秦翔宇

（北京中學(xué)，北京 100025）

用數(shù)學(xué)概率決定狼人殺游戲中角色操作方法
——丘比特篇

秦翔宇

（北京中學(xué)，北京 100025）

“狼人殺”游戲是含有數(shù)學(xué)邏輯的一個(gè)邏輯游戲，其中很多角色的最優(yōu)玩法也是可以利用數(shù)學(xué)的計(jì)算來(lái)得出的，而“丘比特”這個(gè)角色是狼人殺重要的角色，而對(duì)于第一天是否應(yīng)該選擇把自己連入情侶當(dāng)中，是一個(gè)有爭(zhēng)論的問(wèn)題。今天我就要利用數(shù)學(xué)上面的概率模型來(lái)對(duì)于丘比特的不同做法的結(jié)果進(jìn)行分類討論，不同情侶連法給丘比特帶來(lái)的利益點(diǎn)數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)概率進(jìn)行平均分析，得出丘比特在此做法下的結(jié)果，以對(duì)比結(jié)果的方式，決定丘比特第一天的最佳策略。

丘比特；概率；最佳策略；分類討論

一、問(wèn)題背景

1.“狼人殺”游戲規(guī)則

以4/4/4預(yù)女獵守丘屠城局，丘比特算平民為例。

游戲的角色有：狼人，預(yù)言家，女巫，獵人，守衛(wèi)，丘比特，平民。

狼人的技能：每天晚上殺掉一個(gè)玩家，可以自殺。

預(yù)言家的技能：每天晚上可以查看一個(gè)玩家是否是狼人。

女巫的技能：手里有一瓶解藥，可以救活一個(gè)人，可以自救；有一瓶毒藥可以讓一個(gè)在場(chǎng)玩家出局。

獵人的技能：在獵人死之后可以隨意選擇一個(gè)人死去。

守衛(wèi)的技能：每天晚上守護(hù)一個(gè)人，如果守護(hù)的人被狼人殺掉，則被救活；如果守護(hù)的人既被狼人殺掉又被女巫救活，則此人依然死去。守衛(wèi)不可以連續(xù)兩天守護(hù)同一個(gè)人。

丘比特的技能：第一天晚上之前可以選擇兩個(gè)人成為情侶，情侶中一人死亡，另一個(gè)人也隨之死亡。如果情侶是一個(gè)好人和一個(gè)狼人，那就會(huì)出現(xiàn)第三方陣營(yíng)，人狼戀要和丘比特一起殺掉所有好人和狼人。

2.“狼人殺”勝利標(biāo)準(zhǔn)

游戲的陣營(yíng)有：狼人陣營(yíng)（狼人）、好人陣營(yíng)（好人）、丘比特陣營(yíng)（人狼+丘）。所有陣營(yíng)的勝利條件都是讓另兩個(gè)陣營(yíng)成員全部出局。

二、問(wèn)題的提出

在“狼人殺”游戲里，“丘比特”角色第一天的操作方法爭(zhēng)議非常大，主要的爭(zhēng)議就在于：丘比特第一天究竟是否應(yīng)該把自己連為情侶？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我決定利用數(shù)學(xué)的概率模型對(duì)其進(jìn)行分析，最后得出這個(gè)角色究竟應(yīng)該怎樣操作，才能實(shí)現(xiàn)利益最大化。

問(wèn)題：丘比特在第一天要把自己連為情侶，還是選擇另外兩人連為情侶？

三、模型的建立

在“狼人殺”里，丘比特連的情侶有這么幾種情況：好人—狼人，狼人—狼人，好人—好人。在后兩種情況下丘比特幫助好人進(jìn)行游戲；第一種情況下，人狼戀要和丘比特一起讓其他人全部出局才能獲勝，所以我們分析的指標(biāo)就是對(duì)于好人/狼人/情侶有利的程度。

預(yù)言家/女巫/獵人/守衛(wèi)可以在白天找到時(shí)機(jī)表明自己的身份而取得大家的信任，稱為“跳身份”。跳身份之后，好人一般會(huì)讓這幾個(gè)明確的好人帶領(lǐng)分析及投票。所以，如果情侶中一個(gè)人是預(yù)言家/女巫/獵人/守衛(wèi)（稱作神），他在帶領(lǐng)投票的時(shí)候就可以引導(dǎo)大家不要投自己的情侶，從而保護(hù)自己的情侶，所以當(dāng)情侶中有神的時(shí)候，情侶方是占據(jù)優(yōu)勢(shì)的，計(jì)為領(lǐng)先1點(diǎn)。

因?yàn)榍閭H方一個(gè)人死去另一個(gè)人也會(huì)死去，那么情侶所在的陣營(yíng)相當(dāng)于少了一個(gè)人，對(duì)情侶不利，所以狼狼情侶出現(xiàn)的時(shí)候，好人視為領(lǐng)先1點(diǎn)，人人情侶出現(xiàn)的時(shí)候，好人視為領(lǐng)先-1點(diǎn)。

由于人狼情侶存在造反的可能性（即人狼戀+丘比特+單身狼一起投女巫/預(yù)言家，名牌的打法），所以當(dāng)人狼情侶里沒(méi)有丘比特且第一天沒(méi)有平安夜的情況下，狼人陣營(yíng)和第三方陣營(yíng)一共有6票。好人即使有警徽也只有5.5票，所以人狼戀可以通過(guò)捷徑先讓好人陣營(yíng)判負(fù)，然后再對(duì)付狼人陣營(yíng)。所以出現(xiàn)可以造反的局面時(shí)，人狼情侶領(lǐng)先1點(diǎn)，狼人陣營(yíng)領(lǐng)先1點(diǎn)。

當(dāng)情侶中有一個(gè)人是金水（預(yù)言家查到的好人）的時(shí)候，好人一般會(huì)讓這個(gè)明確的好人帶領(lǐng)分析及投票。所以，如果情侶中一個(gè)人是金水，他在帶領(lǐng)投票的時(shí)候就可以引導(dǎo)大家不要投自己的情侶，從而保護(hù)自己的情侶。所以當(dāng)情侶中有金水的時(shí)候，情侶方是占據(jù)優(yōu)勢(shì)的，計(jì)為領(lǐng)先1點(diǎn)。相反，如果情侶里一個(gè)人是查殺（預(yù)言家驗(yàn)到的狼人），所有好人必定會(huì)投票給查殺，情侶方全部出局，記為領(lǐng)先-1點(diǎn)。

最終計(jì)算點(diǎn)數(shù)是以丘比特所在陣營(yíng)進(jìn)行分析。

四、模型建立的幾個(gè)條件

為簡(jiǎn)化模型，將正常局中各個(gè)角色的正常做法作為參考，以解決因角色的個(gè)別行為所造成的歧義與計(jì)算不精確。

（1）狼人在第一天不選擇自殺。

（2）女巫在第一天除了自己死亡之外不選擇開解藥。

（4）狼人不會(huì)跳預(yù)言家/女巫/獵人/守衛(wèi)。

（5）警徽在預(yù)言家手里。

五、模型帶入與計(jì)算

如果丘比特選擇把自己連在情侶里面，則會(huì)出現(xiàn)以下情況：

1.丘狼戀

這種情況的概率：4/11=36.36%。

這種情況下，由于丘比特、狼人都不能帶領(lǐng)好人進(jìn)行分析和投票，也沒(méi)有辦法直接通過(guò)殺人取得造反的機(jī)會(huì)。其中，丘比特得到金水的可能性是1/11=9.09%，所以對(duì)于人狼陣營(yíng)有利的情況是1/11=9.09%，記0.0909點(diǎn)；而情侶狼人被查殺的概率是1/11，所以對(duì)于人狼陣營(yíng)不利的情況是1/11=3.31%，記-0.0909點(diǎn)，最后記丘比特所在陣營(yíng)積分為0點(diǎn)。

2. 丘神戀

這種情況的概率：4/11=36.36%。

這種情況下，由于神牌能夠帶領(lǐng)好人進(jìn)行分析和投票，所以情侶大概率不會(huì)被推走，+1點(diǎn)。但是由于是人人戀，不利于好人的勝利，-1點(diǎn)。丘比特得到金水的概率是1/11=9.09%，最后記丘比特領(lǐng)先1/11點(diǎn)。

3. 丘民戀

這種情況的概率：3/11=27.28%。

2.3.3 對(duì)粗灰分含量的影響 氮、磷、鉀肥單施處理，粗灰分含量增加不顯著。氮、磷、鉀交互配施，不含氮(N0)處理增長(zhǎng)為1.62%～15.17%，其中N0P180K50粗灰分含量最高，達(dá)10.78%；含氮(N30)處理增長(zhǎng)為8.76%～26.82%，其中N30P60K50粗灰分含量最高，達(dá)11.87%，氮、磷、鉀配施，各含氮處理(N30)粗灰分含量增加幅度大于不含氮處理(N0)。

這種情況下，由于是人人戀，所以好人陣營(yíng)落后了1點(diǎn)（見(jiàn)上），又由于丘比特、狼人都不能帶領(lǐng)好人進(jìn)行分析和投票，所以好人陣營(yíng)沒(méi)有領(lǐng)先1點(diǎn)。其中丘比特/平民得到金水的概率是2/11=18.18%，記好人領(lǐng)先1點(diǎn)。所以在丘比特—平民戀的情況下，最后記丘比特陣營(yíng)領(lǐng)先-1+0.1818=-0.8182點(diǎn)（-9/11點(diǎn)）。

綜上所述，當(dāng)丘比特選擇把自己連在情侶里面時(shí)，丘比特總共領(lǐng)先-9/11*3/11+1/11*4/11=-23/121=-0.1901點(diǎn)，是不利的。

如果丘比特選擇其他兩個(gè)人成為情侶，則會(huì)出現(xiàn)以下情況：

1. 民民戀

這種情況的概率：3/11*2/11=6/121=4.95%。

這種情況下，由于是人人戀，所以好人陣營(yíng)落后1點(diǎn)。又因?yàn)閮蓚€(gè)平民都不能帶領(lǐng)好人進(jìn)行分析和投票，所以好人陣營(yíng)沒(méi)有領(lǐng)先。其中兩個(gè)平民中的一個(gè)或丘比特得到金水的概率是3/11=27.27%，記好人領(lǐng)先1點(diǎn)。所以在民民戀里面，丘比特所在陣營(yíng)領(lǐng)先-1+3/11=-8/11（-0.7273）點(diǎn)。

2.民神戀

這種情況的概率：4/11*3/11*2=24/121=19.84%。

這種情況下，由于是人人戀，所以好人陣營(yíng)落后1點(diǎn)。神牌可以帶領(lǐng)好人進(jìn)行投票，從而保護(hù)自己的情侶，所以好人陣營(yíng)領(lǐng)先1點(diǎn)。丘比特或平民得到金水的概率是2/11=18.18%，記做好人領(lǐng)先1點(diǎn)。所以在民神戀里，記丘比特所在陣營(yíng)領(lǐng)先-1+1+2/11=2/11點(diǎn)。

3.神神戀

這種情況的概率：4/11*3/11=12/121=9.92%。

這種情況下，由于是人人戀，所以好人陣營(yíng)落后1點(diǎn)。神牌可以帶領(lǐng)好人進(jìn)行投票，從而保護(hù)自己的情侶，所以好人陣營(yíng)領(lǐng)先1點(diǎn)。丘比特得到金水的概率是1/11=9.09%，記做好人領(lǐng)先1點(diǎn)。所以在神神戀里，記丘比特所在陣營(yíng)領(lǐng)先-1+1+1/11=1/11（0.0909）點(diǎn)。

4.民狼戀

這種情況的概率：4/11*3/11*2=24/121=19.84%。

這種情況下，由于人狼戀再加上丘比特加上單身狼一共有6票，所以第一天不是平安夜，基本上好人就可以判負(fù)了。前面講過(guò)，守衛(wèi)只會(huì)自守，女巫只會(huì)自救，而鏈子/丘比特又不能刀，所以出現(xiàn)造反的情況是：1-1/7-1/7-1/7=4/7，記丘比特領(lǐng)先1點(diǎn)。平民/丘比特得到金水且不能造反的概率是2/11*3/7=6/77=7.80%，記丘比特領(lǐng)先1點(diǎn)。狼人得到查殺且不能造反的概率是3/7*1/11=3/77=3.90%，計(jì)丘比特落后1點(diǎn)。總體來(lái)說(shuō)，出現(xiàn)民狼戀時(shí)，丘比特陣營(yíng)領(lǐng)先4/7+6/77-3/77=47/77=0.6104點(diǎn)。

5.神狼戀

這種情況的概率：4/11*4/11*2=32/121=26.45%。

這種情況下，由于人狼戀+丘比特+單身狼一共有6票，所以第一天不是平安夜，基本上好人就可以判負(fù)了。前面講過(guò)，守衛(wèi)只會(huì)自守，女巫只會(huì)自救，而鏈子/丘比特又不能刀，所以出現(xiàn)造反的情況是：1-1/7-1/7-1/7=4/7=57.14%，記丘比特領(lǐng)先1點(diǎn)。神牌在無(wú)法造反的情況下可以帶領(lǐng)好人投票，從而保護(hù)自己的情侶，所以丘比特陣營(yíng)領(lǐng)先1-4/7=3/7=0.4285點(diǎn)。丘比特得到金水且不能造反的概率是2/11*3/7=3/77=3.90%，記丘比特領(lǐng)先1點(diǎn)。狼人得到查殺且不能造反的概率是3/7*1/11=3/77=3.90%，記丘比特落后1點(diǎn)?？傮w來(lái)說(shuō)，出現(xiàn)神狼戀時(shí)，丘比特陣營(yíng)領(lǐng)先4/7+3/7+3/77-3/77=1點(diǎn)。

6.狼狼戀

這種情況的概率：4/11*3/11=12/121=9.92%。

這種情況下，由于是狼狼戀，狼隊(duì)減去1點(diǎn)，相應(yīng)好人領(lǐng)先1點(diǎn)。兩只狼人都沒(méi)有辦法帶領(lǐng)好人進(jìn)行投票而保護(hù)自己的情侶，所以狼隊(duì)沒(méi)有領(lǐng)先1點(diǎn)。另外兩只狼人中一只被查殺的概率是2/11=18.18%，所以好人領(lǐng)先2/11點(diǎn)?？傮w來(lái)看，在狼狼戀的情況下，好人領(lǐng)先1+2/11=13/11=1.1818點(diǎn)。

綜上所述，當(dāng)丘比特選擇其他兩個(gè)人成為情侶時(shí)，可以讓自己領(lǐng)先-8/11*6/121+2/11*24/121+1/11*12/121+47/7 7*24/121+32/121+13/11*12/121=4768/9317=0.5118點(diǎn)。

六、計(jì)算結(jié)果與分析

丘比特操作 利益選擇自己連入情侶 -0.1901（-23/121）選擇另外兩人成為情侶 0.5118（4768/9317）

由此我們可以看出，當(dāng)丘比特不選擇把自己連在情侶中的時(shí)候，是可以達(dá)到收益最大化的。所以在以后的游戲里，丘比特不要把自己連在情侶里面。

秦翔宇，北京中學(xué)學(xué)生。

指導(dǎo)教師：申海東