豎直平面內(nèi)“輕繩模型”的運(yùn)動規(guī)律研究

陳璽君

(江蘇省丹陽市呂叔湘中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212300；廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣西 桂林 541004)

豎直平面內(nèi)“輕繩模型”的運(yùn)動規(guī)律研究

陳璽君

(江蘇省丹陽市呂叔湘中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212300；廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣西 桂林 541004)

利用理論研究與“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合的方法，研究了豎直平面內(nèi)的“輕繩模型”這一重要的單軌道模型問題，分析了小球速度、加速度圖像和規(guī)律，研究得到了小球不能完成完整圓周運(yùn)動的初速度條件；小球做完整的豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的初速度條件；小球沿圓弧“軌道”返回的初速度條件；小球離開圓弧“軌道”做斜拋運(yùn)動的最低點(diǎn)初速度條件以及斜拋運(yùn)動的速度大小和方向；闡述了小球從最低點(diǎn)水平方向出發(fā)經(jīng)圓弧上某點(diǎn)斜拋運(yùn)動后能返回初始點(diǎn)的初速度條件；并給出落點(diǎn)在最低點(diǎn)(出發(fā)點(diǎn))左右兩側(cè)側(cè)圓弧上的初速度條件．

“輕繩模型” “仿真物理實(shí)驗(yàn)室” 圓弧“軌道” 速度條件 理論與實(shí)驗(yàn)

1 引言

豎直平面內(nèi)的“輕繩模型”是高中物理圓周運(yùn)動中一類重要的單軌道模型問題，高中物理一般只涉及圓周運(yùn)動的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，最多涉及圓水平直徑的左邊最遠(yuǎn)點(diǎn)和右邊最遠(yuǎn)點(diǎn)問題以及在最低點(diǎn)給小球一個(gè)多大的初速度，小球能夠完成完整圓周運(yùn)動和小球能夠完成部分圓周運(yùn)動．

然而對于小球在豎直平面內(nèi)做非勻速圓周運(yùn)動：在小球運(yùn)動過程中的速度、加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律怎樣，小球何處脫離圓弧“軌道”，脫離后做什么性質(zhì)的運(yùn)動，脫離后落點(diǎn)如何，等等這樣一些問題并未涉及．

為了研究以上問題，秉著理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的原則，先從理論上進(jìn)行研究尋找解決以上問題的方法、公式、規(guī)律，然后利用“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”來模擬和驗(yàn)證理論的正確性．為方便研究，將本實(shí)驗(yàn)中各參數(shù)設(shè)定為小球質(zhì)量m=1 kg,重力加速度g=9.8 m/s2,繩長R=2 m．

2 題目場景

如圖1所示，剛性繩一端系一質(zhì)量為m的剛性小球，另一端懸掛在固定點(diǎn)上，所有摩擦均不考慮，在最低點(diǎn)A給小球一水平向右的初速度vA，使小球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動起來，圓弧“軌道”半徑為R．

3 研究過程

3.1 小球從A點(diǎn)剛好運(yùn)動到C點(diǎn)的初速度條件

A→C過程中,由機(jī)械能守恒定律知

(1)

vC=0

(2)

由式(1)、(2)可得

(3)

式(3)為小球從A點(diǎn)剛好運(yùn)動到C點(diǎn)的初速度條件．

然后小球?qū)⒀貓A弧“軌道”原路返回，做周期性擺動．

將g=9.8 m/s2,R=2 m代入式(3)得

利用“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”驗(yàn)證，如圖2所示.

圖2 仿真驗(yàn)證A到C的條件

軌跡正好半個(gè)圓來回?cái)[動，非常完美．

3.2 小球從A點(diǎn)剛好能運(yùn)動到B點(diǎn)的初速度條件

A→B,小球由機(jī)械能守恒定律知

(4)

(5)

由式(4)、(5)可得

(6)

式(6)為小球從A點(diǎn)剛好能運(yùn)動到B點(diǎn)的初速度條件．

將g=9.8 m/s2,R=2 m代入式(3)得

利用“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”驗(yàn)證，如圖3所示.

圖3 仿真驗(yàn)證A到B的條件

小球剛好完成豎直平面內(nèi)的完整的圓周運(yùn)動，理論與實(shí)驗(yàn)相吻合．

3.3 小球在CB圓弧上某點(diǎn)P脫離圓弧“軌道”的初速度條件

由式(3)、(6)可知，小球?qū)⒛芡ㄟ^C點(diǎn)，又不能到達(dá)最高點(diǎn)B的速度條件是

(7)

且小球在CB之間某點(diǎn)P處做斜拋運(yùn)動，脫離圓弧“軌道”．

將g=9.8 m/s2,R=2 m代入式(7)得

取vA=8.5 m/s代入，利用“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”驗(yàn)證，如圖4所示.

圖4 仿真驗(yàn)證在某點(diǎn)脫離圓弧軌道的條件

小球的確在CB之間某點(diǎn)做斜拋運(yùn)動，脫離圓弧“軌道”，驗(yàn)證成功．

3.4 小球在CB之間某點(diǎn)P處做斜拋運(yùn)動規(guī)律

3.4.1 斜拋運(yùn)動初速度

設(shè)OP的連線與豎直方向的夾角為θ，如圖5所示.

圖5 斜拋運(yùn)動

對于小球在P點(diǎn)

(8)

A→P,小球由機(jī)械能守恒定律知

(9)

式(8)、(9)聯(lián)立求解得到

(10)

(11)

式(10)、(11)為小球在CB圓弧“軌道”之間P點(diǎn)脫離圓弧“軌道”的速度(亦為斜拋運(yùn)動的初速度)大小和方向．

表1給出小球在A點(diǎn)的初速度vA不同的情況下對應(yīng)的vP脫離圓弧“軌道”的速度大小及方向.

表1 初速度vA不同情況下對應(yīng)的vP脫離圓弧“軌道”的速度大小及方向

由表中數(shù)據(jù)可以看出：vA在以下范圍內(nèi)

速度vA越大，vP亦越大，θ越小，即脫離點(diǎn)越高．

取vA=7 m/s，8 m/s，9 m/s，利用“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”驗(yàn)證，如圖6所示.

圖6 仿真驗(yàn)證vA與vP的關(guān)系

理論與實(shí)驗(yàn)完美統(tǒng)一．

3.4.2 小球運(yùn)動圖像

特別取vA=9 m/s進(jìn)行研究：得到vx-t圖、vy-t圖、|v|-t圖、ax-t圖、ay-t圖、|a|-t圖.

圖7

由圖可知

(1)小球水平方向的分速度vx先減小再反向增大(圓周運(yùn)動)后保持不變(繩子拉力為零，只受重力，斜拋水平方向分速度不變)，然后按圖做周期性規(guī)律變化(落回圓弧“軌道”在“軌道”上來回?cái)[動)．

(2)小球豎直方向的分速度vy先增加后減小(圓周運(yùn)動)后反向增大(繩子拉力為零，只受重力，斜拋豎直方向分速度先增加后減小)，然后按圖做周期性規(guī)律變化(落回圓弧“軌道”在“軌道”上來回?cái)[動)．

(3)需要注意的是vx-t圖、vy-t圖中的拐點(diǎn)并不是斜拋的初始時(shí)刻，斜拋的初始時(shí)刻在拐點(diǎn)的左邊橫坐標(biāo)的某個(gè)時(shí)刻．

(4)從ax-t圖、ay-t圖、|a|-t圖可看出，小球運(yùn)動過程中有段時(shí)間加速度保持不變，大小為9.8 m/s2，理論分析很容易理解，這段時(shí)間小球做斜拋運(yùn)動，只受重力作用．

下面作|a|-t、|v|-t圖像的精細(xì)圖，如圖8所示.

圖8

由|a|-t圖可以讀出拐點(diǎn)g=9.8 m/s2對應(yīng)的時(shí)刻為0.69 s，再讀對應(yīng)的時(shí)刻0.69 s的|v|-t可得vP=3.73 m/s左右，在誤差允許的范圍內(nèi)，與式(10)計(jì)算出來的表格中的速度3.73 m/s大小一致，理論與實(shí)驗(yàn)完美統(tǒng)一．

4 小球脫離P點(diǎn)后做斜拋運(yùn)動規(guī)律的更多思考

若要小球脫離P點(diǎn)斜拋運(yùn)動能落回到原出發(fā)點(diǎn)A，對小球的初速度vA有什么要求呢？

分析：P→A，小球做斜拋運(yùn)動可得

Rsinθ=vPtcosθ

(12)

(13)

由式(12)、(13)消去時(shí)間參量t，再將式(10)代入整理可得

(14)

再將式(11)代入式(14)得

(15)

(16)

(17)

整理可得

2y3+3y2-1=0

(18)

(19)

解方程得

(20)

式(20)表明欲使小球從最低點(diǎn)A水平向右出發(fā)，經(jīng)部分圓周運(yùn)動、斜拋運(yùn)動后還能落回原出發(fā)點(diǎn)A，則須在A處施加的水平速度大小為

代入初始數(shù)據(jù)

利用“仿真物理實(shí)驗(yàn)室”驗(yàn)證,如圖9所示.

圖9 仿真驗(yàn)證落回到原出發(fā)點(diǎn)

理論與實(shí)驗(yàn)相統(tǒng)一．

分類總結(jié)：

5 結(jié)束語

1 漆安慎.普通物理學(xué)教程·力學(xué)(第二版)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書.北京：高等教育出版社，2009

2017-03-28)