王磊

在中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)思想主要有五個(gè)：整體思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合與分類討論思想.而“類比”思想作為一種重要的思維方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著特殊的作用.縱觀近幾年的數(shù)學(xué)中考題可以發(fā)現(xiàn)，中考尤其重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，不論是基礎(chǔ)題，中檔題，還是壓軸題無一不顯露這樣的特點(diǎn).其中近幾年對(duì)“類比”思想的考查顯得較為頻繁，充分體現(xiàn)了“類比”思想的重要性.筆者想利用本文對(duì)其中一題進(jìn)行總結(jié)與剖析，供大家交流.

例題 如圖1所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為4，AE=x，BF=y，當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求出這個(gè)最大值.

分析 根據(jù)題意可知，這是一道典型的利用“同角（等角）的余角相等”的題目，學(xué)生解決本題的關(guān)鍵就是找到這個(gè)同角，再利用這個(gè)定理解決就可以了.

解答 ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠AED+∠BEF=90°，又∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BEF，∴△ADE∽△BEF，則有ADBE=AEBF，即44-x=xy，化簡(jiǎn)得y=-14x2+x=-14（x-2）2+1，所以當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值1.

變式運(yùn)用 如圖2所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)C′處;作∠BPC′的角平分線交AB于點(diǎn)E.設(shè)BP=x，BE=y，問：當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求出這個(gè)最大值.

分析 本道題在例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了簡(jiǎn)單的變形，利用了對(duì)稱和角平分線的性質(zhì)可以將本題轉(zhuǎn)化成例題的類型，從而不難看出和例題的相似之處.

解答 由題意可知∠CPC′=2∠DPC′，∵PE是∠BPC′的角平分線，∴∠BPC′=2∠EPC′，又∵∠CPC′+∠BPC′=180°，∴∠DPC′+∠EPC′=90°，即EP⊥DP.由例題的方法可以知道△BPE∽△CDP，則有BECP=BPCD，即y5-x=x3，化簡(jiǎn)得

y=-13x2+53x，進(jìn)而可求得當(dāng)x=52時(shí)，y有最大值2512.

推廣運(yùn)用1 如圖3所示，直角梯形OABC的一頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點(diǎn)，BD=14OA=2，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA，AB上的兩動(dòng)點(diǎn)，且始終保持∠DEF=45°.設(shè)OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系.

分析 本道題在例題的基礎(chǔ)進(jìn)行了推廣，很顯然地可以發(fā)現(xiàn)由原來的垂直關(guān)系推廣到了特殊角的關(guān)系，而且利用了類似于定理“同角（等角）的余角相等”的思想來解決本道題，完全展現(xiàn)了數(shù)學(xué)“類比”思想方法的運(yùn)用.

解答 連接OD，如圖3所示，先求出D點(diǎn)坐標(biāo)為322，322，可知：D點(diǎn)在∠COA的平分線上，則∠DOE=∠COD=45°，又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴OD=AB=3，由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°，又∵∠2=∠DEA-45°，∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF，∴OEAF=ODAE，即xy=342-x，∴y=-13x2+423x.

推廣運(yùn)用2 如圖4所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，D是AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），E是BC邊上一點(diǎn)，且∠CDE=30°.設(shè)AD=x，BE=y，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系.

分析 本道題仍是例題的推廣運(yùn)用，繼續(xù)體現(xiàn)“類比”思想的運(yùn)用.但在推廣運(yùn)用1的基礎(chǔ)上加大了難度，本題需要我們對(duì)圖形進(jìn)行構(gòu)造，構(gòu)造出相似三角形，再利用例題方法的類比思想就可以得到解決了.

解答 構(gòu)造如圖5的底角為30°的等腰三角形CFB，∵∠CDE=30°，∴∠CDF+∠BDE=150°，在△DBE中，∠B=30°，則有∠BDE+∠BED=150°，∴∠CDF=∠BED，那么△CFD∽△DBE（如圖6所示）.因此，CFFD=DBBE，即232+x=4-xy，整理后得y=-36x2+33x+433.

總之，一些數(shù)學(xué)問題的解決思路常常是相通的，類比思想可以教會(huì)學(xué)生由此及彼，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí).如何使學(xué)生較快地理解和掌握數(shù)學(xué)思想、方法，更是我們廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師所關(guān)心以及要進(jìn)行深入研究的問題.對(duì)類比思想在初中教學(xué)中的運(yùn)用，我們還有待于挖掘、發(fā)展、完善，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到事半功倍的效果，從而使學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)得開心.