何衍儒, 宋保維, 曹永輝

(西北工業(yè)大學 航海學院, 陜西 西安, 710072)

使用混合代理模型的自主式水下航行器藕節(jié)殼體多目標優(yōu)化

何衍儒, 宋保維, 曹永輝

(西北工業(yè)大學 航海學院, 陜西 西安, 710072)

針對已有藕節(jié)殼體結構優(yōu)化設計均為簡化模型, 且沒有對內部有效體積進行分析的問題, 文中使用非支配排序遺傳算法(NSGA-II)和由徑向基函數(shù)、支持向量回歸函數(shù)、Kriging函數(shù)構建的混合代理模型,對自主式水下航行器(AUV)的切弧連接藕節(jié)殼體和環(huán)肋加強藕節(jié)耐壓殼體進行了浮重比和內部有效體積的多目標優(yōu)化, UG二次開發(fā)程序實現(xiàn)了藕節(jié)殼體的參數(shù)化建模, 并在滿足強度和穩(wěn)定性要求的前提下, 準確有效地獲得該多目標優(yōu)化問題的Pareto前沿, 可為AUV殼體優(yōu)化設計提供參考。

自主式水下航行器(AUV); 藕節(jié)殼體; 多目標優(yōu)化; 混合代理模型; NSGA-II

0 引言

自主式水下航行器(automatic underwater vehicle, AUV)近年來廣泛應用在科學、商業(yè)和軍事等領域。傳統(tǒng)水下航行器的設計往往依靠圓柱型殼體的經驗公式, 構造環(huán)肋加強圓柱殼體。然而,隨著水下航行器航行深度的增加, 環(huán)肋加強殼體滿足強度和穩(wěn)定性條件的壓力逐漸增大[1-3]。雖然先進的復合材料可以提高水下航行器殼體結構的性能, 但是生產成本也大大增加。一種有效的解決方案是在設計階段, 利用計算機輔助工程(computer aided engineering, CAE)改變殼體結構的形狀, 從而提高強度和穩(wěn)定性。

從幾何的角度來看, 球形殼體是最佳承壓形式, 藕節(jié)殼體同時具有球殼和圓柱殼兩者的優(yōu)點,彌補了常規(guī)壓力殼的缺陷。Liang等[4]采用擴展的內部罰函數(shù)法, 研究了藕節(jié)耐壓殼體的優(yōu)化設計;伍莉等[5-6]采用有限元方法, 研究了大深度潛水器的三藕節(jié)切弧連接耐壓殼體的強度和穩(wěn)定性性能, 提出該結構的材料線性和材料非線性強度經驗公式, 并考慮材料非線性初始缺陷的影響, 提出其穩(wěn)定性經驗公式; 宋保維等[7]利用有限元軟件對二藕節(jié)切弧連接耐壓殼體在不同厚度、不同切弧角下的強度和穩(wěn)定性進行了分析, 給出了最大應力和穩(wěn)定性系數(shù)隨厚度和切弧角的變化規(guī)律;茍鵬等[8]建立了Kriging代理模型, 對不同工作深度下的深潛多球交接耐壓殼進行了結構的優(yōu)化研究; 董華超等[9]使用Kriging代理模型和一種多起點全局優(yōu)化方法, 對環(huán)肋加強藕節(jié)球殼進行了優(yōu)化。上述研究均是對2到3個藕節(jié)球殼進行分析, 設計參數(shù)較少, 且并沒有應用到具體的水下航行器。

基于代理模型的全局優(yōu)化算法已經廣泛用于解決需要長時間計算模擬的黑箱問題。代理模型[10-12]優(yōu)化過程包括 3個步驟: 1) 選擇采樣點;2) 構造替代模型; 3) 優(yōu)化并加入新的采樣點?；诙鄠€子代理模型的混合代理模型[13-17]方法, 可以降低優(yōu)化問題的差異性和不可預測性, 同時提高模型的精確度。相對于傳統(tǒng)的環(huán)肋加強圓柱殼體, 藕節(jié)殼體結構雖然在強度和穩(wěn)定性滿足要求的前提下浮重比有了大幅提高, 即加強了負載能力, 但是內部可用體積有一定的下降。根據(jù)這個問題, 文中研究了基于混合代理模型的 AUV藕節(jié)殼體結構的多目標優(yōu)化, 可以在滿足強度和穩(wěn)定性要求的前提下, 準確有效地獲得該多目標優(yōu)化問題的Pareto前沿, 對于解決帶約束的非線性多目標優(yōu)化問題具有較好的工程參考價值。

1 混合代理模型

帶約束的黑箱全局優(yōu)化問題可以定義為

單個代理模型對不同優(yōu)化問題具有很大差異性和不可預測性, 這給工程優(yōu)化帶來了一定的風險性。針對這個問題, 提出了基于多個子代理模型構造混合代理模型的方法, 可降低這些風險,同時提高模型的精確度。混合代理模型為

式中: x為設計變量; ymix為混合代理模型的響應值; m為混合代理模型包含的子代理模型個數(shù);yi( x)和 λi( x )分別代表第i個子代理模型和相對應的權重系數(shù), 權重系數(shù)之和等于1。

支持向量回歸(support vector regression, SVR)方法[18]、徑向基函數(shù)(radial basis functions, RBF)方法[19]和克里格(Kriging)方法[20]是工程中應用比較廣泛的代理模型方法, 文中選取這 3種方法來構造混合代理模型。

1.1 SVR代理模型

SVR方法支持向量機在回歸學習上的應用,該方法可以簡要概述如下。給定一組訓練樣本｛(x1, y1) ,(x2, y2),… ,(xn, yn)｝, 其中每一個xi∈R表示樣本點的輸入, 并且有一個相對應的目標值yi∈R, 對應訓練樣本的數(shù)目。SVR估計函數(shù)的一般形式為

式中: w是權重向量;g( x)是從低維輸入空間到高維特征空間的一組非線性變換;b是偏差。

SVR非線性擬合函數(shù)

1.2 RBF代理模型

RBF是以徑向函數(shù)為基函數(shù)通過線性疊加構造的模型, 基本形式

式中: n是采樣點數(shù); | |x - xi||是x與第i個采樣點xi在設計空間的距離; φ(·)為基函數(shù); λi是基函數(shù)在第i個采樣點的未知加權因子。

經過測試, 文中選取3次函數(shù)作為基函數(shù)的RBF模型。

1.3 Kriging代理模型

Kriging是一種使用廣義高斯方程作為基函數(shù)的特殊形式徑向基函數(shù)插值方法, 該方法是根據(jù)樣本空間的位置不同與樣本間相互關聯(lián)程度而不同, 對每個樣本賦予不同的權進行滑動加權平均, 用來估計未知空間的樣本信息。Kriging模型的預測響應值和均方誤差(mean square error,MSE)可以表示

1.4 權重系數(shù)計算

構建混合代理模型的核心是確定子代理模型的權重系數(shù) λi(x)。留一交叉驗證法(leave one out, LOO)可以有效地獲得子代理模型的特征值。首先取出 1個采樣點, 用剩下的采樣點和他們相對應的目標函數(shù)值和約束值構建代理模型, 然后用重建的代理模型重新預測取出采樣點的目標函數(shù)值和約束值, 最后可以得到每個代理模型對每個采樣點的預測值。文中選取相關系數(shù)(correlation coefficient, CC)、均方根誤差(root mean square error, RMSE)和最大絕對誤差(maximum absolute error, MAE)作為代理模型的特征值。其中

相關系數(shù)越高(接近1), 均方根誤差和最大絕對誤差越低(接近0), 說明代理模型的準確性越好。

D-S證據(jù)理論[21](dempster-shafer theory, DST)是一種由Dempster于1967年提出的不確定性推理方法, 該理論允許把整個問題和證據(jù)分解為若干個子問題、子證據(jù), 在對子問題、子證據(jù)做出相應地處理后, 利用Dempster組合規(guī)則可以得到整個問題的解, 組合規(guī)則的形式為

2 自適應罰函數(shù)

文中對藕節(jié)球殼體進行強度和穩(wěn)定性分析,所以把最大等效應力和屈曲系數(shù)被設定為約束條件。現(xiàn)有的文獻中已經提出了許多不同的約束處理方法[22-24], 常見的包括以下幾種: 保護可行解、罰函數(shù)、分離可行解和不可行解決以及混合方法。Woldesenbet等[25]提出了基于平衡可行解和不可行解的自適應懲罰函數(shù)方法來解決帶約束的多目標優(yōu)化問題。如果當前種群中的可行解較少, 則使用較大的懲罰因子將解推向可行區(qū)域,否則使用較小的懲罰因子。自適應罰函數(shù)包含 2個部分: 距離和自適應懲罰?？梢员硎緸?/p>

其中: v( x)是整體的約束沖突; rf是種群中可行解所占的比例; fm'' ( x)是第m個目標的歸一化目標函數(shù)值, 且

式中, fmax和 fmin是相應目標函數(shù)當前的最大值和最小值。

3 混合代理模型優(yōu)化算法

Deb等[26]提出的非支配排序遺傳算法(nondominated sorting genetic algorithm II, NSGA-II)是一種進化優(yōu)化算法, 該方法不僅能獲得均勻分布的Pareto最優(yōu)解集, 而且有很強的穩(wěn)定性和適應性, 是廣泛使用的多目標算法。

文中提出的優(yōu)化框架是基于混合代理模型和NSGA-II的全局優(yōu)化策略(具體步驟見圖1)。

圖1 基于混合代理模型和NSGA-II的全局優(yōu)化流程Fig. 1 Flowchart of global optimization process based on mixture surrogate model and non-dominated sorting genetic algorithm II(NSGA-II)

每一次迭代過程中通過 NSGA-II補充一組采樣點, 并對這一組采樣點進行高精度有限元仿真分析, 將分析結果加入到樣本數(shù)據(jù)庫, 從而更新混合代理模型。以此往復求得Pareto最優(yōu)解?；诨旌洗砟Ｐ秃蚇SGA-II的全局優(yōu)化策略總結如下。1) 試驗設計: 使用優(yōu)化拉丁超立方采樣方法在整個設計空間生成 N個采樣點。2) 對生成的N個采樣點進行有限元分析, 并將結果存儲在樣本中。3) 根據(jù)計算值對所有樣本進行排序。4) 構建混合代理模型的目標約束函數(shù), 樣品值使用真實的有限元分析計算值。5) 通過NSGA-II方法獲得下一代采樣點。6) 對新的采樣點進行有限元分析。7) 將新的采樣點計算值添加到樣本數(shù)據(jù)庫并進行更新, 獲得Pareto前沿。8) 重復步驟4)到7), 直到Pareto前沿幾乎不變。

4 AUV藕節(jié)球殼體多目標優(yōu)化

4.1 優(yōu)化模型

常見的藕節(jié)殼體包括2種結構形式: 切弧連接和環(huán)肋加強。圖 2顯示了2種藕節(jié)殼體的截面幾何參數(shù)。圖中: R=324 mm為AUV平行中段半徑值; Re是有效半徑; L是相鄰藕節(jié)肋骨的間距;t是殼體厚度; r是圓角半徑; x1, x2, x3, x4為環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的肋骨截面參數(shù); α為回轉角度。文中, AUV平行中段的總長L為1 500 mm, 藕節(jié)肋骨數(shù)為n。肋骨數(shù)為8的AUV藕節(jié)耐壓殼體參數(shù)化模型如圖3所示。

圖2 藕節(jié)殼體幾何參數(shù)Fig. 2 Geometry parameters of multiple intersecting spheres

圖3 藕節(jié)殼體模型Fig. 3 Model of multiple intersecting spheres

AUV切弧連接和環(huán)肋加強藕節(jié)球殼體的多目標優(yōu)化問題可以分別定義如下

式中: 切弧連接藕節(jié)殼體的設計變量為t和α;環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的設計變量為t, x1, x2, x3,x4; B/ G為浮重比; Ve為殼體內部的有效體積;Re為殼體結構的有效半徑; n為藕節(jié)肋骨的數(shù)目; t為殼體厚度; α為旋轉角度; σmax為殼體的最大等效應力; bf為殼體的屈曲系數(shù); 等效應力安全因子γ1=1.2; 屈曲系數(shù)安全因子γ2=1.2;x1, x2, x3, x4為環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的結構參數(shù)。

文中材料選用鈦合金, 屈服極限σs=930 MPa, 楊氏模量E=96 GPa, 泊松比μ=0.36, 密度ρ=4.62×103kg/m3, 耐壓殼體的最大下潛深度為1 000 m, 此時殼體所受外壓載荷P=10 MPa。有限元分析中, 端面軸向載荷的值

式中: Smax為最大橫截面積; Scross為殼體端面面積。

可以通過滿足幾何約束來確定旋轉角度α的初始范圍。然后使用隨機抽樣的方法選取設計點, 并對其進行有限元分析?？紤]等效應力約束和屈曲系數(shù)約束, 可以獲得設計變量 x1, x2, x3, x4的初始范圍。具體參數(shù)如式(17)和(18)所示。

經過初步的參數(shù)化建模和有限元分析計算,對殼體進行了結構受力分析和失穩(wěn)分析。當藕節(jié)數(shù) n ≥ 9 時, 切弧連接藕節(jié)殼體的設計變量區(qū)間變得很窄, 浮重比很低, Pareto前沿很窄; 當n≤ 5 時, 切弧連接藕節(jié)殼體的內部有效體積很小; 當 n ≥ 1 1時, 環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的設計變量區(qū)間變得很窄, 浮重比很低, Pareto前沿很窄; 當n≤ 7 時, 環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的內部有效體積很小。綜上所述, 考慮到實際應用問題, 文中對藕節(jié)數(shù) n = 6 , n = 7 , n =8的切弧連接藕節(jié)殼體以及藕節(jié)數(shù) n = 8 , n = 9 ,n =10的環(huán)肋加強藕節(jié)殼體進行浮重比和內部有效體積的多目標優(yōu)化設計。

4.2 計算結果與分析

初始樣本點數(shù)目選為20v, v表示設計變量的數(shù)目。通過優(yōu)化拉丁超立方采樣方法構造初始樣本點, 并對樣本點進行高精度有限元分析, 獲取結構的浮重比、內部有效體積、最大等效應力、屈曲系數(shù), 形成初始樣本數(shù)據(jù)庫。文中, NSGA-II的代數(shù)設為500, 種群大小為30, 經過10次的迭代更新, 多目標優(yōu)化問題的Pareto前沿基本不再發(fā)生變化, 考慮到計算成本, 可以停止迭代, 獲得Pareto前沿。

1) 混合代理模型的準確性

混合代理模型的預測值是否精確對后續(xù)的多目標優(yōu)化問題有著顯著影響, 因此, 有必要對混合代理模型的精確性進行分析。針對藕節(jié)數(shù)n=8的環(huán)肋加強藕節(jié)殼體, 根據(jù)第2節(jié)所述, 通過優(yōu)化拉丁超立方采樣方法獲得 100組采樣點, 對最大等效應力和屈曲系數(shù)混合代理模型。此外,用拉丁超立方采樣方法產生新的 20組采樣點用作比較, 對新的采樣點, 混合代理模型預測值與實際有限元分析的計算值對比見圖4。可以發(fā)現(xiàn),浮重比和內部有效體積的混合代理模型預測值與有限元計算值很接近, 說明代理模型精確度很高;相對而言, 最大等效應力和屈曲系數(shù)的代理模型精確度低了一些。為了驗證混合代理模型的準確性, 采用CC, RMSE和MAE 3個指標來進行計算分析。此外, 分別單獨使用SVR、RBF和Kriging來構造代理模型。浮重比( B / G)、內部有效體積Ve、最大等效應力σmax、屈曲系數(shù)bf的誤差分析結果見表1。

根據(jù)誤差系數(shù)計算, 相對于單個代理模型,混合代理模型的CC更高, RMSE和MAE更低,說明精確度更高, 因此選取混合代理模型進行下一步的優(yōu)化。

圖4 代理模型預測值與有限元計算值對比圖Fig. 4 Results comparison between surrogate model prediction and finite element analysis

表1 誤差系數(shù)分析結果Table 1 Results of error coefficient analysis

2) 切弧連接藕節(jié)殼體

藕節(jié)數(shù) n=8時, 切弧連接藕節(jié)殼體的 Pareto前沿如圖5所示。

圖5 n=8時切弧連接藕節(jié)殼體的Pareto前沿Fig. 5 Pareto front of tangent arc connective multiple intersecting spheres when n=8

當藕節(jié)數(shù)n=8時, 在構造切弧連接藕節(jié)殼體的最大等效應力、屈曲系數(shù)的混合代理模型過程中, RBF代理模型在構造殼體最大等效應力、屈曲系數(shù)的代理模型時體現(xiàn)了較高的準確性。

藕節(jié)數(shù)n=6, n=7, n=8的Pareto前沿如圖6所示。其中, 當藕節(jié)數(shù)n=7時, Pareto前沿的跨度最大, 包含的可行解最多。隨著藕節(jié)數(shù)的增加, 殼體的浮重比相對減小, 殼體的內部有效體積也隨之增大。在相同的浮重比下, 藕節(jié)數(shù)越大, 內部的有效體積越大。

圖6 n=6, 7, 8時切弧連接藕節(jié)殼體的Pareto前沿Fig. 6 Pareto front of tangent arc connective multipleintersecting spheres when n=6, 7 and 8

3) 環(huán)肋加強藕節(jié)殼體

藕節(jié)數(shù) n=8時, 環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的 Pareto前沿如圖 7所示。此時, 在構造環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的最大等效應力、屈曲系數(shù)的混合代理模型過程中, SVR代理模型體現(xiàn)了較高的準確性。

藕節(jié)數(shù)n=8, n=9, n=10的環(huán)肋加強藕節(jié)殼體Pareto前沿如圖8所示。其中, 當藕節(jié)數(shù)為8時,Pareto前沿的跨度最小, 包含的可行解最少。隨著藕節(jié)數(shù)的增加, 殼體的浮重比減小, 殼體的內部有效體積也隨之變大。在相同的浮重比下, 藕節(jié)數(shù)越大, 殼體內部的有效體積越大。當藕節(jié)數(shù)n=8時, 切弧連接藕節(jié)殼體和環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的Pareto前沿如圖9所示?？梢园l(fā)現(xiàn), 切弧連接藕節(jié)殼體的Pareto前沿較為寬廣和平滑, 而環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的Pareto前沿較為狹窄。相比于切弧連接藕節(jié)殼體, 環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的浮重比有了顯著的提升, 而內部有效體積也隨之減小。當殼體以浮重比為主要優(yōu)化目標時, 可以選用環(huán)肋加強藕節(jié)殼體, 當需要更多的內部有效體積時,切弧連接藕節(jié)殼體更加合適。

圖7 n=8時環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的Pareto前沿Fig. 7 Pareto front of ring-stiffened multiple intersecting spheres when n=8

圖8 n=8, 9, 10時環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的Pareto前沿Fig. 8 Pareto front of ring-stiffened multiple intersecting spheres when n=8, 9 and 10

圖9 n=8時2種藕節(jié)殼體所對應的Pareto前沿對比圖Fig. 9 Pareto front comparison between two multiple intersecting spheres when n=8

5 結論

文中使用基于混合代理模型和NSGA-II的多目標優(yōu)化方法, 實現(xiàn)了2種AUV藕節(jié)殼體的結構優(yōu)化設計, 主要結論有: 1) 對相同藕節(jié)數(shù)和藕節(jié)形式的殼體, 在厚度不變的情況下, 回轉角度α越大, 殼體強度和穩(wěn)定性越好; 2) 對環(huán)肋加強藕節(jié)殼體而言, 加強環(huán)肋結構的橫向參數(shù)x1和x3對殼體強度和穩(wěn)定性的影響要遠大于縱向參數(shù)x2和x4對殼體的影響; 3) 相比于切弧連接藕節(jié)殼體,環(huán)肋加強藕節(jié)殼體的浮重比更高, 內部有效體積相對較低。當以負載能力為主要優(yōu)化目標時, 可以選用環(huán)肋加強藕節(jié)殼體; 當水下航行器需要更多的內部有效體積時, 切弧連接藕節(jié)殼體更加合適; 4) 隨著藕節(jié)數(shù)目的增加, 殼體內部有效體積會增大, 但是殼體的浮重比也會減小。對同一種結構形式的藕節(jié)殼體而言, 當以負載能力為主要優(yōu)化目標時, 可以選用較小的藕節(jié)數(shù); 相反地,當水下航行器需要更多的內部有效體積時, 應該選用較大的藕節(jié)數(shù); 5) 混合代理模型可以提高模型的精確度, 減少計算成本?；诨旌洗砟Ｐ秃蚇SGA-II的全局優(yōu)化策略可以有效快速地對藕節(jié)殼體進行優(yōu)化。

文中對水下航行器藕節(jié)殼體優(yōu)化問題具有一定的工程參考價值, 后續(xù)將進行試驗驗證分析。

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Mixture Surrogate Model Based Structural Optimization Design of Multiple Intersecting Spheres for Automatic Undersea Vehicle

HE Yan-ru, SONG Bao-wei, CAO Yong-hui
(School of Marine Science and Technology, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

To solve the problem that the existing structural optimization designs of multiple intersecting spheres are simplified models and are lack of internal effective volume analysis, this paper uses the non-dominated sorting genetic algorithm II(NSGA-II) and the mixture surrogate model constructed by radial basis function, support vector regression function and Kriging function to perform multi-objective optimization of the tangent arc connective and ring-stiffened multiple intersecting spheres of an autonomous undersea vehicle(AUV) in terms of the buoyancy-weight ratio and the internal effective volume of the spheres. Parametric modeling of the two multiple intersecting spheres are implemented using UG secondary development. The Pareto front of this multi-objective optimization problem is obtained under the constraint of satisfying maximum equivalent stress and bulking factor. This research may provide a reference for optimization design of AUV shell.

automatic undersea vehicle(AUV); multiple intersecting spheres; multi-objective optimization; mixture surrogate model; non-dominated sorting genetic algorithm II(NSGA-II)

U674.941; TJ630.2

A

2096-3920(2017)05-0410-08

10.11993/j.issn.2096-3920.2017.05.003

何衍儒，宋保維，曹永輝. 使用混合代理模型的自主式水下航行器藕節(jié)殼體多目標優(yōu)化[J]. 水下無人系統(tǒng)學報, 2017, 25(5): 410-417.

2017-09-11;

2017-10-27.

國家自然科學基金資助項目(51375389).

何衍儒(1988-), 男, 在讀博士, 主要研究方向為基于代理模型的水下航行器結構優(yōu)化設計.

(責任編輯: 楊力軍)