運(yùn)用要素分解法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念

張娟萍

【摘要】通過要素分析促進(jìn)學(xué)生明晰概念本質(zhì)、厘清知識(shí)點(diǎn)性質(zhì)，使概念結(jié)構(gòu)化；進(jìn)一步分解問題要素，從而尋找解決問題的路徑；并且根據(jù)概念的基本要素編制數(shù)學(xué)問題。

【關(guān)鍵詞】要素分解法；數(shù)學(xué)概念；概念學(xué)習(xí)

【中圖分類號(hào)】G612 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）14-0180-01

一個(gè)概念、一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或者一個(gè)數(shù)學(xué)問題是一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)，它由幾個(gè)基本要素構(gòu)成，在學(xué)習(xí)時(shí)，把這些基本的要素分解出來，本書稱之為要素分解法， 通過要素分解，學(xué)生理解該知識(shí)點(diǎn)涉及哪些因素及其之間的關(guān)系，有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的把握、促進(jìn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化、促進(jìn)問題解決的路徑探究。概念的結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)化、知識(shí)點(diǎn)的性質(zhì)探索、問題解決路徑及建模、綜合問題的求解都是從要素的角度進(jìn)行分析，抓住了要素就相當(dāng)于牽牛抓住了牛鼻子。每個(gè)數(shù)學(xué)概念、定理、公式、數(shù)學(xué)問題的得出和解決，都是在見樹木更見森林、見森林至見樹木的狀況。通過要素分析促進(jìn)知識(shí)學(xué)習(xí)，明晰概念本質(zhì)、促進(jìn)概念結(jié)構(gòu)化；厘清知識(shí)點(diǎn)性質(zhì)；進(jìn)一步分解問題要素，從而尋找解決問題的路徑；根據(jù)知識(shí)要素可以編制數(shù)學(xué)問題。

一、要素分解法探究概念本質(zhì)

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式。人類在認(rèn)識(shí)過程中，把所感知的事物的共同本質(zhì)特點(diǎn)抽象出來加以概括，形成概念?！案拍睢笔菍?duì)特征組合而形成的知識(shí)單元。

（一）要素分解明晰概念本質(zhì)

概念也是命題的基本元素，數(shù)學(xué)中的命題是“判斷一件事情”的語句，由“條件”和“結(jié)論”這些要素組成，數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、性質(zhì)、法則、定理都是數(shù)學(xué)命題。反映的是“條件”和“結(jié)論”各個(gè)要素之間的關(guān)系。

表達(dá)概念的語言形式是反映這些要素的詞或詞組。如數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向的直線。原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向、直線是數(shù)軸概念的四個(gè)要素；商不變性質(zhì)的要素：同時(shí)、同乘或除、相同的非零數(shù)或式。函數(shù)概念要素：兩個(gè)變量、一個(gè)隨另一個(gè)確定而確定。

概念教學(xué)的時(shí)候就是要學(xué)生厘清概念的這些基本要素。例如“三角形的概念”的教學(xué)片段中，探究什么是三角形，學(xué)生根據(jù)其默會(huì)知識(shí)首先反應(yīng)是：三個(gè)角。老師在黑板上畫三個(gè)角。學(xué)生發(fā)現(xiàn)要“連”起來。但是角是無法連接的——連的是線，老師在連線時(shí)讓端點(diǎn)落在第一條線段上或者線段外，結(jié)果學(xué)生發(fā)現(xiàn)不對(duì)，要落在第一條線的端點(diǎn)上。于是總結(jié)出三角形概念的三個(gè)要素：三條線段、順次、首尾連接。師、生在不斷質(zhì)疑、比照中澄清概念所涵蓋的要素本質(zhì)。再比如“一元二次方程”這個(gè)概念，先讓學(xué)生根據(jù)生活情境中的事例列出若干方程，將學(xué)生列出的一元二次方程，板書在一塊。讓學(xué)生觀察這些方程，并進(jìn)行分類，說出分類的依據(jù)和其特點(diǎn)：①它是整式；②它只含有一個(gè)未知數(shù)；③化簡(jiǎn)后，未知數(shù)的最高次數(shù)是2。再讓學(xué)生觀察，比較兩類方程，說出它之間的區(qū)別；④都是等式。就這樣，學(xué)生通過生活實(shí)際問題和操作，用自己的語言概括了一元二次方程的四個(gè)要素，形成和建構(gòu)概念。

概念具有判定特征。判斷一個(gè)數(shù)學(xué)概念、解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題，最終回歸到概念的本質(zhì)要素。比如，作三角形的高（很多學(xué)生對(duì)于鈍角頂點(diǎn)作的高會(huì)有困難），首先找到點(diǎn)（三角形的一個(gè)頂點(diǎn)），再找到這個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)的直線（三角形這個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)的邊），根據(jù)直線外點(diǎn)作直線的垂線這個(gè)基本作圖模型，由這個(gè)點(diǎn)向這個(gè)邊所在直線做垂線。再比如要判斷一個(gè)代數(shù)式是不是函數(shù)，根據(jù)函數(shù)概念的兩個(gè)要素：兩個(gè)變量x、y，一個(gè)變量y隨另一個(gè)變量x確定而確定。

（二）要素分解促進(jìn)概念結(jié)構(gòu)化

任一數(shù)學(xué)概念都由若干要素所構(gòu)成的節(jié)點(diǎn)，而這些構(gòu)成某個(gè)概念的要素中的一部分又可以用于構(gòu)成其他概念或者與其它數(shù)學(xué)概念中的一些要素產(chǎn)生聯(lián)系，從而使數(shù)學(xué)概念之間產(chǎn)生聯(lián)系。概念聯(lián)系不僅僅包括不同概念之間的聯(lián)系，而且還包括同一概念自身的聯(lián)系，在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為同一概念的內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)、同一概念和各種等價(jià)表示之間的聯(lián)系以及與具體模型相聯(lián)系的外部表示之間的抽象。啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容要素之間聯(lián)系，使現(xiàn)學(xué)概念與已學(xué)概念之間構(gòu)建聯(lián)系，深入新概念本質(zhì)，同時(shí)形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。知識(shí)結(jié)構(gòu)化是指根據(jù)知識(shí)要素之間的關(guān)聯(lián)性和共同特征，把所學(xué)知識(shí)形成知識(shí)組塊，進(jìn)而形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程。知識(shí)結(jié)構(gòu)，是各知識(shí)點(diǎn)要素之間相互關(guān)聯(lián)和同一個(gè)要素相互重疊、交叉或補(bǔ)充形成的。將這些知識(shí)要素進(jìn)行分析、歸納，按其內(nèi)在聯(lián)系，分門別類，納入相應(yīng)的“知識(shí)庫(kù)”中，使之結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，形成網(wǎng)絡(luò)。

美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，記憶保持的重要問題不是貯存而是“如何把用到的知識(shí)易于提取”，“易于提取”的關(guān)鍵又在于“對(duì)知識(shí)的組織”。他認(rèn)為“學(xué)到的知識(shí)越是基本，幾乎歸結(jié)為定義，則它對(duì)新問題的適用性就越寬廣”。因此掌握知識(shí)的人要善于把所掌握的知識(shí)結(jié)構(gòu)化處理，到需要時(shí)能隨意提取。在知識(shí)的應(yīng)用、解決問題的過程中，是整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)在起作用。例如，特殊四邊形邊角的要素特征：邊相等、邊平行；角相等、角90°，不同組合得到不同的特殊四邊形，從而形成特殊四邊形的相互關(guān)系。

二、要素分解探索數(shù)學(xué)概念的性質(zhì)

比如，圓心角定理：在同圓或等圓中，圓心角、圓周角、弦、弧、弦心距、弦切角等要素中，有一個(gè)量與同圓或等圓中對(duì)應(yīng)的量相等，可以得到另外的對(duì)應(yīng)的要素都相等。

已知，如圖1，∠AOB=∠A'O'B'，那么∠ACB=A'C'B'；OE=O'E'；AB=A'B'；弧AB=弧A'B'；∠COB=C'O'B'

比如，垂徑定理：過圓心、垂直于弦、平分弦，平分弦所對(duì)的弧，這四個(gè)要素中任意2個(gè)作為條件就可以得到剩下的要素成立。這樣可以得到6個(gè)命題，同時(shí)可以根據(jù)：半徑、半弦、圓心角、弦心距的相關(guān)量（如圖2）。

再比如，四邊形的要素有：邊、角、對(duì)角線。邊有數(shù)量關(guān)系（相等）和位置關(guān)系（平行）；角有相等和互補(bǔ)兩種關(guān)系；對(duì)角線有平分、相等和垂直等特征，把特征元素進(jìn)行混搭?？梢缘玫胶芏嘟M合。如下表得到判斷特殊四邊形的成百上千種方法：

例如，表中平行四邊形10個(gè)要素，一個(gè)四邊形具備兩個(gè)特征條件判斷平行四邊形，則可以得到平行四邊形的判定方法（命題）10×9種，排除條件的順序應(yīng)該有45種；同理，平行四邊形再加一個(gè)矩形的特征條件（2個(gè)），判斷矩形命題有45×5種；判斷菱形（菱形有三個(gè)特征條件）的方法90×5種；判斷正方形的方法90×5×5。所有命題都可以通過證明和舉反例來確定它是否為真命題，例如“一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等可能得到等腰梯形而不一定是平行四邊形”。

根據(jù)要素分解法，對(duì)于特殊四邊形的認(rèn)識(shí)就完全突破了教材關(guān)于特殊四邊形判定和性質(zhì)的局限了。

中位線相關(guān)概念的幾個(gè)要素：一邊上的中點(diǎn)、另一邊上的中點(diǎn)、中位線、平行于第三邊、等于第三邊的一半。比如，△ABC中，D是中點(diǎn)①；E是中點(diǎn)②；DE是中位線③；DE//BC④；DE=BC⑤。

五個(gè)要素中，任意兩個(gè)組合①②、①（②）③、①（②）④、①（②）⑤、③④、③⑤、④⑤，可以得到10個(gè)命題，其中，可判定①（②）④不能成立。

就像細(xì)胞是構(gòu)成生物體的基本單位一樣，零件組成了機(jī)器，這些基本的要素組成了數(shù)學(xué)知識(shí)和結(jié)構(gòu)。

三、要素分解應(yīng)用概念

在解決問題時(shí)，首先是分解相關(guān)概念的要素，尤其是復(fù)雜問題。比如，解關(guān)于x的方程，|x-1|+|x-3|=a，這是對(duì)于初一的學(xué)生來說是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題，很多學(xué)生無從下手。可以啟發(fā)學(xué)生，由|x-1|聯(lián)想考慮絕對(duì)值概念的要素，有三個(gè)方面。

①②。|a|=±a③。在數(shù)軸上表示，x到1的距離與x到3的距離之和。

于是可以得到三種解法：

解法一，根據(jù)x<1，13去掉絕對(duì)值，解方程。

解法二，根據(jù)②，去掉絕值得到+、—的4個(gè)方程。

解法三，根據(jù)數(shù)軸上到兩點(diǎn)1和3的距離之和必大于或等于2，得到a大于或等于2，a等于2時(shí)得到1≤x≤3；當(dāng)a大于2時(shí)分別求得2個(gè)點(diǎn)的值。

再如，根據(jù)中位線的要素，可以涉及到解決一下問題：多中點(diǎn)問題、求平行位置關(guān)系問題、倍半關(guān)系問題等。

（1）多中點(diǎn)問題；求平行、求線段長(zhǎng)問題

如圖3所示.△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H.①求證：GH∥BC；②若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH.

（2）已知或求證倍半關(guān)系問題

①已知：如圖4，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于，AF為∠BAC的平分線，交BD于E，BC于F.求證：OE=FC.

②已知：如圖5，D為△ABC的AB邊上的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，AE=2CE，BE和CD交于O。試說明：OE=BE

四、根據(jù)概念要素編制數(shù)學(xué)問題

比如，根據(jù)前面關(guān)于四邊形的要素以及它與其他知識(shí)的要素結(jié)合，可以編出不計(jì)其數(shù)的數(shù)學(xué)問題。

例，編一個(gè)平行四邊形判定的問題，由對(duì)邊平行且相等得到，對(duì)邊平行通過內(nèi)錯(cuò)角得到，而對(duì)邊相等可以用全等得，于是設(shè)計(jì)兩個(gè)有一條邊在一直線上且有公共部分的兩個(gè)全等三角形三角形。

題目表示為：_________；如希望這個(gè)四邊形是矩形，還需要什么條件？如果是正方形呢？要求學(xué)生畫出圖形。

“畫出圖形（圖6）”需要學(xué)生正真理解問題的本質(zhì)，并把理論條件（添加一個(gè)直角、添加鄰邊相等）轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題分析和操作，圖的畫法需要高度綜合分析和反饋評(píng)價(jià)并做出調(diào)整的要求。

本題編題進(jìn)一步開放，由學(xué)生畫兩個(gè)全等三角形△ABC與△DEF怎么放置，一般有兩種放置平移或?qū)ΨQ，平移放置后問題就直接得到了；對(duì)稱放置得到，發(fā)現(xiàn)整個(gè)圖本身是一個(gè)對(duì)稱圖，再要想得到平行四邊形（或者思考內(nèi)錯(cuò)角），考慮再對(duì)稱，兩次軸對(duì)稱就成了一次中心對(duì)稱，得到圖形。在整個(gè)構(gòu)圖的過程中，學(xué)生自己的嘗試條件的構(gòu)造，一些直覺操作方式其實(shí)隱含著數(shù)學(xué)規(guī)律本身在起著的作用，沿途有很多相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容參與。

再例如，要編一個(gè)判斷矩形的問題，用平行四邊形加一個(gè)直角判斷，平行四邊形可以由兩組對(duì)邊分別平行得到。其中一組對(duì)邊平行由“角平分線+等腰三角形”這一基本圖形得到；另一組對(duì)邊平行和直角，由“垂直于平行線的兩直線”得到，如圖7，編題如下，已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）添加什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？

在分析、架構(gòu)問題結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，根據(jù)所需要涉及的知識(shí)點(diǎn)要素，編制數(shù)學(xué)問題。讓學(xué)生體驗(yàn)由知識(shí)點(diǎn)到數(shù)學(xué)問題本質(zhì)過程，這也有利于學(xué)生正確看待和對(duì)待“解題”。

參考文獻(xiàn)

[1]高闖，李雪欣.中國(guó)MBA教育的國(guó)際化和本土化——基于要素分析法的視角[J].學(xué)位與研究生教育，2009（11）：54-58.