魏萍

摘要：Lyapunov方法是進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制設(shè)計(jì)的重要工具。關(guān)于穩(wěn)定性分析方面的應(yīng)用，在一般教材和參考資料中都進(jìn)行了詳細(xì)的介紹。本文準(zhǔn)備對(duì)Lyapunov第二方法，在非線性控制設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用進(jìn)行解析說(shuō)明。本文首先介紹了Lyapunov第二方法的基本內(nèi)容，并說(shuō)明了如何結(jié)合LaSalle不變?cè)硗貙扡yapunov函數(shù)的選擇范圍。然后針對(duì)兩個(gè)具體例子，演示了應(yīng)用Lyapunov第二方法，以及結(jié)合LaSalle不變?cè)恚M(jìn)行控制律設(shè)計(jì)的過(guò)程，并對(duì)設(shè)計(jì)的控制律進(jìn)行了系統(tǒng)仿真驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：Lyapunov第二方法；非線性系統(tǒng)；非線性控制；LaSalle不變?cè)?/p>

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）51-0171-03

一、引言

1892年俄國(guó)學(xué)者Lyapunov發(fā)表了論文《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一般問(wèn)題》，給出了分析常微分方程組穩(wěn)定性的兩個(gè)方法，分別稱為L(zhǎng)yapunov第一方法和Lyapunov第二方法[1，2]。其中Lyapunov第二方法通過(guò)選取一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)（代替之前分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的能量函數(shù)），進(jìn)而研究標(biāo)量函數(shù)沿著目標(biāo)系統(tǒng)軌線隨時(shí)間的變化情況，得出目標(biāo)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性結(jié)論。這種可應(yīng)用于線性和非線性、時(shí)變和時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析手段，不需要求解微分方程，是穩(wěn)定性理論的重要組成部分，同時(shí)也是控制分析和設(shè)計(jì)的重要工具。

關(guān)于Lyapunov第二方法的講解，不僅出現(xiàn)在本科生的自動(dòng)控制原理II或現(xiàn)代控制理論課堂中，也可能在研究生課程非線性系統(tǒng)或非線性控制課堂上作為重要內(nèi)容[3，4]。不過(guò)一般教材或研究資料中，只是介紹和示例相關(guān)定理，以及其在穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用，很少介紹其在非線性系統(tǒng)控制中的應(yīng)用[5-7]。另外應(yīng)用Lyapunov第二方法通常是首先選取一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，然后要求這個(gè)標(biāo)量函數(shù)關(guān)于系統(tǒng)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的。這個(gè)負(fù)定的要求有時(shí)候會(huì)造成我們很難選到合適的Lyapunov函數(shù)，而LaSalle不變?cè)韽浹a(bǔ)了這個(gè)不足，拓寬了Lyapunov函數(shù)的選擇范圍。所以本文在這里準(zhǔn)備對(duì)Lyapunov第二方法，以及在某些時(shí)候結(jié)合LaSalle不變?cè)?，在非線性系統(tǒng)控制中的應(yīng)用過(guò)程進(jìn)行解析說(shuō)明，詳細(xì)分析其中應(yīng)該注意的事項(xiàng)，并通過(guò)具體例子進(jìn)行演示，相關(guān)內(nèi)容可作為學(xué)習(xí)相關(guān)課程學(xué)生的課外研究作業(yè)。

二、Lyapunov第二方法的主要內(nèi)容

設(shè)非線性方程組如下，

■=f（x），存在x■使得：f（x■）=0. （1）

其中x是n維狀態(tài)變量，f（x）是n維函數(shù)向量，關(guān)于x連續(xù)可微。假設(shè)平衡點(diǎn)x■=0，若x■≠0，則可通過(guò)平移y=x-x■，得到平衡點(diǎn)是零的非線性系統(tǒng)。若f（x）定義在區(qū)域D上，存在連續(xù)可微的正定函數(shù)V（x），成立：

■（x）=■f（x）<0，x∈D （2）

則x■=0是系統(tǒng)（1）的漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。另外若D=R■，且

‖x‖→∞？圯V（x）→∞ （3）

則x■=0是系統(tǒng)（1）的全局漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)[3，4]。

注記1：以上關(guān)于Lyapunov定理的描述僅選擇了（全局）漸近穩(wěn)定部分，因?yàn)閺墓こ虘?yīng)用和控制設(shè)計(jì)的角度來(lái)看，系統(tǒng)需要具有Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性，僅符合Lyapunov意義下的穩(wěn)定性是不夠的。

注記2：式（2）要求V函數(shù)關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)負(fù)定，這個(gè)苛刻的要求限制了函數(shù)V的選擇范圍，增加了我們選擇適當(dāng)V函數(shù)的難度。而LaSalle不變?cè)砜梢越档瓦@個(gè)難度，也就是相對(duì)拓寬函數(shù)V的選擇范圍。

在應(yīng)用Lyapunov第二方法時(shí)，結(jié)合LaSalle不變?cè)?，確切地說(shuō)是結(jié)合LaSalle不變?cè)淼耐普摗Ｒ驗(yàn)長(zhǎng)aSalle不變?cè)肀旧硌芯康氖羌系氖諗啃?，其推論針?duì)的是特殊的集合，即孤立的平衡點(diǎn)。關(guān)于這些理論之間的關(guān)系，這里不進(jìn)行贅述，感興趣的讀者可參考相關(guān)文獻(xiàn)[3，4]。LaSalle不變?cè)淼耐普?，關(guān)于式（2）的修正就是，滿足半負(fù)定即可，同時(shí)再加一個(gè)條件：

集合S=x∈D？搖■（x）=0中系統(tǒng)的解僅包含x≡0。

則系統(tǒng)平衡點(diǎn)x=0是漸近穩(wěn)定的；進(jìn)一步，若D=R■，且條件（3）成立，則對(duì)應(yīng)全局漸近穩(wěn)定性。

注記3：Lyapunov穩(wěn)定性或漸近穩(wěn)定性，討論的是平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并且Lyapunov定理中描述的平衡點(diǎn)均默認(rèn)為原點(diǎn)。所以在進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)時(shí)，若系統(tǒng)平衡點(diǎn)非零，需先通過(guò)平移將平衡點(diǎn)變?yōu)樵c(diǎn)，然后設(shè)計(jì)控制律u=g（x）成立g（0）=0，以保證原點(diǎn)是閉環(huán)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。

三、實(shí)例分析

例1 旋轉(zhuǎn)的剛體航天器方程[4]：

J■■■=（J■-J■）ω■ω■+u■

J■■■=（J■-J■）ω■ω■+u■ （4）

J■■■=（J■-J■）ω■ω■+u■

其中ω=[ω1 ω2 ω3]T是沿主軸的角速度向量，是系統(tǒng)的狀態(tài)變量；u=[u1 u2 u3]T是相對(duì)主軸的轉(zhuǎn)矩向量，是系統(tǒng)的控制變量；J=[J1 J2 J3]T是相應(yīng)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是系統(tǒng)參數(shù)?？刂颇繕?biāo)：通過(guò)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)矩向量u使得系統(tǒng)平衡點(diǎn)ω=[0 0 0]T漸近穩(wěn)定。

選用V（ω）=1/2（J■ω■■+J■ω■■+J■ω■■）作為備選Lyapunov函數(shù)，沿著系統(tǒng)（4）關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)：

■（ω）=J■ω■■■+J■ω■■■+J■ω■■■

=ω■u■+ω■u■+ω■u■

為保證上式負(fù)定，選擇u■=-k■ω■，i=1，2，3，k■>0，則

■（ω）=-k■w■■-k■w■■-k■w■■<0

另外，當(dāng)‖ω‖→∞時(shí)，V（ω）→∞。所以選定的控制律可保證系統(tǒng)原點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。

例2 負(fù)阻抗振蕩器狀態(tài)空間方程[4]：

■■=x■/ε

■■=ε[-x■+x■-1/3x■■+u] （5）

其中x1是通過(guò)電感的電流，x2是電容兩端的電壓；u是輸入系統(tǒng)的電壓，作為控制變量；ε>0是系統(tǒng)參數(shù)?？刂颇繕?biāo)：設(shè)計(jì)系統(tǒng)的輸入電壓u使得系統(tǒng)平衡點(diǎn)x=[0 0]T漸近穩(wěn)定。

選擇V（x）=1/2（ε■x■■+x■■）作為備選Lyapunov函數(shù)，沿著系統(tǒng)（5）關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)：

（x）=ε■x■■■+x■■■

=εx■■-1/3εx■■+εx■u

（1）選擇u=-kx■，k>1，則

■（x）=-ε（k-1）x■■-1/3εx■■≤0

上述表達(dá)式是半負(fù)定的，故不能由Lyapunov定理直接得出漸近穩(wěn)定的結(jié)論。此時(shí)可考慮借助不變?cè)淼耐普?，由?/p>

■（x）=0■■=0，■■=0？圯x■=x■=0

則設(shè)計(jì)的控制律可以保證系統(tǒng)原點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性。

（2）選擇u=-k■x■■x■-k■x■，k■>0，k■>1，則

■（x）=-ε（k-1）x■■-1/3εx■■-εk■x■■x■■≤0

表達(dá)式仍然是半負(fù)定的，故不能由Lyapunov定理直接得出漸近穩(wěn)定的結(jié)論。此時(shí)可考慮借助不變?cè)淼耐普?，由?/p>

■（x）=0■■=0，■■=0？圯x■=x■=0

則設(shè)計(jì)的控制律可以保證系統(tǒng)原點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性。

注記4：應(yīng)用Lyapunov第二方法設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)的控制律，通常是先確定一個(gè)正定的備選函數(shù)，然后設(shè)計(jì)控制律的形式使得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)負(fù)定。這個(gè)過(guò)程中Lyapunov函數(shù)和控制律的選取，都有很大的發(fā)揮空間。所以在研究具體問(wèn)題時(shí)，可進(jìn)行多種嘗試，最后做出相對(duì)較優(yōu)的選擇。比如在研究第二例子時(shí)，設(shè)計(jì)的兩個(gè)控制律都能保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，但是第二種控制律有兩個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)，在具體設(shè)計(jì)時(shí)增加選擇結(jié)果的多樣性。

四、仿真

例1 設(shè)系統(tǒng)參數(shù)：J1=55，J2=58，J3=65；取狀態(tài)初值：w（0）=[42，33，37]T，選擇k1=85，k2=280，k3=78。狀態(tài)變量穩(wěn)定性收斂過(guò)程如圖1所示。

例2（1） 設(shè)系統(tǒng)參數(shù)：ε=0.2；取狀態(tài)初值：x（0）=[5.6，3.7]T；選擇k=100。狀態(tài)變量穩(wěn)定性收斂過(guò)程如圖2所示。

例2（2） 設(shè)系統(tǒng)參數(shù)：ε=0.2；取狀態(tài)初值：x（0）=[5.6，3.7]T；選擇k1=16，k2=27。狀態(tài)變量穩(wěn)定性收斂過(guò)程如圖3所示。

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Abstract：Lyapunov method is an important tool for system stability analysis and control design. On the stability of the application，in general textbooks and reference materials are introduced in detail. The preparation of Lyapunov second method used in nonlinear control design analysis. This paper first introduces the basic contents of Lyapunov second method the range of choice and explains how to combine LaSalle invariant principle to broaden the Lyapunov function. Then according to two specific examples to illustrate the application of the second methods，Lyapunov，and Combining the principle of LaSalle invariance，the design of control law is carried out，and the designed control law is simulated and validated

Key words：Lyapunov second method；nonlinear system；nonlinear control；LaSalle invariance principle