山西

石有山

講方法，挖模型，提能力。

圖象在追及和相遇問題中的應(yīng)用

石有山

追及和相遇問題是一類常見的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。用圖象來描述兩個(gè)物理量之間的關(guān)系，是物理學(xué)中常用的方法，是一種直觀且形象的語言和工具。它運(yùn)用數(shù)和形的巧妙結(jié)合，恰當(dāng)?shù)乇磉_(dá)各種現(xiàn)象的物理過程和物理規(guī)律。相遇問題在位移—時(shí)間圖象和速度—時(shí)間圖象中有具體的體現(xiàn)，其他類型的運(yùn)動(dòng)圖象也可以獲取信息解決追及和相遇問題。

一、位移—時(shí)間圖象

若兩物體從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一直線運(yùn)動(dòng)，則x-t圖象下的交點(diǎn)坐標(biāo)表示兩物體相遇。

圖1

【例1】如圖1所示，直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位置—時(shí)間(x-t)圖線。由圖可知

( )

A.在時(shí)刻t1，a車追上b車

B.在時(shí)刻t2，a、b兩車運(yùn)動(dòng)方向相反

C.在t1到t2這段時(shí)間內(nèi)，b車的速率先減少后增加

D.在t1到t2這段時(shí)間內(nèi)，b車的速率一直比a車的大

【解析】由x-t圖線分析可知，t1時(shí)刻b車追上了a車，A項(xiàng)錯(cuò)誤；x-t圖線斜率的正負(fù)表示運(yùn)動(dòng)方向，t2時(shí)刻a車沿正方向運(yùn)動(dòng)，b車沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，B項(xiàng)正確；x-t圖線斜率的大小表示速度大小，t1到t2這段時(shí)間內(nèi)曲線b斜率先減小后增加，C項(xiàng)正確、D項(xiàng)錯(cuò)誤。

【答案】BC

【點(diǎn)評(píng)】在t1時(shí)刻x-t圖象下兩圖線相交，是相遇，但b車速度大于a車，b車追上a車，要注意x-t圖象的斜率意義。

二、速度—時(shí)間圖象

圖2

若兩物體從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一直線運(yùn)動(dòng)，則v-t圖象與橫軸所圍面積相等表示兩物體相遇。

【例2】甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其v-t圖象如圖2所示。已知兩車在t=3 s時(shí)并排行駛，則

( )

A.在t=1 s時(shí)，甲車在乙車后

B.在t=0時(shí)，甲車在乙車前7.5 m

C.兩車另一次并排行駛的時(shí)刻是t=2 s

D.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40 m

【答案】BD

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于兩車不是從同一地點(diǎn)出發(fā)的情景，因此相遇時(shí)v-t圖象與橫軸所圍面積的差值表示t=0 s時(shí)，甲乙兩車的間距。

圖3

( )

A.兩物體在t1時(shí)刻加速度相同

B.兩物體在t2時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方向均改變

C.兩物體在t3時(shí)刻相距最遠(yuǎn)，t4時(shí)刻相遇

D.0～t4時(shí)間內(nèi)甲物體的平均速度等于乙物體的平均速度

【解析】?jī)晌矬w在t1時(shí)刻加速度方向相反，A項(xiàng)錯(cuò)誤；兩物體均做單方向的直線運(yùn)動(dòng)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；兩物體在t3時(shí)刻速度相等，距離有極值，兩物體相距最遠(yuǎn)，0～t4時(shí)間內(nèi)，兩圖線與t軸所圍面積大小相等，即兩物體在t4時(shí)刻相遇，C項(xiàng)正確；0～t4時(shí)間內(nèi)兩物體位移相等，平均速度相等，D項(xiàng)正確。

【答案】CD

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于兩物體從同一地點(diǎn)開始沿同一方向運(yùn)動(dòng)的相遇問題，圖象與t軸所圍面積大小相等，表示兩物體相遇，速度相等，即v-t圖的交點(diǎn)坐標(biāo)表示兩物體距離有極值。

三、加速度—時(shí)間圖象

若兩物體初始速度相同，在同一直線上運(yùn)動(dòng)，則a-t圖線下的面積相等表示兩物體速度相等，兩物體間距有極值。

【例3】甲、乙兩車從同一地點(diǎn)沿相同方向由靜止開始做直線運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的加速度隨時(shí)間的變化圖象如圖4所示。關(guān)于兩車的運(yùn)動(dòng)情況，下列說法正確的是( )

圖4

A.在0～4 s內(nèi)甲車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)

B.在0～2 s內(nèi)兩車間距逐漸增大，2～4 s內(nèi)兩車間距逐漸減小

C.在t=2 s時(shí)甲車速度為3 m/s，乙車速度為4.5 m/s

D.在t=4 s時(shí)甲車恰好追上乙車

【答案】C

【點(diǎn)評(píng)】由a-t圖線下面積相等，再根據(jù)初速度相等，可得兩車速度相等，能直接得到距離最大的時(shí)刻，但不能直接得到相遇的時(shí)刻。

四、其他圖象

其他類圖象不能直接分析相遇和距離極值，但可從圖象得到有關(guān)信息，分析追及和相遇問題。

【例4】在平直公路上有甲、乙兩輛汽車同時(shí)從同一位置沿著同一方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，它們速度的平方隨位移變化的圖象如圖5所示，則

( )

圖5

A.甲車的加速度比乙車的加速度大

B.在位移x=0.5 m處甲乙兩車的速度相等

C.在位移x=0.5 m處甲乙兩車相遇

D.在時(shí)間t=2 s末甲乙兩車相遇

【答案】ABD

【點(diǎn)評(píng)】從圖象中獲取有用信息作為解題的條件，弄清試題中圖象所反映的物理過程及規(guī)律，從中獲取有效信息，利用速度的平方隨位移變化圖象的斜率表示加速度的2倍是解決問題的關(guān)鍵。

【變式】隨著機(jī)動(dòng)車數(shù)量的增加，交通安全問題日益凸顯，分析交通違法事例，將警示我們遵守交通法規(guī)，珍惜生命。如圖6所示為某型號(hào)車緊急制動(dòng)時(shí)(假設(shè)做勻減速直線運(yùn)動(dòng))的v2-x圖象(v為貨車的速度，x為制動(dòng)距離)，其中圖線1為滿載時(shí)符合安全要求的制動(dòng)圖象，圖線2為嚴(yán)重超載時(shí)的制動(dòng)圖象。某路段限速72 km/h，該型號(hào)貨車滿載時(shí)以72 km/h速度正常行駛，發(fā)現(xiàn)前方x0=25 m處有一電動(dòng)自行車以10 m/s的速度勻速同向行駛，駕駛員立即制動(dòng)，若駕駛員從發(fā)現(xiàn)險(xiǎn)情到采取緊急制動(dòng)措施的反應(yīng)時(shí)間為1 s，則:

圖6

(1)通過計(jì)算說明滿載時(shí)貨車會(huì)不會(huì)撞上電動(dòng)自行車；

(2)其他條件不變，通過計(jì)算說明嚴(yán)重超載時(shí)貨車會(huì)不會(huì)撞上電動(dòng)自行車。

【解析】(1)由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式：

2ax=0-v2

由圖示圖象可得：滿載時(shí)，加速度為a1=-5 m/s2

嚴(yán)重超載時(shí)加速度為a2=-2.5 m/s2

該型號(hào)貨車滿載時(shí)以72 km/h=20 m/s速度正常行駛時(shí)

勻速位移x1=v0t1=20 m

勻減速到與電動(dòng)車速度相等時(shí)貨車經(jīng)過的時(shí)間