■江蘇省張家港職業(yè)教育中心校 韓文美

優(yōu)化策略，巧妙解題
——解三角形

■江蘇省張家港職業(yè)教育中心校 韓文美

學(xué)習(xí)解三角形內(nèi)容時(shí),我們要通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并利用它們解決一些簡(jiǎn)單三角形度量問(wèn)題及一些與測(cè)量和計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。該部分是每年高考中的基本考點(diǎn)之一,大都運(yùn)算量大、公式應(yīng)用多,這就要求我們不僅應(yīng)具有較高的計(jì)算水平、較強(qiáng)的運(yùn)算能力,還應(yīng)善于審題,采用相應(yīng)的策略,優(yōu)化解題過(guò)程。

一、特殊策略，拓廣應(yīng)用

分析：若采用常規(guī)方法通過(guò)解三角形思維來(lái)求解,難度比較大,計(jì)算量也大,而用特殊的正三角形來(lái)代替一般的任意三角形,可以快速做出正確的選擇。

解：不妨將△ABC看作正三角形,這時(shí)AB+AC=6,B=,前三個(gè)選項(xiàng)都不符合,僅有選項(xiàng)D符合,故答案為D。

點(diǎn)評(píng):對(duì)于一般性的數(shù)學(xué)填空題、選擇題,如果解答過(guò)程較復(fù)雜,不妨從一般性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到特殊性的問(wèn)題上來(lái),通過(guò)特例分析,往往能獲得解題的重要信息,達(dá)到簡(jiǎn)化思維過(guò)程、降低運(yùn)算難度的目的。

二、整體策略，代入應(yīng)用

分析：根據(jù)余弦定理得到a2+b2-c2=2abcosC,整體代入已知的關(guān)系式,結(jié)合三角形的面積公式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用。

解：由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得a2+b2-c2=2abcosC。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查余弦定理,三角形的面積公式及應(yīng)用等。通過(guò)解三角形中的相關(guān)公式加以整體代入,可使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)潔明快,簡(jiǎn)化解答過(guò)程。

三、方程策略，轉(zhuǎn)化應(yīng)用

分析：分別利用正弦定理與余弦定理,利用相應(yīng)的關(guān)系式建立相應(yīng)的方程,通過(guò)求解方程的解并結(jié)合實(shí)際條件來(lái)確定邊長(zhǎng)之間的關(guān)系,進(jìn)而判斷三角形的形狀。

又因?yàn)?a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,則4b2-c2=3b2,所以b=c。

所以a=b=c,因此△ABC為等邊三角形。

點(diǎn)評(píng):通過(guò)三角形中的邊與角等信息關(guān)系,可利用正弦定理與余弦定理綜合來(lái)解決相關(guān)三邊之間的關(guān)系問(wèn)題。在處理一些綜合的三角形問(wèn)題中,可以通過(guò)方程策略的建立,綜合三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)、正弦定理與余弦定理、三角形面積公式等進(jìn)行求解。

四、數(shù)形策略，直觀應(yīng)用

分析：由于三角形有唯一解,通過(guò)數(shù)形結(jié)合,可利用三角形的圖像加以直觀轉(zhuǎn)化,結(jié)合三角形的情況確定對(duì)應(yīng)的解。

解：三角形有唯一解時(shí),即由a,b,A只能畫(huà)唯一的一個(gè)三角形,如圖1所示。

當(dāng)CB1⊥AB1時(shí),△ABC 唯一確定,可得a=bsinA=6。

當(dāng)CB2≥CA時(shí),此時(shí)△ABC唯一確定,可得a≥b=43。

綜合可得a=6或a≥43。

點(diǎn)評(píng):本題考查解三角形及其應(yīng)用。直接利用解三角形的相關(guān)公式加以求解反而無(wú)法下手,而通過(guò)數(shù)形結(jié)合,利用三角形的圖像加以直觀確定則易求解。此外,還要注意分類(lèi)討論思維的應(yīng)用。

圖1

五、反證策略，正反應(yīng)用

A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形

B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形

C.△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形

D.△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2C2是鈍角三角形

分析：直接采用常規(guī)方法來(lái)處理,無(wú)從下手,而采用反證法策略,通過(guò)正難則反思維來(lái)分析,可以巧妙轉(zhuǎn)化,達(dá)到正確判斷的目的。

解：因?yàn)檎抑翟?0,π)內(nèi)是正值,所以△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0,因此△A1B1C1是銳角三角形。

所以原假設(shè)不成立,即△A2B2C2是鈍角三角形,故答案為D。

點(diǎn)評(píng):本題涉及兩個(gè)三角形的形狀的關(guān)系與判斷問(wèn)題,難度較大,比較難下手。正面求解思路不明顯且不易操作,借助于反證法間接地將問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化,可達(dá)到順利解決問(wèn)題的目的。

六、極限策略，動(dòng)感應(yīng)用

分析：直接分析求解難度不小,而通過(guò)角的變化帶動(dòng)點(diǎn)的變化,以極限策略來(lái)分析,可以很快確定答案。

解：若∠A→0,點(diǎn)C→點(diǎn)A,此時(shí)有h→0,c→a,則∠C→180°,∠A→0。

點(diǎn)評(píng):通過(guò)∠A的變化極限分析過(guò)程,分析對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C的變化情況,伴隨對(duì)應(yīng)h的變化,從而判斷對(duì)應(yīng)∠C的變化情況,代入關(guān)系式就可得對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值。本題若直接運(yùn)用三角公式或正、余弦定理處理,很難找到解題思路。

涉及解三角形的問(wèn)題是每年高考的必考考點(diǎn)之一,要做到規(guī)避大運(yùn)算量與多數(shù)學(xué)公式等問(wèn)題,就要求我們不僅具有較高的運(yùn)算水平和較強(qiáng)的運(yùn)算能力,還應(yīng)善于審題,采用相應(yīng)的策略減少運(yùn)算量,提高解題效益。

(責(zé)任編輯 徐利杰)