劉褚航 強百強 季育琛 李煒

1)(上?？萍即髮W(xué)物質(zhì)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,上海 201210)

2)(中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所,信息功能材料國家重點實驗室,上海 200050)

二維氫原子中的基態(tài)奇異特性數(shù)值精確對角化法?

劉褚航1)強百強1)季育琛1)李煒2)?

1)(上?？萍即髮W(xué)物質(zhì)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,上海 201210)

2)(中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所,信息功能材料國家重點實驗室,上海 200050)

二維氫原子,離散貝塞爾基函數(shù),Lanczos法

1 引 言

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展,數(shù)值精確對角化法在現(xiàn)代計算凝聚態(tài)物理學(xué)中扮演著至關(guān)重要的角色[1],尤其是在強關(guān)聯(lián)電子體系的研究領(lǐng)域中,它已成為其他數(shù)值計算技術(shù)的參照,盡管數(shù)值精確對角化法存在著其只能處理較小的物理系統(tǒng)的局限性.另外,可以通過幺正變換改變基函數(shù)的選取,以及通過對稱性的約束來極大程度地提高計算體系的尺寸[2],比如通過傅里葉變換將實空間中的哈密頓量變換到動量空間[3],從而改變基函數(shù)的選取來處理具有平帶特性[4?6]的分?jǐn)?shù)拓?fù)淞孔討B(tài)的新奇特性[7?9],以及極大程度地提高數(shù)值計算量和所計算體系的尺寸大小[10,11].

通過幺正變換改變基函數(shù)的選取在量子力學(xué)中被稱為表象變換[12,13].選擇合適的表象會讓人們對物理系統(tǒng)的圖像有更清晰的認(rèn)識,比如對于自由運動的粒子,在動量表象下它的本征能譜是對角化的;對于超導(dǎo)體中的電子Copper配對,在Bogoliubov表象下它的本征能譜也是對角化的[14].

在本文中,我們利用表象變換選取合適的貝塞爾函數(shù)為基函數(shù),再利用Lanczos技術(shù)[15]數(shù)值精確對角化處理在維度受限下的二維氫原子基態(tài)的奇異行為,得到的數(shù)值基態(tài)波函數(shù)與解析結(jié)果完全符合.構(gòu)造這套具有正交性、歸一化、完備的離散貝塞爾基函數(shù),將有助于今后研究一些波函數(shù)具有數(shù)值奇異特性的體系中發(fā)揮重要作用;同時,與這套離散貝塞爾基函數(shù)相類似的線性綴加平面波的基函數(shù),在基于密度泛函理論框架下的第一性原理計算模擬中也扮演著重要的角色[16,17].

本文討論了利用解析和數(shù)值有限差分法計算三維氫原子的本征能級及其相應(yīng)的本征波函數(shù),所得到的解析結(jié)果與數(shù)值結(jié)果相一致.這說明數(shù)值有限差分法在三維氫原子體系中的合理適用性.同時,進(jìn)一步推廣數(shù)值有限差分法到維度受限下的二維氫原子體系,計算發(fā)現(xiàn)對于基態(tài)波函數(shù)所得的解析結(jié)果與數(shù)值結(jié)果不一致,但是對于其他激發(fā)態(tài)的徑向波函數(shù)解析和數(shù)值計算所得的結(jié)果卻相一致.這說明二維氫原子體系的基態(tài)波函數(shù)存在著數(shù)值奇異特性.該奇異特性主要體現(xiàn)在基態(tài)的徑向波函數(shù)R(r)隨著r趨于0時,簡化的徑向波函數(shù)將趨于有限值,而不再是0.為了在數(shù)值上克服該奇異特性,引入一套新的具有軸向?qū)ΨQ性的離散貝塞爾基函數(shù),并將徑向波函數(shù)R(r)用這套新的離散貝塞爾基函數(shù)做線性展開,同時利用數(shù)值Lanczos技術(shù)精確對角化獲得了體系基態(tài)能量與基態(tài)波函數(shù),與解析結(jié)果完全一致.

2 三維氫原子模型的解析和數(shù)值有限差分法求解

2.1 模型解析求解

對于三維氫原子的定態(tài)薛定諤方程可表示為[13]

其中?為約化普朗克常數(shù),μ為折合質(zhì)量,V(r)=?e2/r為三維氫原子的中心勢能,E為體系的本征能量,其相應(yīng)的本征波函數(shù)為Ψ(r).考慮到體系的庫侖能具有中心球?qū)ΨQ性,可以將本征波函數(shù)Ψ(r)用球諧函數(shù)Ylm(θ,φ)為基做線性展開[18],即

其中R(r)為展開系數(shù),稱之為徑向波函數(shù),代入到定態(tài)薛定諤方程(1),于是得到關(guān)于在三維氫原子的中心勢場下的徑向波函數(shù)R(r)所滿足的微分方程為

其中l(wèi)=0,1,2,···稱為軌道角動量量子數(shù).引入函數(shù)變量代換R(r)=u(r)/r,并代入到微分方程(3),化簡得到關(guān)于u(r)的微分方程為

可以較為容易地通過冪級數(shù)展開法[19]嚴(yán)格解析求得徑向波函數(shù)Rnl(r)的解析表達(dá)形式及其相對應(yīng)的本征能量這里n稱為主量子數(shù).在l=0時,前三個本征態(tài)的徑向波函數(shù)Rnl(r)的解析形式分別為:

2.2 數(shù)值有限差分法

采用數(shù)值計算方法來求解徑向波函數(shù)u(r)所滿足的微分方程(4),即利用數(shù)值離散差分法化簡微分方程(4),并得到差分方程[20]為

圖1 三維氫原子徑向波函數(shù) (a)u(r)和(b)R(r)的解析(實線)和數(shù)值有限差分法(虛線)所得到的結(jié)果Fig.1.Radial wave function of the three-dimensional hydrogen atom for u(r)in(a)and R(r)in(b)by using an analytical(solid line)and numerical(dashed line)methods.

其中Δr為離散化的兩個格點之間的距離.為求解差分方程(8),首要考慮的是邊界條件.考慮到徑向波函數(shù)u(r)隨著r趨于+∞時,徑向波函數(shù)u(r)將趨于0,以及徑向波函數(shù)u(r)隨著r趨于0時,徑向波函數(shù)u(r)也將趨于0;同時,結(jié)合差分方程(8),可很容易通過數(shù)值精確對角化法精確地求解差分方程(8),并得到體系的本征能量及其相應(yīng)的本征波函數(shù).從圖1可以很清楚地看到,對于三維氫原子的徑向波函數(shù)u(r)和R(r)的解析結(jié)果與數(shù)值有限差分法所得的結(jié)果完全符合,相應(yīng)的本征能量也完全符合,即解析和數(shù)值解得的基態(tài)能量均為E1=?13.625 eV.

3 二維氫原子模型的解析和數(shù)值有限差分法求解

3.1 模型解析求解

下面討論二維氫原子情況,即在維度受限下的二維氫原子的定態(tài)薛定諤方程可表示為

其中勢能V(r)=?e2/r,它已不再具有三維球?qū)ΨQ性,而是具有平面軸對稱性[18].因此,可以將波函數(shù)Ψ(r)用軸向波函數(shù)eimθ為基做線性展開,即

其中m=0,±1,±2,···稱為磁量子數(shù),它是角動量l在z方向上的投影算符lz的本征值,即算符lz的本征方程為

相比三維氫原子的徑向波函數(shù)u(r)所滿足的微分方程(4)而言,可以很清楚地看到兩者微分方程的形式是極為相似的,但是對于基態(tài)所滿足的微分方程,即l=0的三維氫原子和m=0的二維氫原子的微分方程卻有著本質(zhì)的區(qū)別,它將會給二維氫原子的基態(tài)行為帶來諸多奇異性質(zhì).

同樣地,類似于三維氫原子的冪級數(shù)展開解法[19]也很容易地通過冪級數(shù)展開法解析求得二維氫原子的徑向波函數(shù)Rnm(r)的解析表達(dá)形式及其相對應(yīng)的本征能級

3.2 數(shù)值有限差分法

采用數(shù)值有限差分法數(shù)值求解二維氫原子的徑向波函數(shù)u(r)所滿足的微分方程(12)式,并得到離散差分方程[20]為

其中Δr為離散化的兩個格點之間的距離.為求解差分方程(16),同樣需要考慮體系的邊界條件.如果依然假設(shè)徑向波函數(shù)u(r)隨著r趨于+∞時,徑向波函數(shù)u(r)將趨于0,以及徑向波函數(shù)u(r)隨著r趨于0時,徑向波函數(shù)u(r)也將趨于0;同時,結(jié)合差分方程(16),可很容易地通過數(shù)值精確對角化法求解差分方程(16)并得到體系的本征能量及其相對應(yīng)的本征波函數(shù).如圖2所示,體系在m/=0時的激發(fā)態(tài)徑向波函數(shù)unm(r)的解析結(jié)果均與數(shù)值有限差分法所獲得的結(jié)果完全符合,但是對于基態(tài)徑向波函數(shù)u10(r),數(shù)值有限差分法的結(jié)果與解析結(jié)果卻不一致,同時其相應(yīng)的本征能量也不一致,即解析解得的基態(tài)本征能量為E1=?54.4 eV,而數(shù)值有限差分法所解得的基態(tài)本征能量為E1=?2214.6 eV.這說明數(shù)值有限差分法已不再適用于處理二維氫原子的基態(tài)本征值問題.其原因是對于二維氫原子的基態(tài)徑向波函數(shù)u10(r),隨著r趨于0時,u10(r)趨于有限值,而不再是零,它與三維氫原子的情形截然不同.出現(xiàn)這樣的問題,本質(zhì)上是源于有限差分方法在處理邊界條件問題上存在著局限性,即無法處理具有非零特性的第一類邊界條件的微分方程.因此,需要尋找其他數(shù)值技術(shù)來克服這類問題,比如可以采用貝塞爾函數(shù)為基函數(shù)做線性展開進(jìn)行處理[19].

圖2 二維氫原子徑向波函數(shù) (a)u(r)和(b)R(r)的解析(實線)和數(shù)值有限差分法(虛線)所得到的結(jié)果Fig.2.Radial wave function of the two-dimensional hydrogen atom for u(r)in(a)and R(r)in(b)by using an analytical(solid line)and numerical(dashed line)methods.

4 以貝塞爾函數(shù)為基函數(shù)做線性展開的數(shù)值精確對角化法

4.1 討論二維氫原子的徑向波函數(shù)u(r)在r=0處的漸近行為

以上數(shù)值有限差分法的計算結(jié)果表明,對于有限差分法已不再適用于處理具有數(shù)值奇異特性的二維氫原子體系的基態(tài)波函數(shù)行為,即本征波函數(shù)u10(r)的特征.因此,可以采用另一套數(shù)值方法,即將本征波函數(shù)用一套具有正交完備性的函數(shù)為基函數(shù)做線性展開,以此來數(shù)值求解此體系的微分方程.考慮到二維氫原子系統(tǒng)具有軸向?qū)ΨQ性,可以選用貝塞爾函數(shù)為基函數(shù)[19].由于貝塞爾函數(shù)種類很多,可根據(jù)體系的漸近行為,選擇一套合適的正交基.首先討論球貝塞爾函數(shù),它的正交性為[19]

其中α為球貝塞爾函數(shù)的階,uα,m為α階的球貝塞爾函數(shù)的第m個零點.根據(jù)基函數(shù)的正交特性,可以得到一套正交基為:另外,根據(jù)前面的解析計算可知,當(dāng)m=0時,二維氫原子的徑向波函數(shù)R(r)在r=0處是一個不為零的有限值.因此,徑向波函數(shù)u(r)在r=0處的漸近行為必須滿足形式.如果這里選用以球貝塞爾函數(shù)為正交完備基,那么徑向波函數(shù)u(r)在r=0處的漸近行為將與r相同,這會導(dǎo)致所計算出來的徑向波函數(shù)R(0)=0,依然與解析計算結(jié)果不一致.因此,當(dāng)且僅當(dāng)正交基函數(shù)在r=0處的漸近行為滿足形式時,徑向波函數(shù)R(0)的行為才符合解析結(jié)果的特性.能滿足這種特性的是貝塞爾函數(shù).如果我們考慮貝塞爾函數(shù)的連續(xù)正交基,其正交關(guān)系為[19]

它的積分區(qū)間為無窮大,而且還是具有連續(xù)變化的基函數(shù),它將不利于數(shù)值計算.因此,改用貝塞爾函數(shù)的離散正交基,其正交關(guān)系為[19]

其中α為貝塞爾函數(shù)的階,uα,m為α階貝塞爾函數(shù)的第m個零點.根據(jù)正交關(guān)系,可很容易地得到一套新的正交完備基為若取α=0,即若選取零階貝塞爾函數(shù)為離散正交基,那么在r=0處,徑向波函數(shù)R(r)的漸近行為剛好符合形式.

4.2 基于Lanczos技術(shù)的數(shù)值精確對角化法

根據(jù)上述討論的徑向波函數(shù)的漸近行為,可以將零階貝塞爾函數(shù)的離散正交基表示為fm:

然后進(jìn)行變量代換x=y/b,則新的基函數(shù)在區(qū)間[0,b]上滿足正交性,適合于數(shù)值求解.通過基的幺正變換后,得到體系的哈密頓量在基函數(shù)hm下的矩陣元為

可以通過Lanczos方法[15]數(shù)值精確對角化體系的哈密度量H的矩陣元(21)式并得到在基函數(shù)hm下的本征矢量v及其相應(yīng)的本征能量.最終求得二維氫原子的徑向波函數(shù)u(r)為

在數(shù)值計算過程中,選取有限個hi(i=1,2,···,N)作為假想的完備性基函數(shù),其中N為基函數(shù)的截斷值.理論上,隨著選取的截斷值N趨于無窮大,基函數(shù)hi接近于完備性.但是在實際的數(shù)值計算過程中需要對N做截斷.截斷的合理性根據(jù)誤差ΔE來確定,即ΔE=En1?Ea1,其中En1表示為數(shù)值精確對角化求得的基態(tài)能量,而Ea1則表示為解析求得的基態(tài)能量.如圖3(a)所示,可以清楚地看到隨著截斷值N的增大,誤差ΔE將快速地趨于零.當(dāng)N=7000時誤差已經(jīng)小于0.005.同時,在N=7000時,還計算了體系的徑向波函數(shù)u10(r)和R10(r),如圖3(b)所示,與解析結(jié)果完全一致.

圖3 (a)數(shù)值計算的基態(tài)本征值與理論值之間的誤差隨基函數(shù)個數(shù)的關(guān)系;(b)基態(tài)徑向波函數(shù)u(r)和R(r)的解析(實線)與數(shù)值有限差分法(虛線)所得到的結(jié)果Fig.3.(a)Error ΔE between numeral(En0)and analytical(Ea0)results for the ground state of twodimensional hydrogen system;(b)radial wave function of the two-dimensional hydrogen atom for u(r)and R(r)by using an analytical(solid line)and numerical(dashed line)methods for the ground state.

5 結(jié) 論

討論了利用解析和數(shù)值有限差分法分別計算三維氫原子和二維氫原子的本征能級及其相應(yīng)的本征波函數(shù),計算發(fā)現(xiàn)由于在維度受限下的二維氫原子體系的基態(tài)波函數(shù)存在著數(shù)值奇異特性.為了解決該數(shù)值奇異性,構(gòu)造了一套新的離散的貝塞爾函數(shù)為基函數(shù)做線性展開,同時結(jié)合數(shù)值Lanczos精確對角化法,最終獲得體系基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)均與解析相一致的結(jié)果.這套新的完備的離散貝塞爾基函數(shù)的構(gòu)造可以在研究一些波函數(shù)具有數(shù)值奇異特性的體系中發(fā)揮至關(guān)重要的作用.

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Numerical exact diagonalization of singularity in the ground state of two-dimensional hydrogen atom?

Liu Chu-Hang1)Qiang Bai-Qiang1)Ji Yu-Chen1)Li Wei2)?

1)(School of Physical Science and Technology,ShanghaiTech University,Shanghai 201210,China)
2)(State Key Laboratory of Functional Materials for Informatics,Shanghai Institute of Microsystem and Information Technology,Chinese Academy of Sciences,Shanghai 200050,China)

6 July 2017;revised manuscript

13 August 2017)

With the development of computing technology,numerical exact diagonalization method plays a vital role in modern computational condensed matter physics,especially in the research area of strongly correlated electron systems:it becomes a benchmark for other numerical computational techniques,such as quantum Monte Carlo,numerical renormalization group,density matrix renormalization group,and dynamic mean field theory.In this paper,we first numerically exactly diagonalize the three-dimensional hydrogen atom with the combination of finite-difference method,and find that the numerical wave function of ground state is in good agreement with the analytical calculations.We then turn to discuss the space dimension confinement hydrogen system,two-dimensional hydrogen atom,and notice that the numerical wave function is no longer in agreement with the analytical calculation,where the ground state wave function has a numerical singularity as radius approaches to zero.Compared with the case of the three-dimensional hydrogen atom,this issue mainly comes from the nature of space dimension confinement.To resolve such an issue of numerical singularity in two-dimensional hydrogen atom,we need to construct a new discrete and normalized Bessel function as a basis to study the ground state behavior of dimension confinement system based on the framework of Lanczos-type numerical exact diagonalization.The constructed normalized Bessel basis is orthogonal and discrete,and thus becomes suitable for practical calculation.Besides,these prominent properties of such a Bessel basis greatly reduce the complexity and difficulty in practical calculation,and thus makes computing work efficient.In addition,Lanczos-type numerical exact diagonalization method can extremely speed up the process of solving the eigenvalue equation.As a result,such a high efficient calculation of our method demonstrates the consistence between numerical and analytical ground state energy value,and the corresponding wave function with enough truncated basis number.Since this kind of numerical singularity occurs in many space dimension confinement systems,our finding for constructing a new discrete Bessel basis function may be helpful in studying the quantum systems with numerical singularity behaviors in wavefunctions in future.On the other hand,it should be pointed out that the Bessel basis is incorporated into the linear augment plane wave method in the density functional theory to study the electronic band structure of the condensed material and obtain high accurate results,especially in the theoretical prediction of topological insulators and in experimental realization as well.

two-dimensional hydrogen atom,discrete Bessel basis function,Lanczos-type numerical exact diagonalization

PACS:01.40.Fk,03.65.Ge,03.67.LxDOI:10.7498/aps.66.230102

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11404359)and the Youth Innovation Promotion Association of the Chinese Academy of Sciences(Grant No.2016215).

?Corresponding author.E-mail:liweiphysics@gmail.com

(2017年7月6日收到;2017年8月13日收到修改稿)

利用數(shù)值有限差分法處理二維氫原子的基態(tài)波函數(shù)時,計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)其存在著數(shù)值奇異特性.本文通過構(gòu)造一套具有正交完備性的離散貝塞爾基函數(shù),并結(jié)合基于Lanczos技術(shù)的數(shù)值精確對角化方法研究二維氫原子中的基態(tài)波函數(shù)的數(shù)值奇異特性,得到的波函數(shù)數(shù)值解及其相應(yīng)的本征能量均與解析結(jié)果相一致.這套新的完備的離散貝塞爾基函數(shù),可以在研究一些波函數(shù)具有數(shù)值奇異特性的體系中發(fā)揮至關(guān)重要的作用.

10.7498/aps.66.230102

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:11404359)和中國科學(xué)院青年創(chuàng)新促進(jìn)會計劃(批準(zhǔn)號:2016215)資助的課題.

?通信作者.E-mail:liweiphysics@gmail.com