首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院100048 覃淋

例談?lì)惐确ㄔ跀?shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院100048 覃淋

將“楊輝三角”與類(lèi)比法相結(jié)合,討論了三個(gè)著名的問(wèn)題,并給出了比較簡(jiǎn)潔的計(jì)算方法.最后從現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的角度討論了類(lèi)比法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.

楊輝三角;類(lèi)比;應(yīng)用

楊輝三角,又稱(chēng)賈憲三角,國(guó)外通常稱(chēng)為帕斯卡三角形,是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》(1261)中,記載了賈憲的著作—《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》里面的大部分內(nèi)容.其中有一張稱(chēng)為“開(kāi)方作法本源”的圖,根據(jù)楊輝的記述,賈憲的高次開(kāi)方法即以此為基礎(chǔ).下圖是我國(guó)數(shù)學(xué)家朱世杰《四元玉鑒》中的“古法七乘方圖”.[1]

圖1

圖2

關(guān)于楊輝三角的性質(zhì),已有很多的討論[2-5],這里我們從類(lèi)比的角度,來(lái)討論楊輝三角的應(yīng)用.類(lèi)比法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)發(fā)明的重要方法之一,比如將直角三角形與四面體進(jìn)行類(lèi)比,可以得到三維空間里的“勾股定理”;通過(guò)二維與高維空間的類(lèi)比,將基本不等式和柯西不等式推廣到了n維.歷史上最著名的類(lèi)比,當(dāng)屬歐拉求的和的類(lèi)比,對(duì)于此,波利亞在其著作《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中有詳細(xì)的論述.

類(lèi)比是某種類(lèi)型的相似,我們可以說(shuō)它是一種更確定的和更概念性的相似[6].簡(jiǎn)單地說(shuō),類(lèi)比就是兩類(lèi)事物具有類(lèi)似的關(guān)系,是一種從特殊到特殊的推理方法,建立在兩類(lèi)事物或?qū)ο缶哂邢嗨菩缘幕A(chǔ)上的.實(shí)際上,在數(shù)學(xué)中,處處都有類(lèi)比的身影,數(shù)學(xué)中的同構(gòu)實(shí)質(zhì)上也是一種類(lèi)比,兩個(gè)同構(gòu)的事物,具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,那它們就可能有著保持某些關(guān)系不變的規(guī)律[7].

這里通過(guò)如下三個(gè)問(wèn)題：1.剖分?jǐn)?shù)問(wèn)題,即討論點(diǎn)分直線、直線分面、面分空間的問(wèn)題;2.高維空間單位立方體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、“面”數(shù)問(wèn)題;3.自然數(shù)冪和問(wèn)題,來(lái)說(shuō)明類(lèi)比法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

1 剖分?jǐn)?shù)問(wèn)題

這里我們討論點(diǎn)分直線、直線分面、平面分空間這三個(gè)小問(wèn)題.

(1)直線上n個(gè)點(diǎn)至多將一條直線分成多少部分?

(2)平面上n條直線至多將一個(gè)平面分成多少部分?

(3)空間中n個(gè)平面至多將空間分成多少部分?

為敘述方便,將以上三個(gè)問(wèn)題分別稱(chēng)為“點(diǎn)分線”、“線分面”、“面分體”,然后再把最后分得的數(shù)目分別記為L(zhǎng)n,Sn,Vn.

分析 (1)這是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題,只要任意兩點(diǎn)不重合,那么n個(gè)點(diǎn)將一條直線分為n+1部分.作如下處理：

(2)要使得直線將平面分塊最多,必然是任意兩直線相交,且沒(méi)有三直線共點(diǎn).當(dāng)n=0時(shí),S0=1;n=1時(shí),S1=2;n=2時(shí),S2=4;n=3時(shí),S3=7;n=4時(shí),S4=11;...

實(shí)際上,每增加一條直線ln時(shí),它就被原來(lái)的n-1條直線分成了n段;而這n段中的每一段又把原來(lái)的一個(gè)平面區(qū)域分割成兩部分,也就是說(shuō),增加了n個(gè),那么有：Sn=Sn-1+n,此時(shí),

(3)要使“面分體”份數(shù)最多,即要求沒(méi)有2個(gè)面平行,沒(méi)有三個(gè)面共線,也沒(méi)有4個(gè)平面共點(diǎn).那么,當(dāng)n=0時(shí),V0=1;n=1時(shí),V1=2;n=2時(shí),V2=4;n=3時(shí),V3=8;n=4時(shí),V4=15;...

我們知道,原來(lái)的n-1個(gè)平面把空間分為Vn-1塊,再添加一個(gè)平面,它與原來(lái)的n-1個(gè)平面有n-1條交線;那么新添的這個(gè)平面被分成Sn-1部分,這Sn-1中的每一部分又把一空間塊分成2塊,因此,Vn=Vn-1+Sn-1.此時(shí)：

將上面的結(jié)果整理,得到

_________________________________分成幾部分分割元素的個(gè)數(shù)__________________ _________ _ _______點(diǎn)分線 線分面__ ____面分體____ _________________ ___ ___01___ _____1_____ ______1______ _________________ ___ ___12___ _____2_____ ______2______ _________________ ___ ___23___ _____4_____ ______4______ __________________ ___ 3 4___ _____7_____ ______8______ _________________ ___ ___45____ ____11____ ______15_____ _________________ ___ ___56____ ____16____ ______26_____ _________________ __……___ ____…____ ______…_____ __________________ _ nn+1__ _Sn-1+n_ _Vn-1+Sn-1__

圖3

根據(jù)上面的分析,類(lèi)比楊輝三角,得到了一個(gè)類(lèi)似楊輝三角的圖,我們稱(chēng)之為“楊輝式”三角(圖3).對(duì)比左邊的表格,斜著看右邊的圖,容易知道：第一“行”就是n=0時(shí)的情況,第二行是n=1時(shí)的結(jié)果,以此類(lèi)推.

楊輝三角內(nèi)的每一個(gè)數(shù)等于它左肩數(shù)與右肩上的數(shù)字之和.這里可以發(fā)現(xiàn)與之類(lèi)似的規(guī)律：從第二行起,每一個(gè)數(shù)等于其正上方與右肩上數(shù)字之和.如15=7+8,11=4+7,若規(guī)定則有以下結(jié)論注意這里并沒(méi)有要求n≥r.

2 高維空間立方體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)問(wèn)題

一般來(lái)說(shuō),維數(shù)超過(guò)3的高維空間中“立方體”的結(jié)構(gòu)及其特征是比較難以想象的,因?yàn)樵趯?shí)際生活中無(wú)法找到這樣的實(shí)例,而楊輝三角則為我們開(kāi)啟了一扇透視高維空間的窗.將點(diǎn)、單位線段、單位正方形、單位正方體的所含點(diǎn)、線、面、體的個(gè)數(shù)做成下表(這里將點(diǎn)看作是0維的)：

_維___ _數(shù) 頂點(diǎn)數(shù)_ _棱數(shù)_ _面數(shù)_ _三維面_ _四維面_ _五維面..._ ______ ____ 01____ ______ _______ _________ _________ ___________ ______ ____ 12___ ___1___ ______ _________ _________ ___________ ______ ____ 24___ ___4___ __1___ ________ _________ ____________ ______ ____ 38____ __12__ ___6__ ____1____ ________ ____________ ______ ___416___ __32__ __24__ ____8___ ____1____ ___________ ______ _________ _______ ______ _________ _________ ___________ _5 ...

可以發(fā)現(xiàn),頂點(diǎn)數(shù)的規(guī)律是2k,棱數(shù)為低一維的頂點(diǎn)數(shù)加上低一維棱數(shù)的2倍,即4=2+1×2,12=4+4×2,32= 8+12×2.類(lèi)比楊輝三角,寫(xiě)成下面的形式,規(guī)律就更明顯了.

顯然,這里有和楊輝三角類(lèi)似的性質(zhì),下一行的數(shù)為它的左肩上的數(shù)與右肩上數(shù)的2倍之和,那么據(jù)此可以得出任意維“立方體”頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)、三維面、四維面等的個(gè)數(shù)了.

這里還有一個(gè)值得注意的有趣現(xiàn)象,即這里每一行的數(shù)均為(2x+1)n展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù).如當(dāng)n=4時(shí),對(duì)應(yīng)的就是4維“立方體”,展開(kāi)每一項(xiàng)系數(shù)分別為和上面第五行是完全對(duì)應(yīng)的.由此,討論高維空間中的點(diǎn)、線、面、體的個(gè)數(shù)問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單了.

3 自然數(shù)冪和問(wèn)題

所謂自然數(shù)冪和問(wèn)題,是指

的求和問(wèn)題.中學(xué)遇到的是k=1,2,3的三種情形,對(duì)于這三種比較簡(jiǎn)單的情形,方法比較多.波利亞的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書(shū)中就給出了多種解法,文獻(xiàn)[8]在《二次冪和十一法》一文中給出了二次冪和的十一種求法.這里,我們通過(guò)類(lèi)比楊輝三角給出一種簡(jiǎn)便的方法.

另外,易得到以下結(jié)論：

同樣的,

現(xiàn)在作一張“楊輝式”三角表,

斜著看,很容易發(fā)現(xiàn),第二列下一個(gè)數(shù),是其左肩上數(shù)的2倍與右肩的數(shù)之和;第三列下一個(gè)數(shù)是其左肩上數(shù)的3倍與右肩的數(shù)之和.這和楊輝三角的規(guī)律是類(lèi)似的,以此類(lèi)推.通過(guò)此表可以很容易的求出任意次冪的自然數(shù)和.

比如,我們可以容易的得到S7的表達(dá)式

綜上,我們將運(yùn)用類(lèi)比的方法并結(jié)合楊輝三角比較簡(jiǎn)潔的解決了三個(gè)問(wèn)題.管中窺豹,可以看出,類(lèi)比法是一種非常適用而且有用的方法.“看起來(lái)類(lèi)比推斷是最普遍的推論方法,也許是最重要的一種”.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中,在對(duì)命題的推廣引申,類(lèi)比思維具有不可忽視的重要作用.因此,教師在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)該有意或無(wú)意的向?qū)W生“滲透”類(lèi)比的思想.

很多時(shí)候,在解決一些題目時(shí),我們總會(huì)想到以前成功解決的類(lèi)似題目,這實(shí)際上就是一種類(lèi)比.不僅如此,類(lèi)比法還滲透到許多方面,在各種不同層次上得到運(yùn)用.中國(guó)古代第一篇專(zhuān)門(mén)論述教育與教學(xué)問(wèn)題的專(zhuān)著——《學(xué)記》,也提到“故君子之教,喻也.”這里的“喻”就是打比方、舉例子,本質(zhì)上就是一種類(lèi)比.對(duì)于類(lèi)比的重要性,開(kāi)普勒的一句話是一個(gè)很好的評(píng)價(jià),“我珍視類(lèi)比勝于任何別的東西,它是我最可信賴(lài)的老師”.

從心理學(xué)的角度看,類(lèi)比思維的核心是通過(guò)一個(gè)映射的過(guò)程,將知識(shí)從一種情境轉(zhuǎn)化到另一種情境,在兩種信息的主要方面找到一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.并將已經(jīng)得到解決的問(wèn)題稱(chēng)為“源問(wèn)題”(source problem),將待解決的問(wèn)題稱(chēng)為“靶問(wèn)題”(target problem).而類(lèi)比就是要找到“源問(wèn)題”和“靶問(wèn)題”之間的關(guān)系,并將用于解決“源問(wèn)題”的方法經(jīng)過(guò)適當(dāng)變化用于解決“靶問(wèn)題”.

最后,需要強(qiáng)調(diào)的是,并不是任何時(shí)候的類(lèi)比得到的結(jié)果都是正確的.類(lèi)比推理得到的結(jié)論具有或然性.下面即是一例,級(jí)數(shù)

收斂,

現(xiàn)在

作簡(jiǎn)單變形,

這里L(fēng)顯然是不為0的,但卻得到了2L=L,錯(cuò)在哪里?

[1]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京：高等教育出版社,2011.

[2]王雄偉.楊輝三角數(shù)字排列的一些性質(zhì) [J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊, 2005(5)：28-29.

[3]李國(guó)興.楊輝三角的一個(gè)有趣性質(zhì)[J].西北輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2000, 18(2)：107-108.

[4]胡恩良,朱維宗.楊輝三角形中的幾條組合性質(zhì)[J].云南民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2002,11(3)：132-135.

[5]劉天亮,張利民.楊輝三角形的若干性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2007,37(1)：116-120.

[6]G.波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京：科學(xué)出版社,2001.

[7]G.波利亞.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?2007.

[8]汪曉勤.二次冪和十一法[J].中學(xué)教研,2001(10)：38-41.