吳 琛， 項 洪， 杜喜朋

(1.福建工程學院 土木工程學院，福州 350118; 2.福建省土木工程新技術(shù)與信息化重點實驗室，福州 350118)

基于數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對稱延拓的端點效應處理及其應用

吳 琛1,2， 項 洪1,2， 杜喜朋1,2

(1.福建工程學院 土木工程學院，福州 350118; 2.福建省土木工程新技術(shù)與信息化重點實驗室，福州 350118)

Hilbert-Huang變換在EMD分解中因端點非極值點，無法滿足樣條插值的要求導致包絡(luò)線異常，產(chǎn)生端點飛翼；在Hilbert變換中又因卷積計算和Fourier變換能量泄露的原因，也使端點產(chǎn)生飛翼。提出數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對稱延拓的方法，通過端部數(shù)據(jù)對稱延拓，把EMD分解和Hilbert變換過程中產(chǎn)生的端點效應釋放到數(shù)據(jù)外端，一舉解決兩階段的端點飛翼問題；通過極值點對稱延拓進一步控制三次樣條包絡(luò)曲線的走勢，使原始數(shù)據(jù)的包絡(luò)曲線更加準確。經(jīng)仿真信號驗證，聯(lián)合對稱延拓的方法具有良好的抑制效果。當該方法應用于結(jié)構(gòu)動力響應非線性特征分析時，不僅具有明確的物理意義，而且能較準確地表征結(jié)構(gòu)進入非線性狀態(tài)時出現(xiàn)“頻帶擴展”和“主導頻率飄移”的力學特征。

Hilbert-Huang變換; 端部數(shù)據(jù); 極值點; 對稱延拓; 非線性力學特征

Hilbert-Huang變換(Hilbert-Huang Transforms, HHT)是由Huang等[1]于1998年在經(jīng)典的Hilbert變換基礎(chǔ)上提出的一種非平穩(wěn)信號處理技術(shù)。該方法由經(jīng)驗模態(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)與Hilbert譜分析(Hilbert Spectral Analysis, HSA)兩部分組成，不僅賦予了瞬時頻率合理的定義、物理意義和求解方法，而且不需要先驗基底，可依據(jù)數(shù)據(jù)本身的時間尺度特征進行模態(tài)分解，具有很強的局部自適應性。目前，該方法已廣泛地應用于地震信號及響應研究[2]、系統(tǒng)識別[3]、生物醫(yī)學[4]、故障診斷[5]、噪聲處理[6]、圖像處理[7]等各個領(lǐng)域。但是，由于HHT建立在經(jīng)驗篩分的基礎(chǔ)上，必然存在一些固有的問題亟待改進。除篩分終止條件、模態(tài)混疊、包絡(luò)線和均值曲線的擬合外，端點飛翼的抑制是使HHT分析結(jié)果具有有效性的一項重要工作[8]。

根據(jù)端點處理的原理，端點效應抑制的方法大致可分為三類：①極值延拓，如極值點對稱延拓[9]、相似極值延拓[10]、極值平移延拓[11]、多項式擬合延拓[12]等，這類方法不延拓信號本身數(shù)據(jù)點，僅以端點附近極值點的特性決定延拓極值，這對于寬頻帶、非平穩(wěn)的復雜信號而言，顯然不能準確反應信號的真實趨勢。②波形延拓，即通過在信號兩端增加波形數(shù)據(jù)的方式進行端點延拓，其中最為典型的是由Huang等提出并在美國申請了專利的特征波法[13]和由黃大吉教授提出的波形鏡像延拓法[14]。前者對于不同特征尺度的信號在不同的端點位置所添加的特征波也應不同，因此正如Huang等曾經(jīng)指出的，EMD所面臨的邊界延拓問題仍未得到很好的解決；后者雖具有良好的抑制效果，但由于鏡像延拓后得到的極值點數(shù)量是原來的2倍，因而計算用時大大增加。③數(shù)據(jù)預測延拓法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預測[15]、自回歸模型預測[16]和支持向量回歸機法等[17]，這些方法有的僅適用于平穩(wěn)或簡單非平穩(wěn)信號，有的由于復雜的模型和不定性的參數(shù)和較長的運算時間，限制了其應用范圍，有的需要在EMD分解和Hilbert變換兩階段分別進行端點處理，工作量較大。因此，HHT的端點效應仍然是近十年來專家學者們重點關(guān)注和研究的問題。本文將提出一種計算簡單、高效，計算精度良好的端點抑制方法，并通過仿真信號和結(jié)構(gòu)響應非線性力學行為的工程實例驗證其抑制效果。

大部分結(jié)構(gòu)在強震作用下將會表現(xiàn)出非線性的力學行為，這恰是結(jié)構(gòu)產(chǎn)生破壞的前兆，因此探究結(jié)構(gòu)進入非線性的特征具有重要的意義[18]。非線性體系動力響應頻譜成分的時變特性是體系非線性力學行為的重要特征。由于Fourier變換全局意義上的傳遞函數(shù)不能很好地描述這種時變特征，小波變換也存在著類似于Fourier變換的偽諧波分量，因此采用HHT時頻分析方法進行結(jié)構(gòu)響應非線性特征分析不失為一種好方法。但在這一研究中，如不能對HHT的端點效應進行良好處理，將直接影響到分析的正確性。本文將采用聯(lián)合對稱延拓的方法進行結(jié)構(gòu)地震響應的非線性力學行為分析。

1 HHT端點效應

HHT的端點效應在EMD和Hilbert變換中都存在，兩種失真的疊加造成了HHT無法正確反應信號所包含的信息，影響了分析結(jié)果的有效性。

1.1 EMD分解的端點效應

在EMD分解中，需要對數(shù)據(jù)序列的極值點進行三次樣條插值，獲得信號的上、下包絡(luò)線。由于三次樣條插值要求具有光滑的一次微分和連續(xù)的二次微分，但對于有限長度的數(shù)據(jù)序列而言，信號的兩個端點不一定是極值點，無法提供樣條插值函數(shù)所需要條件，也無法根據(jù)端點附近的信息獲得端點外側(cè)的信息，這必然導致擬合包絡(luò)線在信號兩端發(fā)生偏離實際包絡(luò)線趨勢的現(xiàn)象。并且，隨著“篩分”的進行，發(fā)散現(xiàn)象將逐漸由數(shù)據(jù)兩端向內(nèi)部“污染”。因此，對于短數(shù)據(jù)信號以及極值點之間時間跨度較大的低頻分量而言，端點飛翼尤為明顯。

1.2 Hilbert變換的端點效應

(1)

圖1 卷積示意圖Fig.1 Convolution schematic

此外，Hilbert變換的快速算法是基于Fourier變換實現(xiàn)的，在端點處容易引起能量泄露，也會造成信號的失真。

1.3 端點效應抑制效果評價指標

仿真信號通?？赏ㄟ^HHT結(jié)果與理論曲線的比較來檢驗端點效應的抑制效果，而對工程實際中的復雜信號，獲得理論曲線作為評價參照是困難的。因此，需要通過一定評價指標加以驗證端點抑制的有效性。

首先，為避免端點效應引起信號包絡(luò)線畸變、產(chǎn)生虛假成分致使信號總能量增加，可通過比較EMD分解前后的能量來評估端點效應的程度。定義采樣步數(shù)為m的信號S(t)的有效能量為

(2)

則分解前后的能量比為

(3)

式中：n為IMF分量總數(shù)；RMCi為IMF分量ci的有效能量，可依式(2)計算。能量比θ越小說明虛假成份越少。

其次，由于信號S(t)的分解特性受到端點效應的影響，因此可通過各IMF分量c(t)之間的局部正交性指標IO判別端點處理的效果

(4)

該指標越小說明正交性越好。

再次，端點抑制算法的運行時間t也是一個重要的衡量指標，用時越長，算法越復雜，計算的成本越高。

2 數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對稱延拓

2.1 改進思路

根據(jù)端點效應產(chǎn)生的原因，提出如下改進思路：

(1) 為避免數(shù)據(jù)迅速受到端點效應的“污染”、緩解Hilbert變換卷積計算中的“褶皺”現(xiàn)象，可通過端點附近的數(shù)據(jù)延拓，增加信號長度，并使Hilbert變換卷積“褶皺”外延，實現(xiàn)EMD分解和Hilbert變換兩階段端點效應的抑制。延拓的數(shù)據(jù)應能反映端部數(shù)據(jù)的自然趨勢，如采用端部數(shù)據(jù)對稱延拓，既能使延拓后的波形反映出原信號在端點處的變化趨勢，又能體現(xiàn)原信號已知極值點的信息。又由于三次樣條插值時需要用到前后各兩個臨近點。因此，每端延拓的數(shù)據(jù)長度應含蓋兩個極大值點和兩個極小值點。

(2) 數(shù)據(jù)序列的端點很可能不是極值點, 若將它作為對稱點，當端點與其相鄰極值相差較小時，包絡(luò)線如圖2所示，在端點處突然收縮產(chǎn)生畸形，因此需要判別端點是否為對稱點。

圖2 包絡(luò)線在端點處畸變Fig.2 Envelopes distortion at the endpoint

(3) 如圖3所示，對數(shù)據(jù)序列較短或信號頻率較低的情況，當端點值與相鄰極值相差較大時，如直接取端部數(shù)據(jù)延拓后的端點作為極值點，延拓部分的包絡(luò)線將不能完整包絡(luò)所有信號，并影響到原始信號包絡(luò)曲線的準確性。為進一步控制數(shù)據(jù)延拓后的包絡(luò)線走向，并考慮到上、下包絡(luò)是分別由極大值和極小值連接而成的，因此可僅對極大值和極小值進行進一步對稱延拓，以獲得較為準確的包絡(luò)線參與EMD篩分。

圖3 端部數(shù)據(jù)對稱延拓Fig.3 Symmetrical extension of the end data

基于以上改進思路，本文提出數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對稱延拓的方法實現(xiàn)HHT的端點抑制。

2.2 技術(shù)要點

數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對稱延拓法旨在通過EMD篩分之前的端部數(shù)據(jù)對稱延拓，把EMD分解和Hilbert變換過程中產(chǎn)生的端點飛翼釋放到數(shù)據(jù)外端，一舉解決兩階段的端點效應，后續(xù)計算無需再對端點進行處理；通過極值點對稱延拓進一步控制三次樣條包絡(luò)曲線的走勢，避免首次延拓的信號落到包絡(luò)線之外，影響到原始數(shù)據(jù)的內(nèi)部。該方法的技術(shù)要點如下：

(1) 端部數(shù)據(jù)對稱延拓。

設(shè)原始信號x(t)的端點為x(0)，極大值為U(1)，U(2)，…，U(n)，極小值為L(1)，L(2)，…，L(m)。以信號左端為例，當x(0)≥U(1)或x(0)≤L(1)時(見圖4(a)和圖4(b))，以x(0)為對稱點進行數(shù)據(jù)延拓；當L(1)lt;x(0)lt;U(1)時(見圖4(c)和圖4(d))，以與x(0)相鄰的極值點為對稱點進行數(shù)據(jù)延拓。對稱延拓的數(shù)據(jù)范圍含蓋了極大值點U(1)，U(2)和極小值點L(1)，L(2)。信號右端延拓方法與左端相同，經(jīng)端部數(shù)據(jù)對稱延拓后的信號記為x1(t)。

圖4 左端數(shù)據(jù)對稱延拓Fig.4 The left data symmetrical extension

(2) 極值點對稱延拓。

記信號x1(t)的端點為x1(0)，端點極大值點為U1(1)，U1(2)，…，U1(n+4)，極小值為L1(1)，U1(2)，…，U1(m+4)。仍以信號左端為例，當x1(0)≥U1(1)或x1≤L1(1)時(見圖5(a)和圖5(b))，以為對稱點對稱延拓極大值點U1(1)、U1(2)和極小值點L1(1)、L1(2)；當L1(1)lt;x1(0)lt;U1(1)時(見圖5(c)和圖5(d))，以與相鄰的極值點為對稱點進行上述四個極值點的對稱延拓。信號x1(t)右端的延拓方法同左端。

圖5 左端極值點對稱延拓Fig.5 The left extremum symmetrical continuation

(3) Hilbert-Huang變換。

按數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對稱延拓的結(jié)果進行三次樣條插值，獲得信號x1(t)的上下包絡(luò)線，經(jīng)EMD分解，截取原始信號x(t)時域范圍內(nèi)的IMF分量，并通過Hilbert變換可獲得Hilbert幅值譜、能量譜、瞬時能譜等分析結(jié)果。其中，Hilbert能量譜能清晰地反映信號的能量在頻域的分布情況。

3 仿真信號驗證

為驗證本文提出的數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對稱延拓法的有效性，現(xiàn)以一列仿真信號為例進行HHT端點處理和時頻分析。已知信號

x(t)=cos(2πt/50)+60cos(2πt/25)+0.5cos(2πt/200)

3.1 EMD篩分結(jié)果的比較

圖6為直接以端點為極值獲得的IMF分量，圖7為本文方法的篩分結(jié)果，二者分別與理論曲線進行了比較。對比兩圖可知，經(jīng)數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對稱延拓后，不僅使各IMF分量端點附近的飛翼現(xiàn)象得到了良好的抑制，更避免了端點效應向信號內(nèi)部的傳遞?？梢姡疚姆椒▽μ幚鞥MD篩分過程中產(chǎn)生的端點飛翼具有良好的效果。

3.2 瞬時頻率的比較

圖8(a)和圖8(b)分別為端點處理前后仿真信號的瞬時頻率。如圖可知，如直接以端點為極值點，Hilbert譜的兩端飛翼現(xiàn)象嚴重。經(jīng)數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對稱延拓后，Hilbert譜的頻率分別集中在0.005 Hz, 0.02 Hz和0.04 Hz處，分別對應仿真信號的三個頻率成分，可見本文方法對于Hilbert變換所產(chǎn)生端點飛翼也具有良好的抑制效果。

圖6 未經(jīng)端點處理的IMF分量與理論曲線的比較Fig.6 Comparison between the IMF components without endpoint processing and the theoretical curves

圖7 聯(lián)合對稱延拓獲得的IMF分量與理論曲線的比較Fig.7 Comparison between the IMF components with joint symmetrical extension and the theoretical curves

圖8 仿真信號的瞬時頻率對比Fig.8 Comparison of instantaneous frequency for the simulation

3.3 Hilbert能量譜的比較

為進一步對比僅采用極值點對稱延拓、僅采用端部數(shù)據(jù)對稱延拓以及聯(lián)合對稱延拓后端點效應的改善效果，現(xiàn)從Hilbert能量譜的角度展示三種方法對應的信號能量分布情況。如圖9(a)、圖9(b)所示，單一方法在原信號并不存在的0.01 Hz上分布了較高的能量，出現(xiàn)了模態(tài)混疊。經(jīng)聯(lián)合對稱延拓后，如圖9 (c)所示，Hilbert能量分別集中于仿真信號的三個主要頻率成份，可見本文方法還具有避免模態(tài)混疊的效果。

圖9 仿真信號的Hilbert能量譜對比Fig.9 Comparison of Hilbert energy spectra for the simulation

3.4 評價指標的比較

為進一步評價端點處理的效果，能量比θ、IO值、用時t等評價指標，如表1所示。

表1 各種延拓方法評價指標

顯然，任意一種端點處理方法均能達到抑制端點效應的目的。其中，聯(lián)合對稱延拓的能量一致性和局部正交性最優(yōu)；計算用時方面，即使在普通計算機上運行也與其他方法不相上下；并且，該方法相對其他兩種單一處理方法而言，具有一次延拓一舉解決兩階段端點效應的優(yōu)勢，還可緩解模態(tài)混疊。

4 地震響應非線性特征分析

現(xiàn)進行單自由度體系在地震作用下的彈性時程分析和彈塑性時程分析，并通過HHT進行地震響應的非線性力學行為研究。為避免阻尼對分析結(jié)果的干擾，阻尼比不參與計算。

4.1 線性體系動力響應HHT分析

將峰值為200 gal、持時為30 s的Elcentro地震波輸入基本頻率為3.25 Hz的單自由度線性體系，經(jīng)彈性時程分析得絕對加速度響應，如圖10所示。該響應端點處理前后的EMD分解結(jié)果比較及Hilbert能量譜的比較，分別如圖11和圖12所示。

如圖11(a)所示，未經(jīng)端點處理時，C2～C6為端點效應引起的虛假模態(tài)分量，并導致了圖12(a)Hilbert能量譜在0.16 Hz附近出現(xiàn)虛假主導頻率。

經(jīng)本文方法端點處理后，圖11(b)中C1～C7均描述了線性體系動力響應的本征振動模態(tài)。其中，C1分量幅值最大，頻率如圖12(b)所示保持在以基本頻率3.25 Hz為中心的窄小頻帶內(nèi)，反映了線性體系自振特性對動力響應的影響，說明線性結(jié)構(gòu)對輸入信號具有濾波和放大的作用。而C2～C7則來源于非平穩(wěn)地震動自身的波內(nèi)調(diào)制(即一個IMF分量內(nèi)頻率隨時間不斷小幅變化)，其值微小至可忽略不計，說明地震動原有的波內(nèi)調(diào)制在通過結(jié)構(gòu)體系后即被相應地 “濾掉”。

圖10 線性體系加速度響應Fig.10 Acceleration of linear system

圖11 線性體系加速度響應EMD分解結(jié)果對比Fig.11 Comparison of EMD decomposition for acceleration of the linear system

圖12 線性體系加速度響應Hilbert能量譜對比Fig.12 Comparison of Hilbert energy spectra of linear system

4.2 非線性體系動力響應HHT分析

將峰值為400 gal、持時為30 s的Elcentro地震波輸入基本自振周期為3.25 Hz的非線性體系，彈塑性時程分析采用三線性剛度退化模型，第一剛度折減系數(shù)為0.4，第二剛度折減系數(shù)為0.1。取開裂位移為1 mm，屈服位移為6 mm。經(jīng)彈塑性時程分析的結(jié)構(gòu)絕對加速度響應，如圖13所示。

圖13 非線性體系加速度響應Fig.13 Acceleration of non-linear system

從絕對加速度響應的EMD分解結(jié)果來看，圖14(a)中C2～C6存在明顯的端點發(fā)散，并導致圖15(a)Hilbert能量譜在0.09 Hz處出現(xiàn)虛假主導頻率。經(jīng)本文方法處理后，圖14(b)則表現(xiàn)為符合IMF兩個基本特征的本征模態(tài)分量，對應的圖15(b)Hilbert能量譜也更具合理性。

圖14 非線性體系加速度響應EMD分解結(jié)果對比Fig.14 Comparison of EMD decomposition for acceleration of the non-linear system

圖15 非線性體系加速度響應Hilbert能量譜對比Fig.15 Comparison of Hilbert energy spectrum of non-linear system

由于各IMF分量的幅值和頻率都隨時間不停變化著，說明體系的加速度響應是若干IMF分量波間組合與各IMF分量波內(nèi)調(diào)節(jié)共同作用的結(jié)果。這種波內(nèi)調(diào)制或來自于輸入的地震動，或來源于結(jié)構(gòu)的阻尼特性，或來自于體系屈服與卸載的非線性力學行為。如“4.1”所述，地震動的波內(nèi)調(diào)制可被體系相應濾掉，又因本算例不計阻尼，不存在阻尼使頻帶擴展的可能性。因此，體系的非線性是造成加速度時程蘊含波內(nèi)調(diào)制的主要原因，非線性體系Hilbert能量譜也正由于這種波內(nèi)調(diào)節(jié)機制形成了分布離散的寬頻帶，如圖15(b)所示。這一寬頻帶的產(chǎn)生具有明確的物理意義：它是非線性體系在地震動輸入下非線性力學行為的標志。

并且，主導頻率并非結(jié)構(gòu)的基本自振頻率，而是向低頻方向飄移，如圖15(b)所示。這是由于非線性體系同時受初始頻率、開裂頻率和屈服頻率的影響，因此其主導頻率并不對應結(jié)構(gòu)基本頻率，而有向著開裂頻率和屈服頻率靠近的趨勢。這是動力響應非線性特征的又一個標志。

5 結(jié) 論

本文分析了EMD分解與Hilbert變換兩階段產(chǎn)生端點飛翼的原因，提出基于數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對稱延拓的改進思路，給出改進的技術(shù)要點。經(jīng)仿真信號和實際地震響應非線性力學特征的分析，得到如下結(jié)論：

(1) 端部數(shù)據(jù)對稱延拓可避免信號數(shù)據(jù)迅速受到端點效應的“污染”，并緩解Hilbert變換卷積計算中的“褶皺”現(xiàn)象；數(shù)據(jù)延拓對稱點的判別可避免包絡(luò)線在端點處突然收縮，產(chǎn)生畸形；端部數(shù)據(jù)對稱延拓后再對稱延拓極值點可進一步調(diào)整包絡(luò)線走勢，使其更加接近理想曲線。

(2) 仿真信號的驗證算例表明，經(jīng)數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對稱延拓后，EMD分解和Hilbert變換兩階段的端點飛翼現(xiàn)象均得到了良好的抑制。與極值點對稱延拓、端部數(shù)據(jù)對稱延拓等單一處理方法相比，本文方法在計算用時相當?shù)那疤嵯?，端點處理效果更佳，還可減小模態(tài)混疊、改善局部正交性、所獲得的Hilbert能量更為集中。并且，該方法簡單易實施，只需在EMD分解之前一次延拓，在隨后的Hilbert變換中無需再進行端點處理。

(3) 實際地震動響應的HHT分析表明，數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對稱延拓法可抑制由于端點飛翼產(chǎn)生的多余虛假能量。由該方法所產(chǎn)生的良好端點效應抑制效果是進行結(jié)構(gòu)動力響應非線性力學特征分析的必備前提。倘若端點效應使HHT結(jié)果失真，則后續(xù)的非線性力學特征分析將失去意義。

(4) 經(jīng)端點效應處理后的HHT以蘊涵在結(jié)構(gòu)動力響應本征振動模態(tài)中的波內(nèi)調(diào)節(jié)機制來描述體系非線性力學行為。這種波內(nèi)調(diào)節(jié)機制將使相應的IMF的瞬時頻率產(chǎn)生波動，并必然導致體系動力響應的Hilbert能量譜中出現(xiàn)“頻帶展寬”和“主導頻率飄移”的現(xiàn)象。

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AprocessmethodforendeffectsofHHTbasedondata/extremasymmetricalextensionanditsapplication

WUChen1,2,XIANGHong1,2,DUXipeng1,2

(1.SchoolofCivilEngineering,FujianUniversityofTechnology,Fuzhou350118,China;2.FujianProvincialKeyLaboratoryofAdvancedTechnologyandInformatizationinCivilEngineering,Fuzhou350118,China)

End effects appear in EMD decomposition because an end point is not an extreme point and the requirements of spline interpolation can not be met. End effects are produced in Hilbert transform due to the convolution calculation and the energy leakage of Fourier transform. In this paper, a data/ extrema symmetrical extension method was proposed to solve the problem. Using end data symmetrical extension, the end swings resulted from EMD and Hilbert transform could be released to the outside of the data. Through extrema symmetrical extension, the shape of the cubic spline envelope curve was further controlled and the envelope curve of the original data was more accurate. The simulation demonstrates the effectiveness of the method. When this method is applied to the structural dynamic non-linear characteristics analysis, clear physical meaning and two non-linear mechanical characteristics including "frequency band extension" and "main frequency drift" can be described accurately.

Hilbert-Huang transforms; end data; extrema; symmetrical extension; non-linear mechanical characteristics

國家自然科學基金項目(51108083)；福建省自然科學基金項目(2015J01631)；福建省高校新世紀優(yōu)秀人才支持計劃項目(GYZ-160144)；福建工程學院科研發(fā)展基金(GYZ-160126)

2016-06-23 修改稿收到日期： 2016-09-15

吳琛 女，博士，教授，碩士生導師，1978年生

TN911.72; TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.028