理解數(shù)學(xué)：高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的起點(diǎn)

張建軍

[摘? 要] 核心素養(yǎng)指向了關(guān)鍵能力這一根本. 作為教育教學(xué)的終極性目標(biāo)，核心素養(yǎng)的培育需要可靠的途徑. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，促進(jìn)學(xué)生從學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)與學(xué)習(xí)方式等維度理解數(shù)學(xué)，是核心素養(yǎng)得以培育的重要起點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的重要途徑.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);理解數(shù)學(xué);核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)培育已經(jīng)成為當(dāng)前基礎(chǔ)教育最熱門的話題，核心素養(yǎng)是面向成長目標(biāo)的，而日常教學(xué)是強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程的，只有科學(xué)的教學(xué)過程才能保證核心素養(yǎng)的實(shí)現(xiàn). 從高中數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來看，良好的教學(xué)過程決定于良好的教學(xué)起點(diǎn)，而良好的教學(xué)起點(diǎn)就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，從學(xué)生建構(gòu)知識的角度來看，學(xué)習(xí)起點(diǎn)不是學(xué)生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，也不是學(xué)生在生活中積累的與數(shù)學(xué)相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，真正的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，筆者以為應(yīng)當(dāng)是學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，這可理解為“理解數(shù)學(xué)”.

從學(xué)生的角度來看，理解數(shù)學(xué)的基本含義是以理解而非機(jī)械記憶的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)古老命題，在傳統(tǒng)的教學(xué)語境中我們強(qiáng)調(diào)“理解學(xué)習(xí)”而不是“死學(xué)”時(shí)，就是在強(qiáng)調(diào)理解的本意. 而經(jīng)過了十五六年的課程改革的洗禮，理解數(shù)學(xué)的另一層含義就是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中建立對數(shù)學(xué)課程的理解，這一要求對于高中學(xué)生來說是適切的，因?yàn)楦咧须A段的學(xué)生已經(jīng)開始對包括數(shù)學(xué)學(xué)科在內(nèi)的學(xué)科課程生成理解，他們常常會思考學(xué)習(xí)某一學(xué)科的意義是什么. 這一命題表面看起來與學(xué)科無關(guān)，更不能給應(yīng)試帶來幫助，但對于學(xué)生理解課程，理解課程學(xué)習(xí)的必要性來說，其實(shí)非常有益. 因此，真正幫學(xué)生建立學(xué)科理解，真正讓學(xué)生在“理解數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，那對于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育來說，一定是有極大的裨益的.本文試以函數(shù)的相關(guān)知識學(xué)習(xí)為例，闡述筆者的觀點(diǎn).

理解數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容與內(nèi)涵

理解數(shù)學(xué)可以是經(jīng)驗(yàn)性理解，也可以是學(xué)術(shù)性理解.對于一線教師而言，偏頗于任何一端都是不妥當(dāng)?shù)?，過于經(jīng)驗(yàn)則行之不遠(yuǎn)，過于學(xué)術(shù)則容易脫離實(shí)踐，因此執(zhí)兩端而取中間，對于一線教師而言是比較妥當(dāng)?shù)倪x擇.在梳理了研究者的理論研究與筆者的實(shí)踐之后，筆者以為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)理解可以從這樣的幾個(gè)方面來進(jìn)行.

第一，理解學(xué)習(xí)內(nèi)容. 很多時(shí)候?qū)W生對學(xué)習(xí)內(nèi)容是處于高度被動的狀態(tài)的，教師教什么他學(xué)什么.這看起來是一個(gè)無法逆轉(zhuǎn)的情形，但對于學(xué)生來說其實(shí)是有著很強(qiáng)的主動性發(fā)揮的空間的.在教“函數(shù)”相關(guān)知識的時(shí)候，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)的零點(diǎn)等知識的學(xué)習(xí)，尤其是方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系判斷，其實(shí)是函數(shù)這一知識體系中的重要內(nèi)容. 將方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)聯(lián)系起來，是學(xué)生其后利用二分法解方程的重要鋪墊，在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容的時(shí)候，筆者以為要幫學(xué)生建立的理解是：必須認(rèn)識到方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)在函數(shù)這一知識體系中的地位與作用，特別需要強(qiáng)調(diào)的是，需要幫學(xué)生認(rèn)識到這一知識的學(xué)習(xí)更多地需要從函數(shù)的圖像分析角度來建立基本理解（高中階段不涉及連續(xù)函數(shù)，因而無法依此進(jìn)行）. 總的來說就是一點(diǎn)，學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解，關(guān)鍵在于認(rèn)識到新學(xué)知識與已有知識之間的聯(lián)系，要盡可能地讓學(xué)生在原有知識體系與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)新知識的學(xué)習(xí)，這樣才能讓學(xué)生的新知有一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這也是核心素養(yǎng)中關(guān)鍵能力形成的重要基礎(chǔ).

第二，理解學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn). 對于教師而言，每一課的教學(xué)都是有目標(biāo)的，而筆者在實(shí)踐中更傾向于讓學(xué)生認(rèn)識到在自己的基礎(chǔ)之上能夠達(dá)到什么樣的學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)，即每個(gè)人必須清晰地認(rèn)識到在每一個(gè)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中，自己應(yīng)當(dāng)達(dá)到什么樣的要求. 函數(shù)這一部分知識中，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的對應(yīng)關(guān)系其實(shí)包含著兩點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系：一是方程與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系;二是方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系. 在學(xué)習(xí)中需要讓學(xué)生認(rèn)識到方程與函數(shù)既有區(qū)別又有聯(lián)系，而方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)在本質(zhì)以及體現(xiàn)（如圖像）上是存在聯(lián)系的，建立這種聯(lián)系，是學(xué)好本知識的基礎(chǔ). 對于不同層次的學(xué)生而言，尤其是對于中等生及學(xué)困生而言，需要引導(dǎo)他們認(rèn)識到這是掌握本部分知識的基準(zhǔn)點(diǎn).

第三，理解學(xué)習(xí)方式. 這是理解數(shù)學(xué)的重要支點(diǎn)，也是容易為學(xué)生所忽視的理解數(shù)學(xué)的內(nèi)容. 不同的學(xué)科，其學(xué)習(xí)方式差異其實(shí)是比較大的，高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，需要縝密的邏輯思維，也需要良好的直覺. 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，看似屬于方程和函數(shù)兩個(gè)不同領(lǐng)域的內(nèi)容，但實(shí)際上當(dāng)將函數(shù)變成方程（函數(shù)向函數(shù)值為0的轉(zhuǎn)換），將體現(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系上的函數(shù)圖像的函數(shù)值判斷為0，這里需要的是學(xué)生及時(shí)在思維中完成思維對象的轉(zhuǎn)換，而這就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方式. 只有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中能夠選擇恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方式，才有可能保證數(shù)學(xué)理解能夠?qū)崿F(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成也才有了基礎(chǔ).

以上三點(diǎn)固然不能概括數(shù)學(xué)理解的全部，但可以肯定的是兼顧到這三點(diǎn)，那數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)就是扎實(shí)的、穩(wěn)固的，核心素養(yǎng)的培育也就是可能的.

在理解數(shù)學(xué)過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

理解數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是并行的，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中理解數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本目標(biāo)，而理解數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目標(biāo). 對于日常的高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，在理解的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)顯得更有研究價(jià)值. 這里仍以“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”這一內(nèi)容的教學(xué)為例來闡述筆者的思考.

顯然，這一知識的教學(xué)中的思維加工對象有二：一是作為函數(shù)的y=ax2+bx+c（a≠0）;二是作為方程的ax2+bx+c=0（a≠0）. 兩者之間的聯(lián)系是什么？函數(shù)的圖像與方程的根又是什么關(guān)系？兩者在圖像上如何產(chǎn)生聯(lián)系？這些問題的回答，實(shí)際上就是指向了本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.換句話說，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中意識到這三點(diǎn)是重要問題，那學(xué)生在理解學(xué)習(xí)內(nèi)容這一方面就成功突破了. 當(dāng)然，這里還有另一個(gè)內(nèi)容，那就是學(xué)生數(shù)學(xué)思維所加工的對象如何由數(shù)學(xué)語言來描述，如函數(shù)的零點(diǎn)的概念，就需要結(jié)合二次函數(shù)的圖像來建立，從知識體系的角度來看，這一內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)概念體系的進(jìn)一步豐富，學(xué)生也必然形成理解.

其后，從學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)的角度來看本內(nèi)容的學(xué)習(xí)，必須讓學(xué)生認(rèn)知到基于自己的理解能力，能夠?qū)Ψ匠痰母c函數(shù)的零點(diǎn)學(xué)習(xí)到什么樣的程度. 這是一種通俗的、能夠?yàn)閷W(xué)生所理解的表述，筆者在教學(xué)中特別強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)就是，要讓學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際去盡最大的努力掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容. 這實(shí)際上就對學(xué)生的學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)提出了個(gè)別化、差異化的要求. 就從學(xué)習(xí)內(nèi)容的構(gòu)建角度來看，筆者在實(shí)際教學(xué)中有意識地實(shí)施差異化教學(xué)：首先利用分步式講授，分別讓學(xué)生去了解方程與函數(shù)，然后從兩者形式上進(jìn)行比較，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者在表達(dá)式上都有ax2+bx+c（a≠0）這一核心部分，然后思考兩者之間是否存在聯(lián)系？當(dāng)學(xué)生思考這一聯(lián)系時(shí)，自然會從ax2+bx+c=0（a≠0）的角度去思考，而ax2+bx+c=0在平面直角坐標(biāo)系上正是函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)（因?yàn)榇藭r(shí)y=0）. 在這個(gè)過程中，不同層次的學(xué)生會根據(jù)教師的講授程度不同而選擇不同的教學(xué)方式，因而可以滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn).

在上面的表述中，有經(jīng)驗(yàn)的教師實(shí)際上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這里也包括學(xué)習(xí)方式的異同，很大程度上講，學(xué)生對方程的理解更多的是基于此前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，而對函數(shù)的理解則是高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)要求，當(dāng)兩者形成聯(lián)系的時(shí)候，最佳方式是基于坐標(biāo)系上的圖像來進(jìn)行，當(dāng)然也有學(xué)優(yōu)生選擇在思維中進(jìn)行抽象程度更高的構(gòu)建方式. 當(dāng)然，這里的思維轉(zhuǎn)換最后的目的是讓學(xué)生認(rèn)識到函數(shù)是解決相關(guān)問題的更合適的工具，事實(shí)上有學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中得出“方程包含在函數(shù)當(dāng)中”的結(jié)論，筆者也理解為學(xué)生積極思維、理解數(shù)學(xué)的結(jié)果.

經(jīng)由理解數(shù)學(xué)培育核心素養(yǎng)

讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中生成數(shù)學(xué)理解，在數(shù)學(xué)理解的過程中構(gòu)建數(shù)學(xué)知識，顯然是數(shù)學(xué)教學(xué)的較為理想的狀態(tài).從核心素養(yǎng)培育的角度來看，關(guān)鍵能力的培養(yǎng)不是空洞的，在數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域，關(guān)鍵能力就是以學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力作為支撐的，只有學(xué)生在構(gòu)建知識的過程中，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容、標(biāo)準(zhǔn)與方式形成準(zhǔn)確的、適合自己的理解，那么能力形成才有了可靠之基.

進(jìn)一步講，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)主要由數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)建模三個(gè)部分組成（史寧中教授所做出的界定），可以肯定的是，如果學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中無法生成理解，那數(shù)學(xué)思維的形象對象就無法做出抽象，邏輯推理也就沒有基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)建模更是無從形成.因此，數(shù)學(xué)理解就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)形成的基礎(chǔ)，就是更上位的核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ).

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中努力結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，并從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑. 從這個(gè)角度講，核心素養(yǎng)作為終極性目標(biāo)，也就有了一個(gè)可靠的抓手.