多項式理論在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

丁嘉程

摘要： 本文以具體的實例為載體，討論了利用高等代數(shù)中的多項式理論求解高中數(shù)學(xué)難題的方法。如利用多項式恒等定理與因式定理，求解次數(shù)較高并且系數(shù)未知的多項式問題，通過定理尋找整系數(shù)多項式的全部有理根，避免嘗試法的不確定性，借此指出從高處著手解決這類問題的便利性及優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞： 多項式恒等定理；整系數(shù)多項式的有理根；因式定理

在中學(xué)數(shù)學(xué)里，常有形如f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a0， n∈N的函數(shù)。當n≥3時， 涉及這類函數(shù)的求根問題就會較為困難。但若是接觸高等代數(shù)中的一些多項式理論， 題目就會較為容易了。本文主要通過具體的例子來闡述如何運用這些理論來解決高中數(shù)學(xué)中的多項式問題。

例1存在實系數(shù)多項式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a0。若f（x）可被x2+px+q整除，p，q∈R，如何求f（a），a∈R。

解：設(shè)f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a0=（x2+px+q）（bn-2xn-2+bn-3xn-3+…+b0），則anxn+an-1xn-1+…+a0=bn-2xn+（bn-3+pbn-2）xn-1+（bn-4+pbn-3+qbn-2）xn-2+…+（b0+pb1+qb2）x2+（pb0+qb1）x+qb0。

由多項式恒等定理，可得a0， a1， …， an， b0， b1， …， bn-2， p， q的關(guān)系如下：

an=bn-2an-1=bn-3+pbn-2an-2=bn-4+pbn-3+qbn-2……a0=qb0

在具體題目中， a一般與f（x）的系數(shù)存在聯(lián)系， 并可通過上述式子得出。由這些聯(lián)系， 又易得f（a）的值。具體情況見例2。

例2f（x）=x5+a3x3+a2x2+12a4x+32a5-a3a2+a2a3能被x2+x+1整除， 求f（-a）。

解：設(shè)f（x）=（x2+x+1）（x3+b2x2+b1x+b0）， 化簡， 得

f（x）=x5+（b2+1）x4+（b1+b2+1）x3+（b0+b1+b2）x2+（b0+b1）x+b0。

則有0=b2+1，a3=b1+b2+1，a2=b0+b1+b2，1.5a5-a3a2+a2a3=b0，0.5a4=b0+b1，∴a3=a2

∴f（-a）=（-a）5+a3（-a）3+a2a2+12a4（-a）+32a5-a3a2+a2a3=0。

例3f（x）=x5-3ax4+bx3+cx2-3a2x+a3能被x2-1整除，求f（a）。

解：由題易得（x-1）|f（x），（x+1）|f（x），由因式定理可知f（1）=0，f（-1）=0。

則1-3a+b+c-3a2+a3=0，-1-3a-b+c+3a2+a3=0，∴b=3a2-1，c=3a-a3，

代入原式，有f（a）=a5-3a5+（3a2-1）a3+（3a-a3）a2-3a3+a3=0。

例4已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a， b， c， Bd∈Q。求其過點P（m，n）的切線，其中m， n∈Q。

解：設(shè)點（x0，f（x0））是f（x）上的點。則由題有f′（x）=3ax2+2bx+c， f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程為f′（x0）（x-x0）=y-f（x0）?！咔芯€過點P，∴f′（x）（m-x0）=n-f（x0）， 化簡得2ax03+（b-3am）x20-2bmx0+n-d-cm=0。又a， b， c， d，m，n∈Q， 所以存在k∈N， 使該式可以化作a′x3+b′x2+c′x+d′=0，其中a′=2ak， b′=（b-3am）k， c′=-2bmk， d′=（n-d-cm）k。根據(jù)整系數(shù)多項式有理根的尋找方法可知， 若該等式存在有理根rs， 其中r， s互素， 那么必有s|a′， r|d′。此時若存在有理根， 易得要求的切線方程， 實例見例5。

例5已知函數(shù)f（x）=16x3+2，求其過點P136，114的切線。

解：由題有f′（x）=12x2，則f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程為12x20（x-x0）=y-16x03+2?！咔芯€過點P，∴12x20136-x0=114-16x30+2，化簡得4x30-13x20+9=0。根據(jù)整系數(shù)多項式有理根的尋找方法，易知該等式存在有理根x0′=1，x0″=3，x0=-34，易得切線方程12（x-1）=y-136，932x+34=y-247128和92（x-3）=y-132。

參考文獻：

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù)第四版[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2] 中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會，各省市數(shù)學(xué)會.2016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊（預(yù)賽試題集錦）[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2016.endprint