張治才

[摘? 要] 從領會教材編寫意圖，深挖章頭引言含義，用好教材所列素材等方面，闡述了如何挖掘教材深意，讓數(shù)學課堂充滿數(shù)學韻味.

[關鍵詞] 教材;課堂;數(shù)學韻味

上一節(jié)好課是每個高中數(shù)學教師每一天的追求.怎樣的數(shù)學課是好的數(shù)學課？數(shù)學教育家波利亞說：“當學生把所有的數(shù)學知識都忘記的時候，留在學生腦海深處的就是學生真正內(nèi)化的數(shù)學本質(zhì)的東西.”筆者認為，好的數(shù)學課應該充分滲透數(shù)學核心素養(yǎng)，能夠在學生腦海中留下更多的數(shù)學本質(zhì)的烙印，為學生的終身發(fā)展服務，筆者把這樣的數(shù)學課堂稱之為充滿數(shù)學韻味的課堂.

如何讓數(shù)學課堂充滿數(shù)學韻味？用好教材是關鍵.在教學過程中，真正做到“用教材教”，而不是“教教材”. 這需要數(shù)學教師吃透數(shù)學教材，從課程標準和數(shù)學教材本身的角度挖掘教材的深意，把教材中隱藏的數(shù)學思想方法以合理的形式呈現(xiàn)出來，把教材中所隱含的前后聯(lián)系用符合學生認知規(guī)律的方式在課堂中展現(xiàn)出來，把教材中蘊含的數(shù)學問題的研究思路挖掘出來. 只有這樣深層次挖掘教材，才能讓數(shù)學課充滿數(shù)學韻味. 下面結合自己的教學實踐，例談如何挖掘教材深意，造就課堂韻味.

領會教材編寫意圖，讓數(shù)學課堂充滿數(shù)學化的韻味

教材的每一章、每一節(jié)，甚至每一句話，都有特定的意圖. 只有充分領會教材編寫的意圖，才能創(chuàng)造性地使用教材，把教材中隱含的數(shù)學思想挖掘出來，并在教學過程中合理地組織教學，進而讓數(shù)學課堂充滿數(shù)學化的韻味.

教材中有的內(nèi)容看似簡單，甚至被部分老師認為可有可無，在該內(nèi)容的教學中本應是一節(jié)課的內(nèi)容十幾分鐘就完成了. 出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因在于教師沒有深層次地領會教材編寫的意圖，沒能把教材背后隱藏的數(shù)學思想方法挖掘出來. 這樣的教學必定會丟失該節(jié)內(nèi)容本應有的數(shù)學育人價值.

案例1：蘇教版高中數(shù)學教材《必修3》第二章第一節(jié)“簡單隨機抽樣”，這節(jié)內(nèi)容在很多老師看來，非常簡單，通常在進行這部分內(nèi)容的教學過程中，草草了事，導致很多有價值的數(shù)學教育的元素丟失. 但當我們仔細挖掘教材時，發(fā)現(xiàn)有很多數(shù)學化的東西隱藏在本節(jié)教材中. 筆者在一次市評優(yōu)課的教學過程中，知識的生成部分進行了如下的設計：

1. 問題情境

情境1：2013年度，湖南衛(wèi)視的收視率居地方衛(wèi)視的榜首，收視率的得到需要調(diào)查全中國所有電視用戶嗎？

情境2：為應對釣魚島局勢，提升國防力量，某軍工廠生產(chǎn)了一批炸彈，需要檢測這批炸彈的威力，有什么好的辦法？

情境3：在1936年美國總統(tǒng)選舉前，一份頗有名氣的雜志的工作人員做了一次民意測驗，調(diào)查查蘭頓和羅斯福中誰將當選下一屆總統(tǒng). 為了了解公眾意向，調(diào)查者通過電話簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了調(diào)查表（注意在1936年電話和汽車只有少數(shù)富人擁有），通過分析收回的調(diào)查表，顯示查蘭頓非常受歡迎，于是此雜志預測查蘭頓將在選舉中獲勝. 實際選舉結果正好相反，最后羅斯福在選舉中獲勝. 其數(shù)據(jù)如下：

2. 數(shù)學探究

探究一：如何科學地抽樣？

實例：為了提升我校辦學水平，需要從我班所有同學中隨機抽取10名同學進行民意調(diào)查，應如何抽??？

（1）討論：學生討論具體的抽取辦法和步驟.

（2）交流：學生代表回答討論結果，請其他同學補充、完善.

（3）一般化：將剛才的問題一般化，歸納出用抽簽法從個體數(shù)為N的總體中抽取一個容量為k的樣本的一般步驟：

①將總體中的N個個體編號;

②將這N個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上;

③將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻;

④從箱中每次抽出一個號簽，連續(xù)抽出k次;

⑤將總體中與抽到的號簽編號一致的k個個體取出.

探究二：如何將抽簽法進行改進，以彌補其不足？

（1）抽簽的本質(zhì)是什么？

隨機地抽出一組數(shù).

（2）對比抽簽法的步驟，用隨機數(shù)表法解決上述實例.

（3）歸納出隨機數(shù)表法的一般步驟：

①對總體中的個體進行編號（每個號碼位數(shù)一致）;

②在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始;

③從選定的數(shù)開始按一定方向讀下去，若得到的號碼在編號中，則取出;若得到的號碼不在編號中或前面已經(jīng)取出，則跳過;如此繼續(xù)下去，直到取滿為止;

④根據(jù)選定的號碼抽取樣本.

（4）引導學生閱讀教材中隨機數(shù)表的制作方法，從中體會運用隨機數(shù)表法抽樣的合理性.

探究三：抽簽法與隨機數(shù)表法有哪些共同特征？

引導學生結合抽簽法和隨機數(shù)表法的步驟，歸納出兩種方法的共同點：①個體數(shù)有限;②逐個抽取;③不放回地抽取;④每個個體被抽到的可能性相同.在此基礎上，得出簡單隨機抽樣的概念.

設計說明：本節(jié)課設計的總體思路：從問題情境1、問題情境2感受抽樣統(tǒng)計的重要性和必要性問題情境3引出如何科學抽樣通過具體實例探究科學抽樣的方法：抽簽法反思抽簽法的不足探究如何改進抽簽法，彌補其不足（隨機數(shù)表法）歸納兩種抽樣方法的共同點，得到簡單隨機抽樣的概念.

本節(jié)內(nèi)容有兩條線索，一條主線：從生活經(jīng)驗數(shù)學化得到抽簽法，再從抽簽法進一步數(shù)學化，得到隨機數(shù)表法. 兩種方法有著非常強的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，隨機數(shù)表法是對抽簽法的優(yōu)化，讓學生體會兩次數(shù)學化的過程是本節(jié)課的核心. 另一條暗線隱藏教學活動中，那就是不斷提出問題，解決問題，再不斷提出新問題的過程，這正符合數(shù)學的發(fā)展歷程.

建構數(shù)學的過程分三步：第一步是探究如何科學地抽樣，這個過程中，以實際的例子讓學生討論、交流、完善，從而歸納出抽簽法的一般步驟，并用數(shù)學語言來描述，整個過程以學生為主體，教師通過提問，適當引導，充分發(fā)揮學生的主體能動性.從第一步到第二步，讓學生反思抽簽法的不足，引導學生思考解決問題的辦法，自然過渡到隨機數(shù)表法. 從抽簽法到隨機數(shù)表法的數(shù)學化過程，是本節(jié)課的難點，為突破難點，對比抽簽法的步驟，在教師的引導下，通過師生互動，進行教學.第三步，探究兩種抽樣方法的共同點，可以進一步鞏固兩種抽樣方法，并在此基礎上，歸納、提煉出共同點，水到渠成地得到簡單隨機抽樣的概念.

在案例1中，一節(jié)看似簡單的課，當我們充分挖掘教材編寫意圖，把教材中隱含的數(shù)學思想即兩次數(shù)學化的過程進行充分挖掘，這種充滿數(shù)學化韻味的課堂對學生的數(shù)學思維的發(fā)展很有益.

深挖章頭引言含義，讓數(shù)學課堂充滿探究的韻味

教材的每一章都有章頭引言，章頭引言要么在內(nèi)容上起到統(tǒng)領全章的作用，要么在問題上是全章的核心問題，提出了研究這一章內(nèi)容的必要性. 在教學過程中，深挖章頭引言的含義，并在課堂教學中合理地用好章頭引言，通過對章頭引言充分利用，可以讓數(shù)學課堂充滿探究的韻味.

案例2：蘇教版高中數(shù)學教材《必修4》中的“三角函數(shù)”一章，章頭引言提出了這樣一個問題：生活中有很多“按照一定規(guī)律周而復始”的現(xiàn)象，比方說摩天輪問題，把生活中的現(xiàn)象抽象出數(shù)學問題：如何用數(shù)學模型來刻畫點P在圓周上周而復始的運動？

這是全章的核心問題，全章都在圍繞著這個問題展開. 為了找到刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學模型，首先解決了如何去刻畫圓周上點的位置，可以建立直角坐標系，把點P用直角坐標P（x，y）來表示，也可以以水平方向為參照方向，把點P用（r，α）或者（r，l）來表示. 圍繞著如何用數(shù)學模型來刻畫點P在圓周上周而復始的運動，自然就有了如下的幾個問題：

（1）當點P周而復始地運動時，角α如何刻畫？

（2）r，l，α之間有怎樣的聯(lián)系？

（3）x，y，r，α之間有怎樣的關系？

（4）刻畫點P在圓周上周而復始的運動的數(shù)學模型到底是什么數(shù)學模型？這樣的數(shù)學模型是什么時候建立起來的？

（5）這樣的數(shù)學模型是如何刻畫點P在圓周上周而復始的運動的？

（6）這樣的數(shù)學模型具有怎樣的性質(zhì)？

設計說明：在教學中，充分運用章頭引言，合理自然地引導學生提出上述問題，并探究解決上述問題.在探究的過程中，問題（1）的解決就有了任意角的概念;問題（2）的解決就有了弧度制;問題（3）的解決有了合理定義任意角的三角函數(shù)這一節(jié)內(nèi)容;問題（4）讓學生理解三角函數(shù)是函數(shù)，它是刻畫生活中周而復始的現(xiàn)象的數(shù)學模型;問題（5）和問題（6）的解決有了三角函數(shù)的周期性和三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)這兩節(jié)的內(nèi)容.

可以看出，全章內(nèi)容通過章頭引言進行了很好的連貫，每一節(jié)內(nèi)容的學習都有它的必要性（解決上述問題），每一節(jié)內(nèi)容的學習也都那么自然.在教學過程中，筆者引導學生提出上面的問題，并組織合理探究，探究上述問題如何解決.在探究中，自然地建構新的知識. 讓全章內(nèi)容融為一體，既讓學生對三角函數(shù)的認識非常深刻，又能提升學生數(shù)學探究的能力和數(shù)學學習的興趣.

由此可見，在數(shù)學教學中，深度挖掘章頭引言，可以讓全章的數(shù)學內(nèi)容更具有知識的生長點. 圍繞著知識的生長點，合理組織探究活動，可以讓數(shù)學課堂充滿探究的韻味. 在數(shù)學探究的過程中，主動地建構知識，對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展具有較好的促進作用.

用好教材所列素材，讓數(shù)學課堂充滿理性的韻味

為了達成課程標準的要求，教材在編寫的過程中，每節(jié)內(nèi)容都有特定的素材.在語言的形式上有圖形語言、文字語言、符號語言，在教材內(nèi)容的呈現(xiàn)上，有的以例題、習題的形式呈現(xiàn)，有的以思考、鏈接的形式呈現(xiàn).每一個教材中的素材，都有其獨特的作用. 教師應該在準確理解教材編寫意圖的基礎上，創(chuàng)造性地使用教材中的素材，讓數(shù)學課堂充滿理性的韻味.

1. 問題情境

問題情境1：某黃金店因故只有一制造不夠精確的天平可用（天平的左右兩臂長不相等，左臂長為l1，右臂長為l2），商家提議：先把黃金放在天平的左盤，稱得質(zhì)量為a，再把黃金放在右盤，稱得質(zhì)量為b，把兩次所得的質(zhì)量平均一下，作為黃金的質(zhì)量.我要不要接受商家的建議？

（1）PM=_________，半圓的半徑R=_________.

（2）當點P在半圓上運動時，比較PM與R的大小關系.

2. 數(shù)學探究

學生分小組討論，每四個同學一個小組，討論后交流結果，以教師提問，小組派代表回答，教師在學生回答的基礎上板書三種證法：比較法、分析法、綜合法.

探究二：學生分小組探究下列問題.

（1）基本不等式中，若去掉a≥0，b≥0這個前提條件，結論成立嗎？

（2）如何從圖形角度理解當且僅當a=b時，取“=”.

（3）從基本不等式左右兩邊的式子特征，你能聯(lián)想到以前學過的什么知識？

（兩個正數(shù)的等差中項大于等于它的等比中項）

案例3中，合理用好教材所呈現(xiàn)的素材，將教材進行創(chuàng)造性的處理，讓學生經(jīng)歷從感性到理性的思維發(fā)展過程，可以讓學生充分感受數(shù)學的理性的魅力.

數(shù)學教材是教師教學的藍本. 在教學中，需要深刻挖掘教材的內(nèi)涵，領會教材的編寫意圖，合理利用教材中的素材，將隱藏在教材內(nèi)容中的數(shù)學思想挖掘出來，創(chuàng)造性地使用教材，方可讓數(shù)學課堂充滿數(shù)學韻味，讓數(shù)學課堂獨具魅力.