP′是最大值A(chǔ)O+r.

(2)雙動點問題

例2 如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點O為圓心，作半圓與AC相切，點P，Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是多少？

分析Q在半圓上運動，P在圓外的線段上運動，不管是求PQ的最大值還是最小值，都要連接PO，此時P,Q,O三點一線，最小值時Q的位置就是PO與圓的交點，最小值就是PO-r.最大值時Q的位置就是延長PO到圓的交點，此時最大值就是PO+r.

如圖(1)，要使PQ最小，則PO就要最小，在P運動過程中，當(dāng)PO⊥BC時，PO最小.半圓與AC相切，∠ADO=90°，又在△ABC中AB=10，AC=8，BC=6，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得∠C=90°，所以O(shè)D∥BC，O為AB的中點，平行得相似，半徑OD=3,OP=4,

所以此時PQ的最小值就是4-3=1.如圖(2)，此時P與B重合，PQ最大，PQ=BO+OQ=5+3=8

綜合以上兩種情況，則PQ長的最大值與最小值的和是8+1=9.

總結(jié)：本題利用模型來解決問題，但本道題是雙動點問題，圓外的點在動，圓上的點也在動，具體做法圓外動點P連接圓心O來尋找圓上動點Q, 不被“動”所迷，應(yīng)在“動”中求“靜”,在連接PO中，O就是“靜”，P是“動”，PO最小，只有當(dāng)PO⊥BC時，PO最小.PQ最大值的求法也是借助上述模型，P運動到與點B重合，來確定點Q,以此來解決問題.

(3)三動點問題

例3 如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，則PE+PF的最小值是____．

分析點P在圓外，點E,F分別在兩個圓上，要使PE和PF最小，必須AE和BF兩條線段交CD于同一點，該點就是點P.由題意可知菱形ABCD，∠A=60°，所以當(dāng)P與D重合時，E點在AD上，F(xiàn)在BD上，此時PE+PF最小.

解連接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD.

∴△ABD是等邊三角形. ∴BD=AB=AD=3.

∵⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，

∴PE=1，DF=2.

∴PE+PF的最小值是3．

總結(jié)： 本題是三動點問題，比上面兩題要難，但我們在解題時還是不被“動”所迷，應(yīng)在“動”中求“靜”，利用模型，抓住模型中的“靜”，兩個圓心點A點B是不動點，圓外點P.連接PA和PB來確定E,F,只有D與P重合時，符合題意要求.

第二類，通過Rt△來構(gòu)造圓，利用點到圓的最值距離來研究動點最值問題

(1)利用Rt△來構(gòu)造圓來解決單動點問題

例4 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，在△ABC內(nèi)部以AC為斜邊任意作Rt△ACD，連接BD，則線段BD長的最小值是多少？

分析抓住Rt△ACD，且點D為直角頂點，以AC為直徑構(gòu)造圓，且點D在圓上，點B在圓外，當(dāng)B,D,O三點共線時此時BD的長度最小.

解由題意可知，圓周角為90 °所對的弦是直徑.取AC的中點O,CO為半徑作圓，連接BO交圓于點D，此時BD最短.

∵O為AC中點，

∴CO=AO=3.

∴BD=BO-OD=5-3=2.

總結(jié)：在動態(tài)問題中尋找靜態(tài)點B,動態(tài)點D，點D不管怎么動，△ACD始終是以D為直角頂點的Rt△，以此我們就可以構(gòu)造AC為直徑的圓，且點D在圓周上.利用模型來求點圓的最小值.

(2)利用Rt△來構(gòu)造圓解決雙動點問題

例5 如圖,∠MON=90°,在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5.若△ABC的頂點A,B分別在OM,ON上,當(dāng)點B在ON上運動時,點A隨之在OM上運動,且△ABC的形狀和大小保持不變,則運動過程中點C到點O的最大距離為____.

分析因為∠MON=90°，所以以AB中點D為圓心，OD為半徑作圓.此時就是求點C到圓的最大距離.在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，根據(jù)勾股定理的逆定理可知∠C=90°.點A,O,B,C四點共圓，點C到點O的最大距離就是直徑.∠MON=90°，AB就是直徑5.所以點C到點O的最大距離為5.

總結(jié)：本題是雙動點問題，點A和點B分別在OM,ON上運動，但不變的是△AOB始終是以AB為斜邊的Rt△，通過Rt△AOB來構(gòu)造圓，本題有特殊性，∠ACB=90°，點C在圓周上，利用模型來求最大值,在圓中最大的弦是直徑.

動點問題所涉及的知識是相當(dāng)廣泛的,對于不同的知識點都可以衍生出不同類型的動點問題，它對學(xué)生的知識水平也是有相對較高的要求,同時對學(xué)生的思維有著較高的要求,它體現(xiàn)了學(xué)生綜合應(yīng)用知識能力的水平.但對動點問題的進(jìn)一步探究,將對中學(xué)生探究欲望的激發(fā)、課堂教學(xué)水平的提升都起著至關(guān)重要的意義.

[1]關(guān)于“動點問題”的基本剖析.論文網(wǎng),2012.5.

[2]劉永智.一動點問題的多種求解思路分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2015.

[責(zé)任編輯：李克柏]

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1008-0333(2017)26-0002-03

2017-07-01

馮麗(1980.07- )，女，江蘇蘇州人，中學(xué)一級教師 ，本科，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)．