費(fèi)曼“疑難問(wèn)題”初探

徐 湛

(清華大學(xué)物理系,北京 100084)

費(fèi)曼“疑難問(wèn)題”初探

徐 湛

(清華大學(xué)物理系,北京 100084)

本文試圖回答《費(fèi)曼物理學(xué)講義第3卷》第13-8節(jié)中提出的一個(gè)“疑難問(wèn)題”，即該講義導(dǎo)出了在有吸引性缺陷的一維晶格中，存在著一個(gè)處于能帶上方的束縛態(tài)能級(jí)，那么其物理意義是什么？我們的分析方法包括：構(gòu)造新的捕陷態(tài)，找出該問(wèn)題的全部可能的解，以及對(duì)散射振幅重新進(jìn)行解析延拓。各種方法導(dǎo)致的結(jié)論是一致的，即確實(shí)存在著費(fèi)曼所說(shuō)的那個(gè)處于能帶上方的一個(gè)束縛態(tài)能級(jí)，然而該晶格的缺陷一定是排斥性的，而不能是吸引性的。

晶格缺陷；捕陷態(tài)；束縛能級(jí)；散射振幅；解析延拓

首先簡(jiǎn)單回顧一下《費(fèi)曼物理學(xué)講義第3卷》第13章前幾節(jié)的內(nèi)容。這一章以一維晶格為例介紹了固體物理中的主要概念。首先考慮的是一維無(wú)限長(zhǎng)均勻晶格，這時(shí)哈密頓量矩陣的矩陣元是

(n∈,A>0)

其余的矩陣元為零，那么可以解得能量為

Ek=E0-2Acoskb,k∈(-π/b,+π/b]

其中b>0是晶格常數(shù)，所以

E0-2A≤Ek≤E0+2A

這就是能帶。然后假設(shè)n=0處有一個(gè)缺陷，因而H00變?yōu)?/p>

H00=E0+F

其余的矩陣元不變。對(duì)于散射問(wèn)題(13-6節(jié))，在左方入射的情況下，假設(shè)

(k>0,xn=nb)

可以解得散射振幅為

因而散射幾率為

注意：散射幾率對(duì)于F>0(排斥性缺陷)和F<0(吸引性缺陷)是無(wú)法區(qū)分的。對(duì)于捕陷問(wèn)題(13-7節(jié))，假設(shè)

可以解得κ需滿(mǎn)足

A(eκ b-e-κ b)=-F

由于κ,b>0，所以F一定<0，而捕陷態(tài)(束縛態(tài))的能量是

不難發(fā)現(xiàn)

Eb

所以這個(gè)能量在能帶以外并且在能帶的下方。最后，在13-8節(jié)中，費(fèi)曼把β的表達(dá)式寫(xiě)為

并且對(duì)根號(hào)進(jìn)行解析延拓，也就是在|E-E0|>2A的時(shí)候?qū)懗?/p>

所以β變?yōu)?/p>

當(dāng)F<0時(shí)，這個(gè)β會(huì)在

時(shí)出現(xiàn)極點(diǎn)，因此在

時(shí)出現(xiàn)束縛態(tài)。這里取“-”號(hào)的那個(gè)解已經(jīng)在前面得到了，費(fèi)曼的“疑難問(wèn)題”問(wèn)的是如何解釋取“+”號(hào)的那個(gè)解(它在能帶上方)的物理意義。

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們的回答如下。

1 另一個(gè)捕陷態(tài)

在有缺陷的時(shí)候，振幅的形式除去前面所假設(shè)的以外，還可以假設(shè)為

它也可以寫(xiě)為

(κ>0,k=π/b)

就是說(shuō)，它是從散射中心以波矢量k=±π/b向外傳播并同時(shí)以指數(shù)形式衰減的波。代入能量本征方程，對(duì)于n≠0,±1得

E-E0=A(eκ b+e-κ b)

對(duì)于n=±1得

所以

a0=c=c′

再代入n=0的方程得

E-E0=F+2Ae-κ b

與E-E0=A(eκ b+e-κ b)比較，發(fā)現(xiàn)κ要滿(mǎn)足條件

A(eκ b-e-κ b)=F

與前類(lèi)似地，由于κ,b>0故F一定>0。由E-E0=A(eκ b+e-κ b)=2Acoshκb和

就得能量為

這正是在前式中取“+”號(hào)的那個(gè)能級(jí)。但是，與這里的條件F>0不同，在13-8節(jié)中費(fèi)曼考慮的是F<0的情形，那么，在F<0的時(shí)候有這樣的解存在嗎？

2 一維無(wú)限長(zhǎng)晶格含一個(gè)雜質(zhì)情形的全部解

首先，對(duì)于n≠0總成立方程

(E-E0)an=-A(an-1+an+1)

所以

要讓這個(gè)式子對(duì)任何n≠0成立，顯然可以假設(shè)an-1/an和an+1/an與n(≠0)無(wú)關(guān)?？紤]到n=0是分界點(diǎn)，可以假設(shè)an-1/an(對(duì)n≤-1)=an+1/an(對(duì)n≥+1)=α，它們都滿(mǎn)足

所以現(xiàn)在

其中兩個(gè)系數(shù)相等是由n=±1的方程決定的。為了使n→±∞時(shí)an有界，要求

記

α=e-β+iγ

那么|α|≤1導(dǎo)致

β≥0

同時(shí)

而它必須是實(shí)數(shù)，所以

(eβ-e-β)sinγ=0

這包含了3種情形：β=0,γ=0和γ=π，也就是說(shuō)α=e-β+iγ是在單位圓上或者在單位圓的實(shí)軸直徑上但挖去圓心。以下分別進(jìn)行分析：

(1)β=0，所以α=eiγ,α+α-1=2cosγ,E=E0-2Acosγ，這就是能帶內(nèi)的能級(jí)(只不過(guò)原先把γ記做了kb)。此時(shí)F的值(包括它的正負(fù))完全不影響能量，只決定了c和a0之間的關(guān)系。事實(shí)上，從n=0的方程

(2Acosγ+F)a0=2Aeiγc

可得

(2)γ=0，所以α=e-β,E=E0-A(eβ+e-β)(β>0)，這就是在能帶下方的那個(gè)束縛態(tài)的能級(jí)，把它代入n=1的方程得a0=c，而n=0的方程成為

F=-A(eβ-e-β)<0

所以它在F<0時(shí)出現(xiàn)。

(3)γ=π，所以α=e-β+iπ=-e-β,E=E0+A(eβ+e-β)，這就是在能帶上方的那個(gè)束縛態(tài)的能級(jí)，把它代入n=1的方程仍然得a0=c，而n=0的方程成為

F=A(eβ-e-β)>0

所以它在F>0時(shí)出現(xiàn)。

這樣看來(lái)，只要an-1/an和an+1/an與n(≠0)無(wú)關(guān)，上面的解就是滿(mǎn)足波函數(shù)有限條件的全部解而沒(méi)有遺漏，但是其中沒(méi)有F<0而E=E0+A(eβ+e-β)的解。顯然，它只能出現(xiàn)在an滿(mǎn)足一種復(fù)雜的遞推關(guān)系但仍然保持(an-1+an+1)/an=常數(shù)(n≠0)的時(shí)候。有這種可能性嗎？

對(duì)于n>0的那些系數(shù)(n<0的分析也類(lèi)似)記

那么前面的方程就是

由此很容易發(fā)現(xiàn)α1和α2決定了全部的αn(n≥3)。特殊地說(shuō)，如果取

α1=α2=α

甚至任意兩個(gè)鄰近的αm=αm+1=α，那么全體αn=α(n≥1)，而這正是前面分析過(guò)的情況，所以例外只能發(fā)生在α2≠α1(因而全體αn都不相等)。方程

可以改寫(xiě)為

α1α2一定<1，假設(shè)αn都是正數(shù)，那么就有

(α2-α3)>(α1-α2)

更一般地，有

因而

(αn+1-αn+2)>(αn-αn+1)

這意味著數(shù)列{αn}的相鄰兩項(xiàng)之差(只要這個(gè)差≠0)隨著n的增加會(huì)被一步一步地放大，這將使這個(gè)數(shù)列根本不收斂。這種情形在物理上是應(yīng)該排除在外的。

3 對(duì)散射振幅解析延拓的再分析

根據(jù)上述，我們并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)F<0的時(shí)候有取“+”號(hào)的解，這使我們對(duì)費(fèi)曼所做的解析延拓是否恰當(dāng)產(chǎn)生了懷疑。

讓我們把散射振幅再次寫(xiě)出，

費(fèi)曼把那個(gè)根號(hào)一股腦兒地做延拓，這是有問(wèn)題的，因?yàn)槟莻€(gè)根號(hào)的里邊是能量的二次式，它和能量本身并非一一對(duì)應(yīng)。正確的做法是把這個(gè)二次式做因式分解，寫(xiě)為兩個(gè)一次式的乘積，即

它的極點(diǎn)是

這在F<0時(shí)出現(xiàn)，所以

(E-E0)2=4A2+F2

它的極點(diǎn)在

這在F>0時(shí)出現(xiàn)，所以

這里在根號(hào)前只取“+”號(hào)也是因?yàn)檫@個(gè)延拓的前提條件是E-E0>2A。這樣進(jìn)行的解析延拓，一方面更加自洽，另一方面也和直接計(jì)算的結(jié)果相同。

所以總括起來(lái)我們可以說(shuō)：費(fèi)曼所說(shuō)的那個(gè)取“+”號(hào)的束縛態(tài)能量確實(shí)是唯一存在的，但條件是F>0而不是F<0。這就是我們對(duì)費(fèi)曼的“疑難問(wèn)題”給出的解答。

[1] 費(fèi)曼R.P.,萊登R.B.,桑茲M(mǎn)..費(fèi)曼物理學(xué)講義第三卷[M].《費(fèi)曼物理學(xué)講義》翻譯組，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1989.

[2] Feynman R P, Robert B.Leighton, Matthew L.Sands, The Feynman Lectures on Physics Volume Ⅲ[M]. Commemorative Issue, Pearson Education, Inc., Publishing as Prentice Hall Inc., 2004.

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簡(jiǎn)訊

清華大學(xué)本科教學(xué)審核評(píng)估工作圓滿(mǎn)完成

2017年11月6日—9日，清華大學(xué)迎來(lái)了“普通高等學(xué)校本科教學(xué)工作審核評(píng)估”。不同于以往的評(píng)估，這次評(píng)估國(guó)家不設(shè)統(tǒng)一評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)，主要看被評(píng)估高校是否達(dá)到了自身設(shè)定的目標(biāo)，是用“自己的尺子量自己”。評(píng)估期間，專(zhuān)家共抽閱物理系1800多份《大學(xué)物理B1》期末試卷、40多份2013級(jí)本科畢業(yè)論文；聽(tīng)了兩門(mén)物理系開(kāi)設(shè)的基礎(chǔ)課《大學(xué)物理B》(2) 和《費(fèi)曼物理學(xué)》(3)，并看課若干門(mén)；此外，還與物理系部分本科生進(jìn)行了座談。

在由評(píng)估專(zhuān)家與清華物理系領(lǐng)導(dǎo)和老師共同參加的座談會(huì)上，參會(huì)教師就評(píng)估專(zhuān)家提出的關(guān)于物理系目前師資隊(duì)伍、教學(xué)投入、人才培養(yǎng)、教育理念實(shí)施等情況作了詳細(xì)介紹，專(zhuān)家對(duì)物理系的本科教學(xué)工作給予了肯定。

在大家的共同努力下，清華大學(xué)本科教學(xué)審核評(píng)估工作圓滿(mǎn)結(jié)束。

(摘編自清華大學(xué)物理系工作簡(jiǎn)報(bào)，原文由陳昌婷老師供稿)

APRELIMINARYSTUDYONFEYNMAN’S“PUZZLE”

XUZhan

(Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084)

This paper tries to answer the “puzzle” in Section 13-8 of Feynman Lectures on Physics Volume 3, which claimed that in a one-dimensional lattice with an attractive imperfection there is a bound state above the energy band, and asked what its physical meaning is. Our analysis includes constructing a new trapped state, finding all possible solutions to the problem and reanalyzing the analytic continuation of the scattering amplitude. Various methods lead to a consistent conclusion that indeed there is an energy level of bound state above the energy band as Feynman said, but the lattice imperfection should be repulsive instead of attractive.

lattice imperfection; trapped state, bound state level; scattering amplitude; analytic continuation

2016-11-18

徐湛，男，教授，主要從事物理科研和教學(xué)工作，研究方向?yàn)槔碚撐锢恚瑉x-dmp@tsinghua.edu.cn。

徐湛. 費(fèi)曼“疑難問(wèn)題”初探[J]. 物理與工程，2017，27(6)：27-30.

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