韓成云

網(wǎng)格線中的三角函數(shù)問(wèn)題

韓成云

“數(shù)（代數(shù)）”與“形（幾何）”是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，而這兩個(gè)方面是緊密聯(lián)系的.體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個(gè)方面.數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化.數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合.如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來(lái)定義的.下面我們就網(wǎng)格線中銳角三角函數(shù)的問(wèn)題來(lái)體會(huì)這種數(shù)學(xué)思想方法.

一、運(yùn)用定義，以形助數(shù)

一些問(wèn)題中的代數(shù)式，如方程或不等式，若以圖形的形式直觀地給出，問(wèn)題的結(jié)果便可一目了然.

圖1

圖2

【方法探究】根據(jù)正切函數(shù)的意義，不難構(gòu)造出滿足條件的角α、β（如圖1），怎樣構(gòu)造這兩個(gè)角的和是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵.將圖1中下面的圖翻轉(zhuǎn)到上圖的下面，就形成了圖2的圖形，角α+β也就構(gòu)成了.

【過(guò)程展示】如圖2，連接BC，易證：△ABD≌△CBE，從而△ABC是等腰直角三角形，于是：α+β=45°.

例2 如圖3，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值為（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.3

圖3

圖4

【方法探究1】如圖4，∠APD不在直角三角形中，無(wú)法根據(jù)對(duì)邊和鄰邊的比值來(lái)求它的正切值，借助網(wǎng)格線，連接BE，就可以構(gòu)造直角三角形求解，由題意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得DP∶CP=1∶3，即可得PF∶CF=PF∶BF=1∶2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值.

【過(guò)程展示1】如圖4，連接BE，∵四邊形BCED是正方形，∴BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根據(jù)題意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP∶CP=BD∶AC=1∶3，∴DP∶DF=1∶2，∴DP=PF=在Rt△PBF中，tan，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2.

故選：B.

【方法探究2】P點(diǎn)不在網(wǎng)格線的格點(diǎn)上，無(wú)法發(fā)揮網(wǎng)格線的作用，可以將∠APD轉(zhuǎn)化為一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的角，利用網(wǎng)格線構(gòu)造平行，轉(zhuǎn)化得到相等的角.通過(guò)勾股定理數(shù)形結(jié)合進(jìn)而求出線段的長(zhǎng).

圖5

【過(guò)程展示2】如圖5，連接BE，AE.

∵DE∥BC，DE=BC，

∴四邊形DEBC是平行四邊形，

∴DC∥BE，∴∠ABE=∠APD.

由勾股定理得BE=2，AE=22，AB=10，

∵AB2=BE2+AE2，∴∠AEB=90°，

二、運(yùn)用方程，以數(shù)解形

幾何圖形中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用代數(shù)的知識(shí)求解，這就是數(shù)形結(jié)合思想中的“以數(shù)解形”，在幾何計(jì)算與證明中常常采用這種方法.

例3 如圖6，方格紙中有三個(gè)格點(diǎn)A、B、C，求sin∠ABC的值.

【方法探究1】∠ABC不在直角三角形中，通過(guò)連接AC又不能得到直角，只有過(guò)點(diǎn)A作垂直，利用等積法，通過(guò)面積途徑將幾何問(wèn)題代數(shù)化，從而求出垂線段的長(zhǎng).

圖6

圖7

【過(guò)程展示1】如圖7，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接AC，

【方法探究2】利用勾股定理構(gòu)造方程進(jìn)而求出線段的長(zhǎng)度是比較常用的“以數(shù)解形”的手法.另外，熟練的代數(shù)運(yùn)算在這道題中起到了比較重要的作用.代數(shù)運(yùn)算能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)基本功，

【過(guò)程展示2】如圖7，由勾股定理易得AB2=29，AC2=17，BC=25.

設(shè)BD為x，CD為25-x，由勾股定理得AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，

∴AB2-BD2=AC2-CD2，

【方法探究3】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)及相關(guān)公式處理一些幾何問(wèn)題，有時(shí)可以避免添加輔助線（這是平面幾何的一大難點(diǎn)）.在高中“解析幾何”里，我們將專門(mén)學(xué)習(xí)利用坐標(biāo)將幾何問(wèn)題代數(shù)化.

【過(guò)程展示3】在原網(wǎng)格線基礎(chǔ)上，再向右補(bǔ)一列，如圖8，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，連接CD，并延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

圖8

借助網(wǎng)格線，易證△BOC≌△CFD，

∴∠BCO=∠CDF.

∵∠DCF+∠CDF=90°，

∴∠DCF+∠BCO=90°，∴∠BCD=90°.

由圖可知B（0，2），A（5，4），C（4，0），D（6，4），可以求出直線AB的函數(shù)關(guān)系式為：y=x+

2，直線CD函數(shù)關(guān)系式為：y=2x-8，將兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成一個(gè)二元一次方程組，可求E點(diǎn)坐標(biāo)為，利用點(diǎn)C、B、E的坐標(biāo)，由勾股定理可求得

三、綜合問(wèn)題，數(shù)形互助

【方法探究】如圖9，借助網(wǎng)格構(gòu)造∠CAD=β，∠BAD=α，則∠CAB=β-α，通過(guò)等面積法、勾股定理或者建立平面直角坐標(biāo)系，從而把代數(shù)問(wèn)題幾何化，求出∠CAB的正弦值.本題中數(shù)與形得到了完美的統(tǒng)一.

圖9

圖10

【過(guò)程展示】圖10中∠CAD=β，∠BAD=α，則∠CAB=β-α，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，

恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué).”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫(huà)與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起.充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決.

小試牛刀

1.△ABC在網(wǎng)格中的位置如右圖所示（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1），AD⊥BC于D，下列選項(xiàng)中，錯(cuò)誤的是（ ）.

A.sinα=cosα B.tanC=2 C.sinβ=cosβ D.tanα=1

2.如下圖，在2×2正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC的面積等于則sin∠CAB=_______.

（關(guān)注公眾號(hào)，回復(fù)“2017年12月數(shù)學(xué)”查答案）

江蘇省宿遷市鐘吾初級(jí)中學(xué)）